grupo algebraico lineal

En matemáticas , un grupo algebraico lineal es un subgrupo del grupo de invertibles.${\displaystyle n\times n}$matrices (bajo multiplicación de matrices ) que se definen mediante ecuaciones polinómicas . Un ejemplo es el grupo ortogonal , definido por la relación${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$dónde${\displaystyle M^{T}}$es la transpuesta de${\displaystyle M}$.

Muchos grupos de Lie pueden considerarse grupos algebraicos lineales sobre el cuerpo de los números reales o complejos . (Por ejemplo, todo grupo de Lie compacto puede considerarse un grupo algebraico lineal sobre R (necesariamente R -anisotrópico y reductivo), al igual que muchos grupos no compactos, como el grupo de Lie simple SL( n , R ) ). Los grupos de Lie simples fueron clasificados por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En aquel entonces, no se hizo especial uso del hecho de que la estructura del grupo puede definirse mediante polinomios, es decir, que se trata de grupos algebraicos. Entre los fundadores de la teoría de grupos algebraicos se encuentran Maurer , Chevalley y Kolchin ( 1948 ) . En la década de 1950, Armand Borel construyó gran parte de la teoría de grupos algebraicos tal como existe hoy en día. 

Uno de los primeros usos de la teoría fue definir los grupos de Chevalley .

Para un entero positivo${\displaystyle n}$, el grupo lineal general${\displaystyle GL(n)}$sobre un campo${\displaystyle k}$, que consta de todos los elementos invertibles${\displaystyle n\times n}$matrices, es un grupo algebraico lineal sobre${\displaystyle k}$Contiene los subgrupos

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

que consisten en matrices de la forma, respectivamente,

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$y${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$.

El grupo${\displaystyle U}$es un ejemplo de un grupo algebraico lineal unipotente , el grupo${\displaystyle B}$es un ejemplo de un grupo algebraico resoluble llamado subgrupo de Borel de${\displaystyle GL(n)}$. Es consecuencia del teorema de Lie-Kolchin que cualquier subgrupo resoluble conexo de${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$se conjuga en${\displaystyle B}$Cualquier subgrupo unipotente puede conjugarse en${\displaystyle U}$.

Otro subgrupo algebraico de${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$es el grupo lineal especial${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$de matrices con determinante 1.

El grupo${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$se denomina grupo multiplicativo , generalmente denotado por${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {m} }}$. El grupo de${\displaystyle k}$-agujas${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {m} }(k)}$es el grupo multiplicativo${\displaystyle k^{*}}$de elementos no nulos del campo${\displaystyle k}$El grupo aditivo${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {a} }}$, cuyo${\displaystyle k}$-los puntos son isomorfos al grupo aditivo de${\displaystyle k}$, también puede expresarse como un grupo matricial, por ejemplo como el subgrupo${\displaystyle U}$en${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Estos dos ejemplos básicos de grupos algebraicos lineales conmutativos, los grupos multiplicativo y aditivo, se comportan de manera muy diferente en términos de sus representaciones lineales (como grupos algebraicos). Cada representación del grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {m} }}$es una suma directa de representaciones irreducibles . (Todas sus representaciones irreducibles tienen dimensión 1, de la forma${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$para un número entero${\displaystyle n}$.) Por el contrario, la única representación irreducible del grupo aditivo${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {a} }}$es la representación trivial. Por lo tanto, toda representación de${\displaystyle \mathbf {G} _ {\mathrm {a} }}$(como la representación bidimensional anterior) es una extensión iterada de representaciones triviales, no una suma directa (a menos que la representación sea trivial). La teoría estructural de los grupos algebraicos lineales analiza cualquier grupo algebraico lineal en términos de estos dos grupos básicos y sus generalizaciones, los toros y los grupos unipotentes, como se explica más adelante.

Para un cuerpo algebraicamente cerrado k , gran parte de la estructura de una variedad algebraica X sobre k está codificada en su conjunto X ( k ) de k puntos racionales , lo que permite una definición elemental de un grupo algebraico lineal. Primero, definimos una función del grupo abstracto GL ( n , k ) a k como regular si puede escribirse como un polinomio en las entradas de una matriz n × n A y en 1/det( A ), donde det es el determinante . Entonces, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k es un subgrupo G ( k ) del grupo abstracto GL ( n , k ) para algún número natural n tal que G ( k ) se define por la anulación de algún conjunto de funciones regulares.

Para un cuerpo arbitrario k , las variedades algebraicas sobre k se definen como un caso especial de esquemas sobre k . En este lenguaje, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es un esquema de subgrupo cerrado y suave de GL ( n ) sobre k para algún número natural n . En particular, G se define por la anulación de un conjunto de funciones regulares en GL ( n ) sobre k , y estas funciones deben tener la propiedad de que para toda k - álgebra conmutativa R , G ( R ) es un subgrupo del grupo abstracto GL ( n , R ). (Así, un grupo algebraico G sobre k no es solo el grupo abstracto G ( k ), sino toda la familia de grupos G ( R ) para k -álgebras conmutativas R ; esta es la filosofía de describir un esquema mediante su functor de puntos ).

En ambos lenguajes, existe la noción de homomorfismo de grupos algebraicos lineales. Por ejemplo, cuando k es algebraicamente cerrado, un homomorfismo de G ⊂ GL ( m ) a H ⊂ GL ( n ) es un homomorfismo de grupos abstractos G ( k ) → H ( k ) definido por funciones regulares en G . Esto convierte a los grupos algebraicos lineales sobre k en una categoría . En particular, esto define qué significa que dos grupos algebraicos lineales sean isomorfos .

En el lenguaje de los esquemas, un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es en particular un esquema de grupo sobre k , lo que significa un esquema sobre k junto con un k -punto 1 ∈ G ( k ) y morfismos.

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

sobre k que satisfacen los axiomas usuales para las aplicaciones de multiplicación e inversa en un grupo (asociatividad, identidad, inversas). Un grupo algebraico lineal también es liso y de tipo finito sobre k , y es afín (como esquema). Recíprocamente, todo esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un cuerpo k tiene una representación fiel en GL ( n ) sobre k para algún n . ^{[ 1 ]} Un ejemplo es la incrustación del grupo aditivo G _a en GL (2), como se mencionó anteriormente. Como resultado, se puede pensar en los grupos algebraicos lineales como grupos de matrices o, de forma más abstracta, como esquemas de grupos afines lisos sobre un cuerpo. (Algunos autores usan "grupo algebraico lineal" para referirse a cualquier esquema de grupo afín de tipo finito sobre un cuerpo).

Para comprender completamente los grupos algebraicos lineales, es necesario considerar esquemas de grupo más generales (no suaves). Por ejemplo, sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0. Entonces, el homomorfismo f : G _m → G _m definido por x ↦ x ^p induce un isomorfismo de grupos abstractos k * → k *, pero f no es un isomorfismo de grupos algebraicos (porque x ^{1/ p} no es una función regular). En el lenguaje de los esquemas de grupo, hay una razón más clara por la que f no es un isomorfismo: f es sobreyectiva, pero tiene un núcleo no trivial , a saber, el esquema de grupo μ _p de raíces p -ésimas de la unidad. Este problema no surge en característica cero. De hecho, todo esquema de grupo de tipo finito sobre un cuerpo k de característica cero es suave sobre k . ^{[ 2 ]} Un esquema de grupo de tipo finito sobre cualquier cuerpo k es suave sobre k si y solo si es geométricamente reducido , lo que significa que el cambio de base${\displaystyle G_{\overline {k}}}$se reduce , donde${\displaystyle {\overline {k}}}$es un cierre algebraico de k . ^{[ 3 ]}

Dado que un esquema afín X está determinado por su anillo O ( X ) de funciones regulares, un esquema de grupo afín G sobre un cuerpo k está determinado por el anillo O ( G ) con su estructura de álgebra de Hopf (proveniente de las aplicaciones de multiplicación e inversa en G ). Esto da una equivalencia de categorías (flechas de inversión) entre esquemas de grupo afines sobre k y álgebras de Hopf conmutativas sobre k . Por ejemplo, el álgebra de Hopf correspondiente al grupo multiplicativo G _m = GL (1) es el anillo de polinomios de Laurent k [ x , x ^{− 1} ], con comultiplicación dada por

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de un grupo algebraico G se puede definir de varias maneras equivalentes: como el espacio tangente T ₁ ( G ) en el elemento identidad 1 ∈ G ( k ), o como el espacio de derivaciones invariantes por la izquierda . Si k es algebraicamente cerrado, una derivación D : O ( G ) → O ( G ) sobre k del anillo de coordenadas de G es invariante por la izquierda si

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

para cada x en G ( k ), donde λ _x : O ( G ) → O ( G ) es inducido por la multiplicación izquierda por x . Para un cuerpo arbitrario k , la invariancia izquierda de una derivación se define como una igualdad análoga de dos aplicaciones lineales O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). ^{[ 6 ]} El corchete de Lie de dos derivaciones se define por [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁ .

El paso de G a${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es, por lo tanto, un proceso de diferenciación . Para un elemento x ∈ G ( k ), la derivada en 1 ∈ G ( k ) del mapa de conjugación G → G , g ↦ xgx ⁻¹ , es un automorfismo de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, dando la representación adjunta :

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Sobre un cuerpo de característica cero, un subgrupo conexo H de un grupo algebraico lineal G está determinado unívocamente por su álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 7 ]} Pero no todas las subálgebras de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$corresponde a un subgrupo algebraico de G , como se observa en el ejemplo del toro G = ( G _m ) ² sobre C . En característica positiva, puede haber muchos subgrupos conexos diferentes de un grupo G con la misma álgebra de Lie (nuevamente, el toro G = ( G _m ) ² proporciona ejemplos). Por estas razones, aunque el álgebra de Lie de un grupo algebraico es importante, la teoría de la estructura de los grupos algebraicos requiere herramientas más globales.

Para un cuerpo algebraicamente cerrado k , una matriz g en GL ( n , k ) se llama semisimple si es diagonalizable y unipotente si la matriz g − 1 es nilpotente . De forma equivalente, g es unipotente si todos los valores propios de g son iguales a 1. La forma canónica de Jordan para matrices implica que cada elemento g de GL ( n , k ) puede escribirse de forma única como un producto g = g _ss g _u tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _u conmutan entre sí.

Para cualquier cuerpo k , se dice que un elemento g de GL ( n , k ) es semisimple si se puede diagonalizar sobre la clausura algebraica de k . Si el cuerpo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de g también pertenecen a GL ( n , k ). Finalmente, para cualquier grupo algebraico lineal G ⊂ GL ( n ) sobre un cuerpo k , se define que un k -punto de G es semisimple o unipotente si es semisimple o unipotente en GL ( n , k ). (Estas propiedades son , de hecho, independientes de la elección de una representación fiel de G) . Si el cuerpo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de un k -punto de G pertenecen automáticamente a G. Es decir (la descomposición de Jordan ): cada elemento g de G ( k ) puede escribirse de forma única como un producto g = g _ss g _u en G ( k ) tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _u conmutan entre sí. ^{[ 8 ]} Esto reduce el problema de describir las clases de conjugación en G ( k ) a los casos semisimple y unipotente.

Un toro sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k es un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ , el producto de n copias del grupo multiplicativo sobre k , para algún número natural n . Para un grupo algebraico lineal G , un toro maximal en G es un toro en G que no está contenido en ningún toro mayor. Por ejemplo, el grupo de matrices diagonales en GL ( n ) sobre k es un toro maximal en GL ( n ), isomorfo a ( G _m ) ⁿ . Un resultado básico de la teoría es que cualesquiera dos toros maximales en un grupo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^{[ 9 ]} El rango de G es la dimensión de cualquier toro maximal.

Para un cuerpo arbitrario k , un toro T sobre k significa un grupo algebraico lineal sobre k cuya base cambia${\displaystyle T_{\overline {k}}}$La clausura algebraica de k es isomorfa a ( G _m ) ⁿ sobre${\displaystyle {\overline {k}}}$, para algún número natural n . Un toro escindido sobre k significa un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ sobre k para algún n . Un ejemplo de un toro no escindido sobre los números reales R es

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

con estructura de grupo dada por la fórmula para multiplicar números complejos x + iy . Aquí T es un toro de dimensión 1 sobre R. No está dividido, porque su grupo de puntos reales T ( R ) es el grupo del círculo , que no es isomorfo ni siquiera como grupo abstracto a G _m ( R ) = R *.

Cada punto de un toro sobre un cuerpo k es semisimple. Recíprocamente, si G es un grupo algebraico lineal conexo tal que cada elemento de${\displaystyle G({\overline {k}})}$Si es semisimple, entonces G es un toro. ^{[ 10 ]}

Para un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo general k , no se puede esperar que todos los toros maximales en G sobre k sean conjugados por elementos de G ( k ). Por ejemplo, tanto el grupo multiplicativo G _m como el grupo de círculos T anterior aparecen como toros maximales en SL (2) sobre R . Sin embargo, siempre es cierto que cualesquiera dos toros divididos maximales en G sobre k (es decir, toros divididos en G que no están contenidos en un toro dividido mayor ) son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^{[ 11 ]} Como resultado, tiene sentido definir el k -rango o rango dividido de un grupo G sobre k como la dimensión de cualquier toro dividido maximal en G sobre k .

Para cualquier toro maximal T en un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k , Grothendieck demostró que${\displaystyle T_{\overline {k}}}$es un toro maximal en${\displaystyle G_{\overline {k}}}$. ^{[ 12 ]} De ello se deduce que cualesquiera dos toros maximales en G sobre un cuerpo k tienen la misma dimensión, aunque no necesariamente son isomorfos.

Sea U _n el grupo de matrices triangulares superiores en GL ( n ) con entradas diagonales iguales a 1, sobre un cuerpo k . Un esquema de grupo sobre un cuerpo k (por ejemplo, un grupo algebraico lineal) se denomina unipotente si es isomorfo a un esquema de subgrupo cerrado de U _n para algún n . Es sencillo comprobar que el grupo U _n es nilpotente. Por consiguiente, todo esquema de grupo unipotente es nilpotente.

Un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k es unipotente si y solo si cada elemento de${\displaystyle G({\overline {k}})}$es unipotente. ^{[ 13 ]}

El grupo B _n de matrices triangulares superiores en GL ( n ) es un producto semidirecto

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

donde T _n es el toro diagonal ( G _m ) ⁿ . De manera más general, todo grupo algebraico lineal resoluble conexo es un producto semidirecto de un toro con un grupo unipotente, T ⋉ U . ^{[ 14 ]}

Un grupo liso conexo unipotente sobre un cuerpo perfecto k (por ejemplo, un cuerpo algebraicamente cerrado) tiene una serie de composición con todos los grupos cociente isomorfos al grupo aditivo G _a . ^{[ 15 ]}

Los subgrupos de Borel son importantes para la teoría de la estructura de los grupos algebraicos lineales. Para un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado , un subgrupo de Borel de G es un subgrupo resoluble, conexo y suave maximal. Por ejemplo, un subgrupo de Borel de GL ( n ) es el subgrupo B de matrices triangulares superiores (donde todos los elementos por debajo de la diagonal son cero).

Un resultado básico de la teoría es que cualesquiera dos subgrupos de Borel de un grupo conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k son conjugados por algún elemento de G ( k ). ^{[ 16 ]} (Una demostración estándar utiliza el teorema del punto fijo de Borel : para un grupo resoluble conexo G que actúa sobre una variedad propia X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , hay un k -punto en X que está fijado por la acción de G .) La conjugación de los subgrupos de Borel en GL ( n ) equivale al teorema de Lie-Kolchin : todo subgrupo resoluble conexo liso de GL ( n ) es conjugado a un subgrupo del subgrupo triangular superior en GL ( n ).

Para un cuerpo arbitrario k , un subgrupo de Borel B de G se define como un subgrupo sobre k tal que, sobre una clausura algebraica${\displaystyle {\overline {k}}}$de k ,${\displaystyle B_{\overline {k}}}$es un subgrupo de Borel de${\displaystyle G_{\overline {k}}}$. Por lo tanto, G puede o no tener un subgrupo de Borel sobre k .

Para un esquema de subgrupo cerrado H de G , el espacio cociente G / H es un esquema cuasiproyectivo suave sobre k . ^{[ 17 ]} Un subgrupo suave P de un grupo conexo G se llama parabólico si G / P es proyectivo sobre k (o equivalentemente, propio sobre k ). Una propiedad importante de los subgrupos de Borel B es que G / B es una variedad proyectiva, llamada variedad de banderas de G. Es decir, los subgrupos de Borel son subgrupos parabólicos. Más precisamente, para k algebraicamente cerrado, los subgrupos de Borel son exactamente los subgrupos parabólicos mínimos de G ; recíprocamente, todo subgrupo que contiene un subgrupo de Borel es parabólico. ^{[ 18 ]} Así, se pueden enumerar todos los subgrupos parabólicos de G (salvo conjugación por G ( k )) enumerando todos los subgrupos algebraicos lineales de G que contienen un subgrupo de Borel fijo. Por ejemplo, los subgrupos P ⊂ GL (3) sobre k que contienen el subgrupo de Borel B de matrices triangulares superiores son B mismo, todo el grupo GL (3) y los subgrupos intermedios

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$y${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Las variedades homogéneas proyectivas correspondientes GL (3)/ P son (respectivamente): la variedad de banderas de todas las cadenas de subespacios lineales

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

con V _i de dimensión i ; un punto; el espacio proyectivo P ^{2 de líneas (} subespacios lineales unidimensionales ) en A ³ ; y el espacio proyectivo dual P ² de planos en A ³ .

Un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se llama semisimple si todo subgrupo normal liso, conexo y resoluble de G es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se llama reductivo si todo subgrupo normal liso, conexo y unipotente de G es trivial. ^{[ 19 ]} (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos sean conexos). Un grupo semisimple es reductivo. Un grupo G sobre un cuerpo arbitrario k se llama semisimple o reductivo si${\displaystyle G_{\overline {k}}}$es semisimple o reductivo. Por ejemplo, el grupo SL ( n ) de matrices n × n con determinante 1 sobre cualquier cuerpo k es semisimple, mientras que un toro no trivial es reductivo pero no semisimple. De igual modo, GL ( n ) es reductivo pero no semisimple (porque su centro G _m es un subgrupo normal resoluble, suave y conexo no trivial).

Todo grupo de Lie compacto conexo tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción establece una correspondencia biunívoca entre grupos de Lie compactos conexos y grupos reductivos complejos, salvo isomorfismo. ^{[ 20 ]}

Un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k se llama simple (o k - simple ) si es semisimple, no trivial y todo subgrupo normal conexo y liso de G sobre k es trivial o igual a G. ^{[ 21 ]} (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple") . Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, ya que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier entero n al menos 2 y cualquier cuerpo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple, y su centro es el esquema de grupo μ _n de raíces n- ésimas de la unidad.

Todo grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto k es (de manera única) una extensión de un grupo reductivo R por un grupo liso conexo unipotente U , llamado radical unipotente de G :

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

Si k tiene característica cero, entonces se tiene la descomposición de Levi más precisa : todo grupo algebraico lineal conexo G sobre k es un producto semidirecto.${\displaystyle R\ltimes U}$de un grupo reductivo por un grupo unipotente. ^{[ 22 ]}

Los grupos reductivos incluyen los grupos algebraicos lineales más importantes en la práctica, como los grupos clásicos : GL ( n ), SL ( n ), los grupos ortogonales SO ( n ) y los grupos simplécticos Sp (2n ) . Por otro lado, la definición de grupos reductivos es bastante "negativa", y no está claro que se pueda esperar decir mucho sobre ellos. Sorprendentemente, Claude Chevalley dio una clasificación completa de los grupos reductivos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado: están determinados por datos de raíz . ^{[ 23 ]} En particular, los grupos simples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k se clasifican (salvo cocientes por esquemas de subgrupos centrales finitos) por sus diagramas de Dynkin . Es sorprendente que esta clasificación sea independiente de la característica de k . Por ejemplo, los excepcionales grupos de Lie G2, F4, E6, E7 y E8 _pueden definirse _en cualquier _{característica} ( _{e incluso como esquemas} de _grupo sobre Z ). La clasificación de los grupos simples finitos establece que la mayoría de los grupos simples finitos surgen como el grupo de k puntos de un grupo algebraico simple sobre un cuerpo finito k , o como variantes menores de esa construcción.

Todo grupo reductivo sobre un cuerpo es el cociente, mediante un esquema de subgrupos centrales finitos, del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Para un cuerpo arbitrario k , un grupo reductivo G se denomina dividido si contiene un toro maximal dividido sobre k (es decir, un toro dividido en G que permanece maximal sobre una clausura algebraica de k ). Por ejemplo, GL ( n ) es un grupo reductivo dividido sobre cualquier cuerpo k . Chevalley demostró que la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma sobre cualquier cuerpo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede ser difícil, dependiendo del cuerpo base. Por ejemplo, toda forma cuadrática no degenerada q sobre un cuerpo k determina un grupo reductivo SO ( q ), y toda álgebra simple central A sobre k determina un grupo reductivo _SL1 ( A ) (de elementos con norma reducida 1). Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrado, y se entienden para algunos otros campos como los campos numéricos , pero para campos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.

Los grupos algebraicos lineales admiten variantes en varias direcciones. Si se omite la existencia del mapa inverso,${\displaystyle i\colon G\to G}$, se obtiene la noción de un monoide algebraico lineal . ^{[ 26 ]}

• Los grupos de tipo Lie son los grupos simples finitos construidos a partir de grupos algebraicos simples sobre cuerpos finitos.
• Teorema de Lang
• Variedad de banderas generalizada , descomposición de Bruhat , par BN , grupo de Weyl , subgrupo de Cartan , grupo de tipo adjunto , inducción parabólica
• Forma real (teoría de Lie) , diagrama de Satake
• Grupo algebraico adélico , conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
• Clasificación de Langlands , programa de Langlands , programa geométrico de Langlands
• Torsor , cohomología no abeliana , grupo especial , invariante cohomológico , dimensión esencial , conjetura de Kneser-Tits , conjetura de Serre II
• Grupo pseudorreductor
• Teoría de Galois diferencial
• Distribución en un grupo algebraico lineal

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