Dimensión esencial

En matemáticas , la dimensión esencial es un invariante definido para ciertas estructuras algebraicas, como grupos algebraicos y formas cuadráticas . Fue introducida por Joe Buhler y Zinovy ​​Reichstein ^{[ 1 ]} y definida en toda su generalidad por Alexander Merkurjev ^{[ 2 ]} .

Básicamente, la dimensión esencial mide la complejidad de las estructuras algebraicas a través de sus campos de definición. Por ejemplo, si${\displaystyle K}$es un campo y${\displaystyle V}$a${\displaystyle K}$-espacio vectorial, una forma cuadrática${\displaystyle q:V\to K}$Se dice que está definido sobre un subcampo.${\displaystyle L}$de${\displaystyle K}$si existe un${\displaystyle K}$- base${\ Displaystyle e_ {1}, \ puntos, e_ {n}}$de${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle q}$puede expresarse en la forma

${\displaystyle q{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}{\bigg )}=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}}$

con todos los coeficientes${\displaystyle a_{ij}}$perteneciente a${\displaystyle L}$. Si${\displaystyle K}$tiene una característica diferente a la 2, toda forma cuadrática es diagonalizable . Por lo tanto,${\displaystyle q}$tiene un campo de definición generado por${\displaystyle n}$elementos. Técnicamente, siempre se trabaja sobre un campo base (fijo).${\displaystyle k}$y los campos${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$en consideración se supone que deben contener${\displaystyle k}$. La dimensión esencial de${\displaystyle q}$se define entonces como el menor grado de trascendencia sobre${\displaystyle k}$de un subcampo${\displaystyle L}$de${\displaystyle K}$sobre cuál${\displaystyle q}$está definido.

Fijar un campo arbitrario${\displaystyle k}$y dejar que Fields${\displaystyle /k}$denotan la categoría de extensiones de campo finitamente generadas de${\displaystyle k}$con inclusiones como morfismos . Consideremos un functor (covariante).${\displaystyle F:}$Campos${\displaystyle /k\to }$Establecer . Para una extensión de campo${\displaystyle K/k}$y un elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle F(K/k)}$un campo de definición de${\displaystyle a}$es un campo intermedio${\displaystyle K/L/k}$de tal manera que${\displaystyle a}$está contenido en la imagen del mapa${\displaystyle F(L/k)\to F(K/k)}$inducido por la inclusión de${\displaystyle L}$en${\displaystyle K}$.

La dimensión esencial de${\displaystyle a}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {ed} (a)}$, es el grado de trascendencia más bajo (sobre${\displaystyle k}$) de un campo de definición para${\displaystyle a}$. La dimensión esencial del funtor F , denotada por${\displaystyle \operatorname {ed} (F)}$, es el supremo de${\displaystyle \operatorname {ed} (a)}$todos los elementos se han apoderado de ellos${\displaystyle a}$de${\displaystyle F(K/k)}$y objetos${\displaystyle K/k}$de campos${\displaystyle /k}$.

• Dimensión esencial de las formas cuadráticas : Para un número natural${\displaystyle n}$Consideremos el functor${\displaystyle Q_{n}:}$Campos${\displaystyle /k\to }$Establecer una extensión de campo${\displaystyle K/k}$al conjunto de clases de isomorfismo de no degenerados${\displaystyle n}$Formas cuadráticas -dimensionales sobre${\displaystyle K}$y tomando un morfismo${\displaystyle L/k\to K/k}$(dado por la inclusión de${\displaystyle L}$en${\displaystyle K}$) al mapa que envía la clase de isomorfismo de una forma cuadrática${\displaystyle q:V\to L}$a la clase de isomorfismo de la forma cuadrática${\displaystyle q_{K}:V\otimes _ {L}K\to K}$.

• Dimensión esencial de los grupos algebraicos : para un grupo algebraico${\displaystyle G}$encima${\displaystyle k}$denotar por${\displaystyle H^{1}(-,G):}$Campos${\displaystyle /k\to }$Definir el functor tomando una extensión de campo${\displaystyle K/k}$al conjunto de clases de isomorfismo de${\displaystyle G}$- torsos sobre${\displaystyle K}$(en la topología fppf ). La dimensión esencial de este functor se denomina dimensión esencial del grupo algebraico.${\displaystyle G}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {ed} (G)}$.

• Dimensión esencial de una categoría fibrada :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ser una categoría fibrosa sobre la categoría${\displaystyle \operatorname {Aff} /k}$de afín${\displaystyle k}$-esquemas, dados por un functor${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to \operatorname {Aff} /k}$. Por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$puede ser la pila de módulos${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$del género${\displaystyle g}$curvas o la pila de clasificación${\displaystyle {\mathcal {BG}}}$de un grupo algebraico. Suponga que para cada${\displaystyle A\in \operatorname {Aff} /k}$las clases de isomorfismo de objetos en la fibra${\displaystyle p^{-1}(A)}$formamos un conjunto. Entonces obtenemos un functor.${\displaystyle F_{p}:}$Campos${\displaystyle /k\to }$Establecer una extensión de campo${\displaystyle K/k}$al conjunto de clases de isomorfismo en la fibra${\displaystyle p^{-1}(\operatorname {Spec} (K))}$. La dimensión esencial de la categoría de fibras${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se define como la dimensión esencial del functor correspondiente${\displaystyle F_{p}}$En el caso de la pila de clasificación${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}}$de un grupo algebraico${\displaystyle G}$, el valor coincide con la dimensión esencial previamente definida de${\displaystyle G}$.

• La dimensión esencial de un grupo algebraico lineal${\displaystyle G}$siempre es finito y está limitado por la dimensión mínima de una representación genéricamente libre menos la dimensión de${\displaystyle G}$.

• Para${\displaystyle G}$un grupo de espín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle k}$, la dimensión esencial se enumera en OEIS : A280191  .

• La dimensión esencial de un p -grupo algebraico finito sobre${\displaystyle k}$es igual a la dimensión mínima de una representación fiel , siempre que el campo base${\displaystyle k}$contiene un primitivo${\displaystyle p}$-raíz enésima de la unidad .

• La dimensión esencial del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$(considerado como un grupo algebraico sobre${\displaystyle k}$) es conocido por${\displaystyle n\leq 5}$(para cada campo base${\displaystyle k}$), para${\displaystyle n=6}$(para${\displaystyle k}$de característica no 2) y para${\displaystyle n=7}$(en la característica 0).

• Dejar${\displaystyle T}$Sea un toro algebraico que admite un cuerpo de descomposición de Galois.${\displaystyle L/k}$de grado un poder de un primo${\displaystyle p}$. Entonces la dimensión esencial de${\displaystyle T}$es igual al rango más bajo del núcleo de un homomorfismo de${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/k)}$- retículas${\displaystyle P\to X(T)}$con conúcleo finito y de orden coprimo a${\displaystyle p}$, dónde${\displaystyle P}$es una red de permutación.