CAT( k ) espacio

En matemáticas , un${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$espacio , donde${\displaystyle k}$es un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, los triángulos en un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio (con${\displaystyle k<0}$) son "más delgados" que los "triángulos modelo" correspondientes en un espacio estándar de curvatura constante.${\displaystyle k}$. En un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio, la curvatura está limitada desde arriba por${\displaystyle k}$. Un caso especial notable es${\displaystyle k=0}$; completo${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$Estos espacios se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard .

Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios “${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$dominios”. La terminología${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$El término fue acuñado por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura limitada superiormente en sus publicaciones).

Para un número real${\displaystyle k}$, dejar${\displaystyle M_{k}}$denota la única superficie completa simplemente conexa ( variedad riemanniana bidimensional real ) con curvatura constante.${\displaystyle k}$Denotemos por${\displaystyle D_{k}}$el diámetro de${\displaystyle M_{k}}$, que es${\displaystyle \infty }$si${\displaystyle k\leq 0}$y es${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$si${\displaystyle k>0}$.

Dejar${\displaystyle (X,d)}$ser un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico para el cual cada dos puntos${\displaystyle x,y\in X}$se puede unir mediante un segmento geodésico, una curva continua parametrizada por longitud de arco.${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$, cuya longitud

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$

es precisamente${\displaystyle d(x,y)}$. Dejar${\displaystyle \Delta }$ser un triángulo en${\displaystyle X}$con segmentos geodésicos como sus lados.${\displaystyle \Delta }$Se dice que satisface la${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$desigualdad si hay un triángulo de comparación${\displaystyle \Delta '}$en el espacio modelo${\displaystyle M_{k}}$, con lados de la misma longitud que los lados de${\displaystyle \Delta }$, de tal manera que las distancias entre puntos en${\displaystyle \Delta }$son menores o iguales a las distancias entre puntos correspondientes en${\displaystyle \Delta '}$.

El espacio métrico geodésico${\displaystyle (X,d)}$Se dice que es un${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$espacio si cada triángulo geodésico${\displaystyle \Delta }$en${\displaystyle X}$con perímetro menor que${\displaystyle 2D_{k}}$satisface la${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$desigualdad. Un espacio métrico (no necesariamente geodésico)${\displaystyle (X,\,d)}$Se dice que es un espacio con curvatura.${\displaystyle \leq k}$si cada punto de${\displaystyle X}$tiene una convexidad geodésica${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$barrio . Un espacio con curvatura${\displaystyle \leq 0}$Se puede decir que tiene una curvatura no positiva .

• Cualquier${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio${\displaystyle (X,d)}$también es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$espacio para todos${\displaystyle \ell >k}$. De hecho, ocurre lo contrario: si${\displaystyle (X,d)}$es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$espacio para todos${\displaystyle \ell >k}$, entonces es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio.
• El${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$con su métrica habitual es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$espacio. En términos más generales, cualquier espacio de producto interno real (no necesariamente completo) es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$espacio; por el contrario, si un espacio vectorial normado real es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio para algo real${\displaystyle k}$, entonces es un espacio de producto interno.
• El${\displaystyle n}$espacio hiperbólico de -dimensiones${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$con su métrica habitual es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$espacio, y por lo tanto un${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$también el espacio.
• El${\displaystyle n}$esfera unitaria dimensional${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$espacio.
• En términos más generales, el espacio estándar${\displaystyle M_{k}}$es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio. Así, por ejemplo, independientemente de la dimensión, la esfera de radio${\displaystyle r}$(y curvatura constante)${\estilo de texto {\frac {1}{r^{2}}}}$) es un${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$espacio. Nótese que el diámetro de la esfera es${\displaystyle \pi r}$(medido en la superficie de la esfera) no${\displaystyle 2r}$(medido pasando por el centro de la esfera).
• El avión perforado${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\smallsetminus \{\mathbf {0} \}}$no es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$espacio ya que no es geodésicamente convexo (por ejemplo, los puntos${\displaystyle (0,1)}$y${\displaystyle (0,-1)}$no se puede unir mediante una geodésica en${\displaystyle \Pi }$con longitud de arco 2), pero cada punto de${\displaystyle \Pi }$tiene un${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$vecindario geodésicamente convexo, por lo tanto${\displaystyle \Pi }$es un espacio de curvatura${\displaystyle \leq 0}$.
• El subespacio cerrado${\displaystyle X}$de${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$dado por${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\smallsetminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ y }}z>0\}}$equipado con la métrica de longitud inducida no es un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio para cualquier${\displaystyle k}$.
• Cualquier producto de${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$espacios es${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$(Esto no se aplica a los argumentos negativos).

Como caso especial, un espacio CAT(0) completo también se conoce como espacio de Hadamard ; esto es por analogía con la situación de las variedades de Cartan-Hadamard . Un espacio de Hadamard es contraíble (tiene el tipo de homotopía de un solo punto) y, entre cualesquiera dos puntos de un espacio de Hadamard, existe un único segmento geodésico que los conecta (de hecho, ambas propiedades también se cumplen para espacios CAT(0) generales, posiblemente incompletos). Lo más importante es que las funciones de distancia en los espacios de Hadamard son convexas : si${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$Si dos geodésicas en X están definidas en el mismo intervalo de tiempo I , entonces la función${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$dado por

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

es convexa en t .

Dejar${\displaystyle (X,d)}$ser un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• Dados dos puntos cualesquiera${\displaystyle x,y\in X}$(con${\displaystyle d(x,y)<D_{k}}$si${\displaystyle k>0}$), existe un segmento geodésico único que une${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$Además, este segmento varía continuamente en función de sus extremos.
• Cada geodésico local en${\displaystyle X}$con longitud como máximo${\displaystyle D_{k}}$es una geodésica.
• El${\displaystyle d}$- bolas en${\displaystyle X}$de radio menor que${\displaystyle D_{k}/2}$son (geodésicamente) convexas.
• El${\displaystyle d}$-bolas en${\displaystyle X}$de radio menor que${\displaystyle D_{k}}$son contraíbles.
• Los puntos medios aproximados están cerca de los puntos medios en el siguiente sentido: para cada${\displaystyle \lambda <D_{k}}$y cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe un${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda,\varepsilon)>0}$de tal manera que, si${\displaystyle m}$es el punto medio de un segmento geodésico desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$con${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda }$y$${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$entonces${\displaystyle d(m,m')<\varepsilon }$.
• De estas propiedades se deduce que, para${\displaystyle k\leq 0}$la cobertura universal de cada${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$El espacio es contraíble; en particular, los grupos de homotopía superiores de dicho espacio son triviales . Como ejemplo del${\displaystyle n}$-esfera${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$muestra, en general, no hay esperanza para un${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$espacio para ser contraíble si${\displaystyle k>0}$.

En una región donde la curvatura de la superficie satisface K ≤ 0 , los triángulos geodésicos satisfacen las desigualdades CAT(0) de la geometría de comparación , estudiadas por Cartan , Alexandrov y Toponogov , y consideradas posteriormente desde un punto de vista diferente por Bruhat y Tits . Gracias a la visión de Gromov , esta caracterización de la curvatura no positiva en términos del espacio métrico subyacente ha tenido un profundo impacto en la geometría moderna y, en particular, en la teoría geométrica de grupos . Muchos resultados conocidos para superficies lisas y sus geodésicas, como el método de Birkhoff para construir geodésicas mediante su proceso de acortamiento de curvas o el teorema de van Mangoldt y Hadamard que establece que una superficie simplemente conexa de curvatura no positiva es homeomorfa al plano, son igualmente válidos en este contexto más general.

Desigualdad de comparación de Alexandrov

La forma más simple de la desigualdad de comparación, demostrada por primera vez para superficies por Alexandrov alrededor de 1940, establece que

La distancia entre un vértice de un triángulo geodésico y el punto medio del lado opuesto es siempre menor que la distancia correspondiente en el triángulo de comparación situado en el plano con la misma longitud de lados.

La desigualdad se deduce del hecho de que si c ( t ) describe una geodésica parametrizada por la longitud de arco y a es un punto fijo, entonces

f ( t ) = d ( a , c ( t )) ² − t ²

es una función convexa , es decir

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

Tomando coordenadas polares geodésicas con origen en a de modo que ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , la convexidad es equivalente a

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

Cambiando a coordenadas normales u , v en c ( t ) , esta desigualdad se convierte en:

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

donde ( u , v ) corresponde al vector unitario ċ ( t ) . Esto se deduce de la desigualdad H _r ≥ H , consecuencia de la no negatividad de la derivada del Wronskiano de H y r de la teoría de Sturm-Liouville . ^{[ 1 ]}

• Teorema de Cartan-Hadamard

• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Geometría de Alexandrov, Capítulo 7" (PDF) . Consultado el 7 de abril de 2011 .
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