Álgebra de octoniones

En matemáticas , un álgebra de octoniones o álgebra de Cayley sobre un cuerpo F es un álgebra de composición unitaria sobre F que tiene dimensión 8 sobre F. En otras palabras, es un álgebra unitaria no asociativa de dimensión 8 A sobre F con una forma cuadrática no degenerada N (llamada forma norma ) tal que

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

para todo x e y en A.

El ejemplo más conocido de un álgebra de octoniones son los octoniones clásicos , que constituyen un álgebra de octoniones sobre R , el cuerpo de los números reales . Los octoniones divididos también forman un álgebra de octoniones sobre R. Salvo isomorfismo de álgebras sobre R , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre los números reales. El álgebra de bioctoniones es el álgebra de octoniones sobre los números complejos C.

El álgebra de octoniones para N es un álgebra de división si y solo si la forma N es anisotrópica . Un álgebra de octoniones escindida es aquella para la cual la forma cuadrática N es isotrópica (es decir, existe un vector no nulo x tal que N ( x ) = 0). Salvo isomorfismo de F -álgebra, existe un único álgebra de octoniones escindida sobre cualquier cuerpo ^{F. [1} ] Cuando ^{F es} algebraicamente cerrado o un cuerpo finito , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre F. Por ejemplo, cuando F es el cuerpo de los números reales, el álgebra es de octoniones escindidos .

Las álgebras de octoniones son siempre no asociativas. Sin embargo, son álgebras alternativas , siendo la alternatividad una forma más débil de asociatividad. Además, las identidades de Moufang se cumplen en cualquier álgebra de octoniones. Por lo tanto, los elementos invertibles de cualquier álgebra de octoniones forman un bucle de Moufang , al igual que los elementos de norma unitaria.

The construction of general octonion algebras over an arbitrary field k was described by Leonard Dickson in his book Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (Seite 264) and repeated by Max Zorn.^[2] The product depends on selection of a γ from k. Given q and Q from a quaternion algebra over k, the octonion is written q + Qe. Another octonion may be written r + Re. Then with * denoting the conjugation in the quaternion algebra, their product is

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr+\gamma R^{*}Q)+(Rq+Qr^{*})e.}$

Zorn's German language description of this Cayley–Dickson construction contributed to the persistent use of this eponym describing the construction of composition algebras.

Cohl Furey has proposed that octonion algebras can be utilized in an attempt to reconcile components of the Standard Model.^[3]

Note that octonion algebras are specifically unital composition algebras. However, non-unital 8 dimensional composition algebras also exist, such as Okubo algebras.

It is a theorem of Adolf Hurwitz that the F-isomorphism classes of the norm form are in one-to-one correspondence with the isomorphism classes of octonion F-algebras. Moreover, the possible norm forms are exactly the Pfister 3-forms over F.^[4]

Since any two octonion F-algebras become isomorphic over the algebraic closure of F, one can apply the ideas of non-abelianGalois cohomology. In particular, by using the fact that the automorphism group of the split octonions is the split algebraic groupG₂, one sees the correspondence of isomorphism classes of octonion F-algebras with isomorphism classes of G₂-torsors over F. These isomorphism classes form the non-abelian Galois cohomology set ${\displaystyle H^{1}(F,G_{2})}$.^[5]

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• "Cayley–Dickson algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]