Espacio de Hausdorff débil

En matemáticas , un espacio de Hausdorff débil o espacio débilmente Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de toda aplicación continua de un espacio de Hausdorff compacto al espacio es cerrada . ^{[ 1 ]} La noción fue introducida por MC McCord ^{[ 2 ]} para remediar un inconveniente al trabajar con la categoría de espacios de Hausdorff. A menudo se usa junto con espacios generados de forma compacta en topología algebraica . Para ello, véase la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Su rigor como propiedades de separación en orden creciente es ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• T ₁ : todo conjunto de un solo punto es cerrado.
• Δ-Hausdorff : la imagen de cada camino está cerrada.
• Espacio de Hausdorff débil : la imagen bajo una aplicación continua de un espacio de Hausdorff compacto es cerrada.
• Espacio KC : todo subconjunto compacto es cerrado.
• k -Hausdorff : todo subespacio compacto es de Hausdorff.
• Hausdorff (T ₂ ) : los puntos distintos tienen vecindarios disjuntos.

Estos aspectos se describen con más detalle a continuación.

AEl espacio k-Hausdorff ^{[ 5 ]} es un espacio topológico que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada subespacio compacto es de Hausdorff .
2. La diagonal${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$es k-cerrado en${\displaystyle X\times X.}$
   • Un subconjunto${\displaystyle A\subsetequ Y}$esk-cerrado , si${\displaystyle A\cap K}$está cerrado en${\displaystyle K}$para cada compacto${\displaystyle K\subseteq Y.}$
3. Cada subespacio compacto es cerrado y fuertemente compacto localmente.
   • Un espacio esfuertemente compacto localmente si para cada${\displaystyle x\in X}$y cada vecindario (no necesariamente abierto)${\displaystyle U\subsetequ X}$de${\displaystyle x,}$Existe un vecindario compacto.${\displaystyle V\subsetequ X}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle V\subseteq U.}$

AEl espacio Δ-Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cadacaminoes cerrada; es decir, si siempre que${\displaystyle f:[0,1]\to X}$es continuo entonces${\displaystyle f([0,1])}$está cerrado en${\displaystyle X.}$Cada espacio débil de Hausdorff es${\displaystyle \Delta }$-Hausdorff, y todos${\displaystyle \Delta }$-El espacio de Hausdorff es un espacio T _1. Un espacio esGenerado por Δ si su topología es latopología más finatal que cada mapa${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to X}$desde una topológica${\displaystyle n}$-simplex${\displaystyle \Delta ^{n}}$a${\displaystyle X}$es continuo.${\displaystyle \Delta }$-Los espacios Hausdorff son para${\displaystyle \Delta }$-espacios generados como espacios débiles de Hausdorff son a espacios generados de forma compacta.

• Espacio de punto fijo : espacio donde todas las funciones tienen puntos fijos , un espacio de Hausdorff donde toda función continua del espacio en sí mismo tiene un punto fijo. 
• Espacio de Hausdorff – Tipo de espacio topológico 
• Espacio Hausdorff local : espacio tal que cada punto tiene un vecindario Hausdorff. 
• Topología de punto particular : Topología en la que un conjunto es abierto si contiene un punto particular. 
• Espacio cuasitopológico : función en topología 
• Axioma de separación – Axiomas en topología que definen las nociones de "separación"