Triángulo de comparación

Dejar${\textstyle M_{0}^{2}=\mathbb {E} ^{2}}$sea ​​el plano euclidiano ,${\textstyle M_{1}^{2}=\mathbb {S} ^{2}}$sea ​​la esfera unitaria 2 , y${\textstyle M_{-1}^{2}=\mathbb {H} ^{2}}$sea ​​el plano hiperbólico .${\textstyle k>0}$, dejar${\textstyle M_{k}^{2}}$y${\textstyle M_{-k}^{2}}$denotan los espacios obtenidos, respectivamente, de${\textstyle M_{1}^{2}}$y${\textstyle M_{-1}^{2}}$multiplicando la distancia por${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {|k|}}}}$. Para cualquier${\textstyle k\in \mathbb {R}}$,${\textstyle M_{k}^{2}}$es la única variedad riemanniana bidimensional completa , simplemente conexa y de curvatura seccional constante.${\textstyle k}$.

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio métrico .${\displaystyle T}$ser un triángulo geodésico en${\displaystyle X}$, es decir, tres puntos${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$y${\displaystyle r}$y tres segmentos geodésicos${\textstyle [p,q]}$,${\textstyle [q,r]}$y${\textstyle [r,p]}$Un triángulo de comparación${\displaystyle T*}$en${\textstyle M_{k}^{2}}$para${\displaystyle T}$es un triángulo geodésico en${\textstyle M_{k}^{2}}$con vértices${\displaystyle p'}$,${\displaystyle q'}$y${\displaystyle r'}$de tal manera que${\textstyle d(p,q)=d(p',q')}$,${\textstyle d(p,r)=d(p',r')}$y${\textstyle d(r,q)=d(r',q')}$.

Tal triángulo, cuando existe, es único salvo isometría . La existencia siempre es verdadera para${\textstyle k\leq 0}$. Para${\textstyle k>0}$Esto puede garantizarse mediante la condición adicional.${\textstyle d(p,q)+d(q,r)+d(r,p)\leq {\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}}$(es decir, la longitud del triángulo no excede la de un círculo máximo de la esfera)${\textstyle M_{k}^{2}}$).

La siguiente construcción similar, que aparece en ciertas definiciones posibles de hiperbolicidad de Gromov, puede considerarse un caso límite cuando${\textstyle k\rightarrow -\infty }$.

Por tres puntos${\textstyle x,y,z}$en un espacio métrico${\textstyle X}$, el producto Gromov de${\textstyle x}$y${\textstyle y}$en${\textstyle z}$es la mitad del defecto de desigualdad triangular :$${\displaystyle (x,y)_{z}={\frac {1}{2}}(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))}$$Dado un triángulo geodésico${\textstyle \Delta }$en${\textstyle X}$con vértices${\textstyle (p,q,r)}$, el trípode de comparación${\textstyle T_{\Delta }}$para${\textstyle \Delta }$es el gráfico métrico obtenido al pegar tres segmentos${\textstyle [p',c_{p}],[q',c_{q}],[r',c_{r}]}$de longitudes respectivas${\textstyle (q,r)_{p},(r,p)_{q},(p,q)_{r}}$a lo largo de un vértice${\textstyle c}$, configuración${\textstyle c_{p}=c_{q}=c_{r}=c}$.

Uno tiene${\textstyle d(p',q')=d(p,q),~~d(q',r')=d(q,r),~~d(r',p')=d(r,p),}$y${\textstyle T_{\Delta }}$es la unión de los tres segmentos geodésicos únicos${\textstyle [p',q'],[q',r'],[r',p']}$Además, existe un mapa comparativo bien definido.${\textstyle f_{\Delta}:\Delta \longrightarrow T_{\Delta}}$con${\textstyle f_{\Delta }(p)=p',f_{\Delta }(q)=q',f_{\Delta }(r)=r',}$de tal manera que${\textstyle f_{\Delta }}$es isométrico en cada lado de${\textstyle \Delta }$. El vértice${\textstyle c}$se llama el centro de${\textstyle T_{\Delta }}$y su preimagen bajo${\textstyle f_{\Delta }}$se llama el centro de${\textstyle \Delta }$, sus puntos los puntos internos de${\textstyle \Delta }$y su diámetro del tamaño de${\textstyle \Delta }$.

Una forma de formular la hiperbolicidad de Gromov es requerir${\textstyle f_{\Delta }}$no cambiar las distancias en más de una constante${\textstyle \delta \geq 0}$Otra forma es requerir los tamaños de los triángulos.${\textstyle \Delta }$estar limitado superiormente por una constante uniforme${\textstyle \delta '\geq 0}$.

De forma equivalente, un trípode es un triángulo de comparación en un árbol real universal de valencia.${\textstyle \geq 3}$. Tales árboles aparecen como ultralímites de la${\textstyle M_{k}^{2}}$como${\textstyle k\rightarrow -\infty }$. ^{[ 1 ]}