Grupo reductivo

En matemáticas , un grupo reductivo es un tipo de grupo algebraico lineal sobre un cuerpo . Una definición establece que un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto es reductivo si posee una representación con núcleo finito y semisimple , es decir, una suma directa de representaciones irreducibles . Los grupos reductivos incluyen algunos de los grupos más importantes en matemáticas, como el grupo lineal general GL( n ) de matrices invertibles , el grupo ortogonal especial SO( n ) y el grupo simpléctico Sp(2n ) . Los grupos algebraicos simples y (de forma más general) los grupos algebraicos semisimples son reductivos.

Claude Chevalley demostró que la clasificación de los grupos reductivos es la misma sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado . En particular, los grupos algebraicos simples se clasifican mediante diagramas de Dynkin , como en la teoría de grupos de Lie compactos o álgebras de Lie semisimples complejas . Los grupos reductivos sobre un cuerpo arbitrario son más difíciles de clasificar, pero para muchos cuerpos, como los números reales R o un cuerpo numérico , la clasificación se comprende bien. La clasificación de los grupos simples finitos establece que la mayoría de los grupos simples finitos surgen como el grupo G ( k ) de k puntos racionales de un grupo algebraico simple G sobre un cuerpo finito k , o como variantes menores de esa construcción.

Los grupos reductivos poseen una rica teoría de representaciones en diversos contextos. Se pueden estudiar las representaciones de un grupo reductivo G sobre un cuerpo k como un grupo algebraico, que son acciones de G sobre espacios vectoriales de k dimensiones. Asimismo, se pueden estudiar las representaciones complejas del grupo G ( k ) cuando k es un cuerpo finito, las representaciones unitarias de dimensión infinita de un grupo reductivo real o las representaciones automorfas de un grupo algebraico adélico . La teoría estructural de los grupos reductivos se utiliza en todas estas áreas.

Un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo k se define como un esquema de subgrupo cerrado suave de GL( n ) sobre k , para algún entero positivo n . De forma equivalente, un grupo algebraico lineal sobre k es un esquema de grupo afín suave sobre k .

Todo grupo de Lie compacto conexo tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción establece una correspondencia biunívoca entre grupos de Lie compactos conexos y grupos reductivos complejos, salvo isomorfismo. Para un grupo de Lie compacto K con complejización G , la inclusión de K en el grupo reductivo complejo G ( C ) es una equivalencia homotópica , con respecto a la topología clásica en G ( C ). Por ejemplo, la inclusión del grupo unitario U( n ) en GL( n , C ) es una equivalencia homotópica.

Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo de característica cero, todas las representaciones de dimensión finita de G (como grupo algebraico) son completamente reducibles , es decir, son sumas directas de representaciones irreducibles. ^{[ 6 ]} Ese es el origen del nombre "reductivo". Sin embargo, cabe señalar que la reducibilidad completa no se cumple para grupos reductivos en característica positiva (excepto los toros). En detalle: un esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un cuerpo k se denomina linealmente reductivo si sus representaciones de dimensión finita son completamente reducibles. Para k de característica cero, G es linealmente reductivo si y solo si la componente identidad G ^o de G es reductiva. ^{[ 7 ]} Sin embargo, para k de característica p > 0, Masayoshi Nagata demostró que G es linealmente reductivo si y solo si G ^o es de tipo multiplicativo y G / G ^o tiene orden primo a p . ^{[ 8 ]}

La clasificación de los grupos algebraicos reductivos se basa en el sistema de raíces asociado , al igual que en las teorías de las álgebras de Lie semisimples complejas o los grupos de Lie compactos. A continuación, se muestra cómo aparecen las raíces en los grupos reductivos.

Sea G un grupo reductivo escindido sobre un cuerpo k , y sea T un toro maximal escindido en G ; entonces T es isomorfo a ( G _m ) ⁿ para algún n , donde n se llama el rango de G. Toda representación de T (como grupo algebraico) es una suma directa de representaciones unidimensionales. ^{[ 9 ]} Un peso para G significa una clase de isomorfismo de representaciones unidimensionales de T , o equivalentemente un homomorfismo T → G _m . Los pesos forman un grupo X ( T ) bajo el producto tensorial de representaciones, con X ( T ) isomorfo al producto de n copias de los enteros , Z ⁿ .

La representación adjunta es la acción de G por conjugación sobre su álgebra de Lie . Una raíz de G significa un peso no nulo que aparece en la acción de T ⊂ G sobre . El subespacio de correspondiente a cada raíz es unidimensional, y el subespacio de fijado por T es exactamente el álgebra de Lie de T. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, el álgebra de Lie de G se descompone en junto con subespacios unidimensionales indexados por el conjunto Φ de raíces:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Por ejemplo, cuando G es el grupo GL( n ), su álgebra de Lie es el espacio vectorial de todas las matrices n × n sobre k . Sea T el subgrupo de matrices diagonales en G . Entonces la descomposición en espacio de raíces se expresa como la suma directa de las matrices diagonales y los subespacios unidimensionales indexados por las posiciones fuera de la diagonal ( i , j ). Escribiendo L ₁ ,..., L _n para la base estándar para la red de pesos X ( T ) ≅ Z ⁿ , las raíces son los elementos L _i − L _j para todo i ≠ j desde 1 hasta n .${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

Las raíces de un grupo semisimple forman un sistema de raíces ; esta es una estructura combinatoria que puede clasificarse completamente. Más generalmente, las raíces de un grupo reductivo forman un dato raíz , una ligera variación. ^{[ 11 ]} El grupo de Weyl de un grupo reductivo G significa el grupo cociente del normalizador de un toro maximal por el toro, W = N _G ( T )/ T . El grupo de Weyl es de hecho un grupo finito generado por reflexiones. Por ejemplo, para GL( n ) o SL( n ), el grupo de Weyl es el grupo simétrico S _n .

Hay un número finito de subgrupos de Borel que contienen un toro maximal dado, y se permutan simplemente de forma transitiva mediante el grupo de Weyl (que actúa por conjugación ). ^{[ 12 ]} La elección de un subgrupo de Borel determina un conjunto de raíces positivas Φ ⁺ ⊂ Φ, con la propiedad de que Φ es la unión disjunta de Φ ⁺ y −Φ ⁺ . Explícitamente, el álgebra de Lie de B es la suma directa del álgebra de Lie de T y los espacios de raíces positivas:

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Por ejemplo, si B es el subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores en GL( n ), entonces esta es la descomposición obvia del subespacio de matrices triangulares superiores en . Las raíces positivas son L _i − L _j para 1 ≤ i < j ≤ n .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

Una raíz simple es una raíz positiva que no es suma de otras dos raíces positivas. Denotamos con Δ el conjunto de raíces simples. El número r de raíces simples es igual al rango del subgrupo conmutador de G , llamado rango semisimple de G (que es simplemente el rango de G si G es semisimple). Por ejemplo, las raíces simples de GL( n ) o SL( n ) son L _i − L _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n − 1.

Los sistemas de raíces se clasifican mediante el diagrama de Dynkin correspondiente, que es un grafo finito (con algunas aristas dirigidas o múltiples). El conjunto de vértices del diagrama de Dynkin es el conjunto de raíces simples. En resumen, el diagrama de Dynkin describe los ángulos entre las raíces simples y sus longitudes relativas, con respecto a un producto interno invariante del grupo de Weyl en la red de pesos. Los diagramas de Dynkin conectados (que corresponden a grupos simples) se muestran a continuación.

Para un grupo reductivo escindido G sobre un cuerpo k , un punto importante es que una raíz α determina no solo un subespacio unidimensional del álgebra de Lie de G , sino también una copia del grupo aditivo G _a en G con el álgebra de Lie dada, llamada subgrupo raíz U _α . El subgrupo raíz es la copia única del grupo aditivo en G que está normalizada por T y que tiene el álgebra de Lie dada. ^{[ 10 ]} Todo el grupo G es generado (como un grupo algebraico) por T y los subgrupos raíz, mientras que el subgrupo de Borel B es generado por T y los subgrupos raíz positivos. De hecho, un grupo semisimple escindido G es generado solo por los subgrupos raíz.

Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k , los subgrupos conexos suaves de G que contienen un subgrupo de Borel dado B de G están en correspondencia biunívoca con los subconjuntos del conjunto Δ de raíces simples (o equivalentemente, los subconjuntos del conjunto de vértices del diagrama de Dynkin). Sea r el orden de Δ, el rango semisimple de G. Todo subgrupo parabólico de G es conjugado a un subgrupo que contiene a B por algún elemento de G ( k ). Como resultado, hay exactamente 2 ^r clases de conjugación de subgrupos parabólicos en G sobre k . ^{[ 13 ]} Explícitamente, el subgrupo parabólico correspondiente a un subconjunto dado S de Δ es el grupo generado por B junto con los subgrupos raíz U _−α para α en S . Por ejemplo, los subgrupos parabólicos de GL( n ) que contienen el subgrupo de Borel B mencionado anteriormente son los grupos de matrices invertibles con entradas cero debajo de un conjunto dado de cuadrados a lo largo de la diagonal, tales como:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

Por definición, un subgrupo parabólico P de un grupo reductivo G sobre un cuerpo k es un k -subgrupo liso tal que la variedad cociente G / P es propia sobre k , o equivalentemente proyectiva sobre k . Por lo tanto, la clasificación de los subgrupos parabólicos equivale a una clasificación de las variedades homogéneas proyectivas para G (con grupo estabilizador liso; es decir, sin restricción para k de característica cero). Para GL( n ), estas son las variedades de banderas , que parametrizan secuencias de subespacios lineales de dimensiones dadas a ₁ ,..., a _i contenidos en un espacio vectorial fijo V de dimensión n :

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Para el grupo ortogonal o el grupo simpléctico, las variedades homogéneas proyectivas tienen una descripción similar a la de las variedades de banderas isotrópicas con respecto a una forma cuadrática o simpléctica dada. Para cualquier grupo reductivo G con un subgrupo de Borel B , G / B se denomina variedad de banderas o variedad de banderas de G.

Chevalley demostró en 1958 que los grupos reductivos sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican salvo isomorfismo por datos de raíz. ^{[ 14 ]} En particular, los grupos semisimples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican salvo isogenias centrales por su diagrama de Dynkin, y los grupos simples corresponden a los diagramas conexos. Así, hay grupos simples de tipos A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Este resultado es esencialmente idéntico a las clasificaciones de grupos de Lie compactos o álgebras de Lie semisimples complejas, por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En particular, las dimensiones, centros y otras propiedades de los grupos algebraicos simples se pueden leer a partir de la lista de grupos de Lie simples . Es notable que la clasificación de los grupos reductivos sea independiente de la característica. En comparación, existen muchas más álgebras de Lie simples en característica positiva que en característica cero.

Los grupos excepcionales G de tipo G ₂ y E ₆ habían sido construidos previamente, al menos en la forma del grupo abstracto G ( k ), por L. E. Dickson . Por ejemplo, el grupo G ₂ es el grupo de automorfismos de un álgebra de octoniones sobre k . Por el contrario, los grupos de Chevalley de tipo F ₄ , E ₇ , E ₈ sobre un cuerpo de característica positiva eran completamente nuevos.

De manera más general, la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma sobre cualquier cuerpo. ^{[ 15 ]} Un grupo semisimple G sobre un cuerpo k se llama simplemente conexo si toda isogenia central de un grupo semisimple a G es un isomorfismo. (Para G semisimple sobre los números complejos , ser simplemente conexo en este sentido es equivalente a que G ( C ) sea simplemente conexo en la topología clásica). La clasificación de Chevalley da que, sobre cualquier cuerpo k , hay un único grupo semisimple dividido simplemente conexo G con un diagrama de Dynkin dado, con grupos simples que corresponden a los diagramas conexos. En el otro extremo, un grupo semisimple es de tipo adjunto si su centro es trivial. Los grupos semisimple divididos sobre k con un diagrama de Dynkin dado son exactamente los grupos G / A , donde G es el grupo simplemente conexo y A es un esquema de k -subgrupo del centro de G .

Por ejemplo, los grupos simples divididos simplemente conexos sobre un cuerpo k que corresponden a los diagramas de Dynkin "clásicos" son los siguientes:

• Un _n : SL( n +1) sobre k ;
• B _n : el grupo de espín Spin(2 n +1) asociado a una forma cuadrática de dimensión 2 n +1 sobre k con índice de Witt n , por ejemplo la forma

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : el grupo simpléctico Sp(2 n ) sobre k ;
• D _n : el grupo de espín Spin(2 n ) asociado a una forma cuadrática de dimensión 2 n sobre k con índice de Witt n , que se puede escribir como:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

El grupo de automorfismos externos de un grupo reductivo escindido G sobre un cuerpo k es isomorfo al grupo de automorfismos del dato raíz de G. Además, el grupo de automorfismos de G se escinde como un producto semidirecto :

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

donde Z es el centro de G. ^{[ 16} ] Para un grupo semisimple simplemente conexo dividido G sobre un cuerpo, el grupo ^de automorfismos externos de G tiene una descripción más simple: es el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin de G.

Un esquema de grupo G sobre un esquema S se llama reductivo si el morfismo G → S es liso y afín, y toda fibra geométrica es reductiva. (Para un punto p en S , la fibra geométrica correspondiente significa el cambio de base de G a una clausura algebraica del cuerpo residual de p .) Extendiendo el trabajo de Chevalley, Michel Demazure y Grothendieck mostraron que los esquemas de grupo reductivos fijados sobre cualquier esquema no vacío S se clasifican por datos de raíz. ^{[ 17 ]} Esta afirmación incluye la existencia de grupos de Chevalley como esquemas de grupo sobre Z , y dice que todo grupo reductivo fijado sobre un esquema S es isomorfo al cambio de base de un grupo de Chevalley de Z a S. Una fijación de un grupo reductivo dividido es una elección de base de raíz y también una elección de trivialización del grupo aditivo unidimensional correspondiente a cada raíz simple. Esta afirmación es falsa sin la fijación; Por ejemplo, supongamos que A es un dominio de Dedekind y que I es un ideal en A cuya clase en el grupo de clases de A no es un cuadrado. Entonces SL( A + I ) y SL ₂ (A) son escindidos y reductivos sobre Spec A y tienen los mismos datos raíz pero no son isomorfos: el esquema de banderas (el cociente por un esquema de subgrupo de Borel) del primero es el fibrado de línea proyectivo P ( A + I ) y no tiene ninguna sección con fibrado normal trivial (una sección corresponde a una secuencia exacta corta 0 → J → A + I → K → 0 donde J , K son clases de ideales y el fibrado normal es entonces J^{-1}K , que no es trivial ya que JK es isomorfo a I ) mientras que el esquema de banderas del segundo es P ¹ ( A ) y sí posee secciones con fibrado normal trivial.${\displaystyle G_{\bar {k}}}$${\displaystyle {\bar {k}}}$

En el contexto de los grupos de Lie , en lugar de los grupos algebraicos, un grupo reductivo real es un grupo de Lie G tal que existe un grupo algebraico lineal L sobre R cuya componente identidad (en la topología de Zariski ) es reductiva, y un homomorfismo G → L ( R ) cuyo núcleo es finito y cuya imagen es abierta en L ( R ) (en la topología clásica). También es habitual suponer que la imagen de la representación adjunta Ad( G ) está contenida en Int( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C )) (lo cual es automático para G conexo). ^{[ 18 ]}

En particular, todo grupo de Lie semisimple conexo (es decir, cuyo álgebra de Lie es semisimple) es reductivo. Asimismo, el grupo de Lie R es reductivo en este sentido, puesto que puede considerarse como la componente identidad de GL(1, R ) ≅ R ^× . El problema de clasificar los grupos reductivos reales se reduce en gran medida a clasificar los grupos de Lie simples. Estos se clasifican mediante su diagrama de Satake ; o bien, se puede consultar la lista de grupos de Lie simples (salvo recubrimientos finitos).

En este sentido general, se han desarrollado teorías útiles sobre representaciones admisibles y representaciones unitarias para grupos reductivos reales. Las principales diferencias entre esta definición y la definición de un grupo algebraico reductivo radican en que un grupo algebraico G sobre R puede ser conexo como grupo algebraico, mientras que el grupo de Lie G ( R ) no lo es; lo mismo ocurre con los grupos simplemente conexos.

Por ejemplo, el grupo lineal proyectivo PGL(2) es conexo como grupo algebraico sobre cualquier cuerpo, pero su grupo de puntos reales PGL(2, R ) tiene dos componentes conexas. La componente identidad de PGL(2, R ) (a veces llamada PSL(2, R )) es un grupo reductivo real que no puede considerarse un grupo algebraico. De manera similar, SL(2) es simplemente conexo como grupo algebraico sobre cualquier cuerpo, pero el grupo de Lie SL(2, R ) tiene un grupo fundamental isomorfo a los enteros Z , por lo que SL(2, R ) tiene espacios de recubrimiento no triviales . Por definición, todos los recubrimientos finitos de SL(2, R ) (como el grupo metapléctico ) son grupos reductivos reales. Por otro lado, la cubierta universal de SL(2, R ) no es un grupo reductivo real, aunque su álgebra de Lie sea reductiva , es decir, el producto de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana.

Para un grupo reductivo real conexo G , la variedad cociente G / K de G por un subgrupo compacto maximal K es un espacio simétrico de tipo no compacto. De hecho, todo espacio simétrico de tipo no compacto surge de esta manera. Estos son ejemplos centrales en la geometría riemanniana de variedades con curvatura seccional no positiva . Por ejemplo, SL(2, R )/SO(2) es el plano hiperbólico y SL(2, C )/SU(2) es el espacio hiperbólico tridimensional.

Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo k que es completo con respecto a una valuación discreta (como los números p-ádicos Q _p ), la construcción afín X de G desempeña el papel del espacio simétrico. Es decir, X es un complejo simplicial con una acción de G ( k ), y G ( k ) preserva una métrica CAT(0) en X , el análogo de una métrica con curvatura no positiva. La dimensión de la construcción afín es el k -rango de G . Por ejemplo, la construcción de SL(2, Q _p ) es un árbol .

Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k , las representaciones irreducibles de G (como un grupo algebraico) están parametrizadas por los pesos dominantes , que se definen como la intersección de la red de pesos X ( T ) ≅ Z ⁿ con un cono convexo (una cámara de Weyl ) en R ⁿ . En particular, esta parametrización es independiente de la característica de k . En más detalle, fijemos un toro maximal dividido y un subgrupo de Borel, T ⊂ B ⊂ G. Entonces B es el producto semidirecto de T con un subgrupo unipotente conexo suave U. Definimos un vector de peso máximo en una representación V de G sobre k como un vector no nulo v tal que B mapea la línea generada por v en sí misma. Entonces B actúa sobre esa línea a través de su grupo cociente T , por algún elemento λ de la red de pesos X ( T ). Chevalley demostró que toda representación irreducible de G tiene un único vector de peso máximo salvo escalares; El "peso más alto" correspondiente λ es dominante; y cada peso dominante λ es el peso más alto de una única representación irreducible L (λ) de G , salvo isomorfismo. ^{[ 19 ]}

Queda pendiente el problema de describir la representación irreducible con un peso máximo dado. Para k de característica cero, existen respuestas prácticamente completas. Para un peso dominante λ, definimos el módulo de Schur ∇(λ) como el espacio vectorial k de secciones del fibrado de líneas G -equivariante en la variedad de banderas G / B asociada a λ; esta es una representación de G. Para k de característica cero, el teorema de Borel-Weil afirma que la representación irreducible L (λ) es isomorfa al módulo de Schur ∇(λ). Además, la fórmula del carácter de Weyl proporciona el carácter (y en particular la dimensión) de esta representación.

Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k de característica positiva, la situación es mucho más sutil, porque las representaciones de G no suelen ser sumas directas de irreducibles. Para un peso dominante λ, la representación irreducible L (λ) es el único submódulo simple (el socle ) del módulo de Schur ∇(λ), pero no tiene por qué ser igual al módulo de Schur. La dimensión y el carácter del módulo de Schur vienen dados por la fórmula del carácter de Weyl (como en característica cero), por George Kempf . ^{[ 20 ]} Las dimensiones y los caracteres de las representaciones irreducibles L (λ) son en general desconocidos, aunque se ha desarrollado un amplio cuerpo de teoría para analizar estas representaciones. Un resultado importante es que la dimensión y el carácter de L (λ) se conocen cuando la característica p de k es mucho mayor que el número de Coxeter de G , por Henning Andersen , Jens Jantzen y Wolfgang Soergel (demostrando la conjetura de Lusztig en ese caso). Su fórmula de caracteres para p grande se basa en los polinomios de Kazhdan-Lusztig , que son combinatoriamente complejos. ^{[ 21 ]} Para cualquier primo p , Simon Riche y Geordie Williamson conjeturaron los caracteres irreducibles de un grupo reductivo en términos de los polinomios de p -Kazhdan-Lusztig, que son aún más complejos, pero al menos son computables. ^{[ 22 ]}

Como se mencionó anteriormente, la clasificación de grupos reductivos escindidos es la misma sobre cualquier cuerpo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede ser difícil, dependiendo del cuerpo base. Algunos ejemplos entre los grupos clásicos son:

• Toda forma cuadrática no degenerada q sobre un cuerpo k determina un grupo reductivo G = SO( q ). Aquí G es simple si q tiene dimensión n al menos 3, ya que es isomorfo a SO( n ) sobre una clausura algebraica . El rango k de G es igual al índice de Witt de q (la dimensión máxima de un subespacio isotrópico sobre k ). ^{[ 23 ]} Por lo tanto, el grupo simple G se divide sobre k si y solo si q tiene el índice de Witt máximo posible, .${\displaystyle G_{\bar {k}}}$${\displaystyle {\bar {k}}}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• Cada álgebra simple central A sobre k determina un grupo reductivo G = SL(1, A ), el núcleo de la norma reducida en el grupo de unidades A * (como un grupo algebraico sobre k ). El grado de A significa la raíz cuadrada de la dimensión de A como un espacio vectorial k . Aquí G es simple si A tiene grado n al menos 2, ya que es isomorfo a SL ( n ) sobre . Si A tiene índice r (lo que significa que A es isomorfo al álgebra de matrices M _{n / r} ( D ) para un álgebra de división D de grado r sobre k ), entonces el k -rango de G es ( n / r ) − 1. ^{[ 24 ]} Por lo tanto, el grupo simple G se divide sobre k si y solo si A es un álgebra de matrices sobre k .${\displaystyle G_{\bar {k}}}$${\displaystyle {\bar {k}}}$

En consecuencia, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrado, y se comprenden para otros campos como los cuerpos numéricos, pero para cuerpos arbitrarios existen muchas preguntas abiertas.

Un grupo reductivo sobre un cuerpo k se llama isotrópico si tiene rango k mayor que 0 (es decir, si contiene un toro dividido no trivial), y anisotrópico en caso contrario . Para un grupo semisimple G sobre un cuerpo k , las siguientes condiciones son equivalentes:

• G es isotrópico (es decir, G contiene una copia del grupo multiplicativo G _m sobre k );
• G contiene un subgrupo parabólico sobre k distinto de G ;
• G contiene una copia del grupo aditivo G _a sobre k .

Para k perfecto, también es equivalente decir que G ( k ) contiene un elemento unipotente distinto de 1. ^{[ 25 ]}

Para un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo local k de característica cero (como los números reales), el grupo G ( k ) es compacto en la topología clásica (basada en la topología de k ) si y solo si G es reductivo y anisotrópico. ^{[ 26 ]} Ejemplo: el grupo ortogonal SO( p , q ) sobre R tiene rango real min( p , q ), por lo que es anisotrópico si y solo si p o q es cero. ^{[ 23 ]}

Un grupo reductivo G sobre un cuerpo k se denomina cuasi-escindido si contiene un subgrupo de Borel sobre k . Un grupo reductivo escindido es cuasi-escindido. Si G es cuasi-escindido sobre k , entonces cualesquiera dos subgrupos de Borel de G son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^{[ 27 ]} Ejemplo: el grupo ortogonal SO( p , q ) sobre R es escindido si y solo si | p − q | ≤ 1, y es cuasi-escindido si y solo si | p − q | ≤ 2. ^{[ 23 ]}

Para un grupo semisimple dividido simplemente conexo G sobre un cuerpo k , Robert Steinberg dio una presentación explícita del grupo abstracto G ( k ). ^{[ 28 ]} Se genera mediante copias del grupo aditivo de k indexadas por las raíces de G (los subgrupos raíz), con relaciones determinadas por el diagrama de Dynkin de G .

Para un grupo semisimple escindido simplemente conexo G sobre un cuerpo perfecto k , Steinberg también determinó el grupo de automorfismos del grupo abstracto G ( k ). Todo automorfismo es el producto de un automorfismo interno , un automorfismo diagonal (que significa conjugación por un punto adecuado de un toro maximal), un automorfismo de grafos (que corresponde a un automorfismo del diagrama de Dynkin) y un automorfismo de cuerpos (que proviene de un automorfismo del cuerpo k ). ^{[ 29 ]}${\displaystyle {\bar {k}}}$

Para un grupo algebraico k -simple G , el teorema de simplicidad de Tits dice que el grupo abstracto G ( k ) es cercano a ser simple, bajo supuestos leves. Es decir, supongamos que G es isotrópico sobre k , y supongamos que el cuerpo k tiene al menos 4 elementos. Sea G ( k ) ⁺ el subgrupo del grupo abstracto G ( k ) generado por k -puntos de copias del grupo aditivo G _a sobre k contenido en G . (Por el supuesto de que G es isotrópico sobre k , el grupo G ( k ) ⁺ es no trivial, e incluso denso de Zariski en G si k es infinito.) Entonces el grupo cociente de G ( k ) ⁺ por su centro es simple (como grupo abstracto). ^{[ 30 ]} La demostración utiliza la maquinaria de pares BN de Jacques Tits .

Las excepciones para campos de orden 2 o 3 se comprenden bien. Para k = F ₂ , el teorema de simplicidad de Tits sigue siendo válido excepto cuando G es escindido de tipo A ₁ , B ₂ , o G ₂ , o no escindido (es decir, unitario) de tipo A ₂ . Para k = F ₃ , el teorema se cumple excepto para G de tipo A ₁ . ^{[ 31 ]}

Para un grupo k -simple G , para comprender todo el grupo G ( k ), se puede considerar el grupo de Whitehead W ( k , G ) = G ( k ) / G ( k ) ⁺ . Para G simplemente conexo y cuasi-escindido, el grupo de Whitehead es trivial, y por lo tanto todo el grupo G ( k ) es simple módulo su centro. ^{[ 32 ]} De manera más general, el problema de Kneser-Tits pregunta para qué grupos k -simples isotrópicos el grupo de Whitehead es trivial. En todos los ejemplos conocidos, W ( k , G ) es abeliano.

Para un grupo k -simple anisotrópico G , el grupo abstracto G ( k ) puede estar lejos de ser simple. Por ejemplo, sea D un álgebra de división con centro en un cuerpo p -ádico k . Supongamos que la dimensión de D sobre k es finita y mayor que 1. Entonces G = SL(1, D ) es un grupo k -simple anisotrópico. Como se mencionó anteriormente, G ( k ) es compacto en la topología clásica. Dado que también es totalmente disconexo , G ( k ) es un grupo profinito (pero no finito). Como resultado, G ( k ) contiene infinitos subgrupos normales de índice finito . ^{[ 33 ]}

Sea G un grupo algebraico lineal sobre los números racionales Q. Entonces G puede extenderse a un esquema de grupo afín G sobre Z , lo que determina un grupo abstracto G ( Z ). Un grupo aritmético es cualquier subgrupo de G ( Q ) que es conmensurable con G ( Z ). (La aritmeticidad de un subgrupo de G ( Q ) es independiente de la elección de la estructura Z ). Por ejemplo, SL( n , Z ) es un subgrupo aritmético de SL( n , Q ).

Para un grupo de Lie G , un retículo en G es un subgrupo discreto Γ de G tal que la variedad G /Γ tiene volumen finito (con respecto a una medida invariante de G ). Por ejemplo, un subgrupo discreto Γ es un retículo si G /Γ es compacto. El teorema de aritmeticidad de Margulis establece, en particular: para un grupo de Lie simple G de rango real al menos 2, todo retículo en G es un grupo aritmético.

Al intentar clasificar grupos reductivos que no necesitan ser escindidos, un paso importante es el índice de Tits , que reduce el problema al caso de grupos anisotrópicos. Esta reducción generaliza varios teoremas fundamentales del álgebra. Por ejemplo, el teorema de descomposición de Witt establece que una forma cuadrática no degenerada sobre un cuerpo está determinada, salvo isomorfismo, por su índice de Witt junto con su núcleo anisotrópico. De igual modo, el teorema de Artin-Wedderburn reduce la clasificación de álgebras simples centrales sobre un cuerpo al caso de álgebras de división. Generalizando estos resultados, Tits demostró que un grupo reductivo sobre un cuerpo k está determinado, salvo isomorfismo, por su índice de Tits junto con su núcleo anisotrópico, un k- grupo semisimple anisotrópico asociado.

Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo k , el grupo de Galois absoluto Gal( k ^sep / k ) actúa (continuamente) sobre el diagrama de Dynkin "absoluto" de G , es decir, el diagrama de Dynkin de G sobre una clausura separable k ^sep (que también es el diagrama de Dynkin de G sobre una clausura algebraica ). El índice de Tits de G consiste en el dato raíz de G _{k ^sep} , la acción de Galois sobre su diagrama de Dynkin y un subconjunto invariante de Galois de los vértices del diagrama de Dynkin. Tradicionalmente, el índice de Tits se dibuja trazando las órbitas de Galois en el subconjunto dado.${\displaystyle {\bar {k}}}$

En estos términos se presenta una clasificación completa de los grupos cuasi-divididos. Es decir, para cada acción del grupo de Galois absoluto de un cuerpo k sobre un diagrama de Dynkin, existe un único grupo cuasi-dividido semisimple simplemente conexo H sobre k con la acción dada. (Para un grupo cuasi-dividido, cada órbita de Galois en el diagrama de Dynkin está marcada con un círculo). Además, cualquier otro grupo semisimple simplemente conexo G sobre k con la acción dada es una forma interna del grupo cuasi-dividido H , lo que significa que G es el grupo asociado a un elemento del conjunto de cohomología de Galois H ¹ ( k , H / Z ), donde Z es el centro de H . En otras palabras, G es la torsión de H asociada a algún H / Z -torsor sobre k , como se analiza en la siguiente sección.

Ejemplo: Sea q una forma cuadrática no degenerada de dimensión par 2 n sobre un cuerpo k de característica distinta de 2, con n ≥ 5. (Estas restricciones pueden evitarse). Sea G el grupo simple SO ( q ) sobre k . El diagrama de Dynkin absoluto de G es de tipo D _n , y por lo tanto su grupo de automorfismos es de orden 2, intercambiando las dos "patas" del diagrama D _n . La acción del grupo de Galois absoluto de k sobre el diagrama de Dynkin es trivial si y solo si el discriminante con signo d de q en k */( k *) ² es trivial. Si d no es trivial, entonces está codificado en la acción de Galois sobre el diagrama de Dynkin: el subgrupo de índice 2 del grupo de Galois que actúa como identidad es . El grupo G está dividido si y solo si q tiene índice de Witt n , el máximo posible, y G está cuasi-dividido si y solo si q tiene índice de Witt al menos n − 1. ^{[ 23 ]}${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

Un torsor para un esquema de grupo afín G sobre un cuerpo k significa un esquema afín X sobre k con una acción de G tal que es isomorfo a con la acción de sobre sí mismo por traslación izquierda. Un torsor también puede verse como un fibrado principal G sobre k con respecto a la topología fppf sobre k , o la topología étale si G es liso sobre k . El conjunto apuntado de clases de isomorfismo de G -torsores sobre k se llama H ¹ ( k , G ), en el lenguaje de la cohomología de Galois.${\displaystyle X_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Los tornores surgen cuando se busca clasificar formas de un objeto algebraico Y dado sobre un cuerpo k , es decir, objetos X sobre k que se vuelven isomorfos a Y sobre la clausura algebraica de k . Es decir, tales formas (salvo isomorfismo) están en correspondencia biunívoca con el conjunto H ¹ ( k , Aut( Y )). Por ejemplo, las formas cuadráticas (no degeneradas) de dimensión n sobre k se clasifican mediante H ¹ ( k , O( n )), y las álgebras simples centrales de grado n sobre k se clasifican mediante H ¹ ( k , PGL( n )). Además, las k -formas de un grupo algebraico G dado (a veces llamadas "torsiones" de G ) se clasifican mediante H ¹ ( k , Aut( G )). Estos problemas motivan el estudio sistemático de los G -torsores, especialmente para grupos reductivos G .

Cuando es posible, se espera clasificar los G -torsores usando invariantes cohomológicos , que son invariantes que toman valores en la cohomología de Galois con grupos de coeficientes abelianos M , H ^a ( k , M ). En esta dirección, Steinberg demostró la "Conjetura I" de Serre : para un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto de dimensión cohomológica a lo sumo 1, H ¹ ( k , G ) = 1. ^{[ 34 ]} (El caso de un cuerpo finito era conocido anteriormente, como el teorema de Lang .) Se sigue, por ejemplo, que todo grupo reductivo sobre un cuerpo finito es cuasi-escindido.

La conjetura II de Serre predice que para un grupo semisimple simplemente conexo G sobre un cuerpo de dimensión cohomológica a lo sumo 2, H ¹ ( k , G ) = 1. La conjetura es conocida para un cuerpo de números totalmente imaginario (que tiene dimensión cohomológica 2). De forma más general, para cualquier cuerpo de números k , Martin Kneser , Günter Harder y Vladimir Chernousov (1989) demostraron el principio de Hasse : para un grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , la aplicación

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

es biyectiva. ^{[ 35 ]} Aquí v recorre todos los lugares de k , y k _v es el cuerpo local correspondiente (posiblemente R o C ). Además, el conjunto apuntado H ¹ ( k _v , G ) es trivial para todo cuerpo local no arquimidiano k _v , y por lo tanto solo importan los lugares reales de k . El resultado análogo para un cuerpo global k de característica positiva fue demostrado anteriormente por Harder (1975): para todo grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , H ¹ ( k , G ) es trivial (ya que k no tiene lugares reales). ^{[ 36 ]}

En el caso ligeramente diferente de un grupo adjunto G sobre un cuerpo numérico k , el principio de Hasse se cumple en una forma más débil: el mapa natural

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

es inyectiva. ^{[ 37 ]} Para G = PGL ( n ), esto equivale al teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether , que dice que un álgebra simple central sobre un cuerpo numérico está determinada por sus invariantes locales.

Partiendo del principio de Hasse, la clasificación de grupos semisimples sobre cuerpos numéricos se comprende bien. Por ejemplo, hay exactamente tres Q -formas del grupo excepcional E ₈ , que corresponden a las tres formas reales de E ₈ .

• Los grupos de tipo Lie son los grupos simples finitos construidos a partir de grupos algebraicos simples sobre cuerpos finitos.
• Variedad de banderas generalizada , descomposición de Bruhat , variedad de Schubert , cálculo de Schubert
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• Forma real (Teoría de la mentira)
• La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
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• Grupo especial , dimensión esencial
• Teoría de invariantes geométricos , teorema de la rebanada de Luna , teorema de Haboush
• Radical de un grupo algebraico

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