Álgebra de Lie compleja

En matemáticas , un álgebra de Lie compleja es un álgebra de Lie sobre números complejos .

Dada una álgebra de Lie compleja , su conjugado es una álgebra de Lie compleja con el mismo espacio vectorial real subyacente pero con actuando como en su lugar. ^[1] Como álgebra de Lie real, una álgebra de Lie compleja es trivialmente isomorfa a su conjugado. Una álgebra de Lie compleja es isomorfa a su conjugado si y solo si admite una forma real (y se dice que está definida sobre los números reales). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\estilo de visualización -i}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dada un álgebra de Lie compleja , se dice que un álgebra de Lie real es una forma real de si la complejización es isomorfa a . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una forma real es abeliana (resp. nilpotente, resoluble, semisimple) si y solo si es abeliana (resp. nilpotente, resoluble, semisimple). ^[2] Por otro lado, una forma real es simple si y solo si es simple o es de la forma donde son simples y son conjugados entre sí. ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}}$

La existencia de una forma real en un álgebra de Lie compleja implica que es isomorfa a su conjugado; ^[1] de hecho, si , entonces sea el isomorfismo -lineal inducido por el conjugado complejo y luego ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\otimes _ {\mathbb {R} }\mathbb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\ más i{\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle \tau (i(x+iy))=\tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)}$,

lo cual quiere decir que es de hecho un isomorfismo -lineal. ${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

Por el contrario, ^{[ aclaración necesaria ]} supongamos que hay un isomorfismo -lineal ; sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es la función identidad en el espacio vectorial real subyacente. Luego definamos , que es claramente un álgebra de Lie real. Cada elemento en se puede escribir de forma única como . Aquí, y de manera similar fija . Por lo tanto, ; es decir, es una forma real. ${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\{z\in {\mathfrak {g}}|\tau (z)=z\}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)}$${\displaystyle \tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau (z)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle z+\tau (z)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

Sea un álgebra de Lie compleja semisimple que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo . Sea un subálgebra de Cartan de y el subgrupo de Lie correspondiente a ; los conjugados de se denominan subgrupos de Cartan . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$

Supóngase que existe la descomposición dada por una elección de raíces positivas. Entonces la función exponencial define un isomorfismo de a un subgrupo cerrado . ^[3] El subgrupo de Lie correspondiente al subálgebra de Borel es cerrado y es el producto semidirecto de y ; ^[4] los conjugados de se denominan subgrupos de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle U\subset G}$${\displaystyle B\subset G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
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• Serre, Jean-Pierre (2001). Álgebras de mentira complejas semisimples . Berlín: Springer. ISBN 3-5406-7827-1.