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En matemáticas , una variedad completa (o variedad geodésicamente completa ) M es una variedad ( pseudo ) riemanniana para la cual, partiendo de cualquier punto p de M , existen caminos rectos que se extienden infinitamente en todas las direcciones.

Formalmente, un conjunto${\displaystyle M}$es (geodésicamente) completa si para cualquier geodésica máxima${\displaystyle \ell :I\to M}$, sostiene que${\displaystyle I=(-\infty,\infty)}$. ^{[ 1 ]} Una geodésica es máxima si su dominio no puede extenderse.

De forma equivalente,${\displaystyle M}$es (geodésicamente) completa si para todos los puntos${\displaystyle p\in M}$, el mapa exponencial en${\displaystyle p}$se define en${\displaystyle T_{p}M}$, todo el espacio tangente en${\displaystyle p}$. ^{[ 1 ]}

El teorema de Hopf-Rinow ofrece caracterizaciones alternativas de la completitud. Sea${\displaystyle (M,g)}$Sea una variedad riemanniana conexa y sea${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$sea ​​su función de distancia riemanniana .

El teorema de Hopf-Rinow establece que${\displaystyle (M,g)}$es (geodésicamente) completa si y solo si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 2 ]}

• El espacio métrico${\displaystyle (M,d_{g})}$está completo (cada${\displaystyle d_{g}}$- La sucesión de Cauchy converge),
• Todos los subconjuntos cerrados y acotados de${\displaystyle M}$son compactos .

espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la esfera${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$y el tori${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$(con sus métricas riemannianas naturales ) son todas variedades completas.

Todas las variedades riemannianas compactas y todas las variedades homogéneas son geodésicamente completas. Todos los espacios simétricos son geodésicamente completos.

No ejemplos

Un ejemplo sencillo de una variedad incompleta viene dado por el plano perforado.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$(con su métrica inducida). Las geodésicas que convergen al origen no pueden definirse en toda la recta real. Por el teorema de Hopf-Rinow, podemos observar alternativamente que no es un espacio métrico completo: cualquier sucesión en el plano que converge al origen es una sucesión de Cauchy no convergente en el plano perforado.

Existen variedades pseudoriemannianas compactas (pero no riemannianas) no geodésicamente completas. Un ejemplo de ello es el toro de Clifton-Pohl .

En la teoría de la relatividad general , que describe la gravedad en términos de una geometría pseudoriemanniana, surgen muchos ejemplos importantes de espacios geodésicamente incompletos, como agujeros negros no rotatorios sin carga o cosmologías con un Big Bang . El hecho de que dicha incompletitud sea bastante común en la relatividad general se demuestra en los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking .

Si${\displaystyle M}$Si es geodésicamente completa, entonces no es isométrica a una subvariedad propia abierta de ninguna otra variedad riemanniana. Lo contrario no se cumple. ^{[ 3 ]}