Función (matemáticas)

En matemáticas , una función de un conjunto X a un conjunto Y asigna a cada elemento de X exactamente un elemento de Y. ^{[ 1 ]} El conjunto X se llama dominio de la función ^{[ 2 ]} y el conjunto Y se llama codominio de la función. ^{[ 3 ]}

Las funciones fueron originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra. Por ejemplo, la posición de un planeta es una función del tiempo. Históricamente , el concepto se desarrolló con el cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII y, hasta el siglo XIX, las funciones consideradas eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a finales del siglo XIX en términos de la teoría de conjuntos , lo que incrementó considerablemente sus posibles aplicaciones.

Una función se suele denotar con una letra como f , g o h . El valor de una función f en un elemento x de su dominio (es decir, el elemento del codominio asociado a x ) se denota por f ( x ) ; por ejemplo, el valor de f en x = 4 se denota por f (4) . Comúnmente, una función específica se define mediante una expresión que depende de x , como en este caso, puede ser necesario realizar algún cálculo, llamado evaluación de la función , para deducir el valor de la función en un valor particular; por ejemplo, si entonces${\displaystyle f(x)=x^{2}+1;}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,}$${\displaystyle f(4)=4^{2}+1=17.}$

Dado su dominio y su codominio, una función se representa de forma única mediante el conjunto de todos los pares ( x , f ( x )) , llamado la gráfica de la función , un medio popular para ilustrar la función. ^{[ nota 1 ] [ 4 ]} Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números reales, cada par puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano.

Las funciones se utilizan ampliamente en la ciencia , la ingeniería y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Se ha dicho que las funciones son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas. ^{[ 5 ]}

El concepto de función ha evolucionado significativamente a lo largo de los siglos, desde sus orígenes informales en las matemáticas antiguas hasta su formalización en el siglo XIX. Consulte la Historia del concepto de función para obtener más detalles.

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una asignación de un elemento de Y a cada elemento de X. El conjunto X se denomina dominio de la función y el conjunto Y se denomina codominio de la función.

Si el elemento y en Y se asigna a x en X mediante la función f , se dice que f mapea x a y , y esto se escribe comúnmente En esta notación, x es el argumento o variable de la función. ${\displaystyle y=f(x).}$

Un elemento específico x de X es un valor de la variable , y el elemento correspondiente de Y es el valor de la función en x , o la imagen de x bajo la función. La imagen de una función , a veces llamada su rango , es el conjunto de las imágenes de todos los elementos en el dominio. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Una función f , su dominio X y su codominio Y se especifican a menudo mediante la notación Se puede escribir en lugar de , donde el símbolo (que se lee ' se asigna a ') se utiliza para especificar a qué elemento particular x del dominio se asigna f . Esto permite definir una función sin nombrarla. Por ejemplo, la función cuadrática es la función${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle x\mapsto y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

El dominio y el codominio no siempre se dan explícitamente cuando se define una función. En particular, es común que uno solo sepa, sin algún cálculo (posiblemente difícil), que el dominio de una función específica está contenido en un conjunto más grande. Por ejemplo, si es una función real , la determinación del dominio de la función requiere conocer los ceros de f. Esta es una de las razones por las que, en análisis matemático , "una función de X a Y " puede referirse a una función cuyo dominio es un subconjunto propio de X. ^{[ nota 2 ]} Por ejemplo, una "función de los reales a los reales" puede referirse a una función de valor real de una variable real cuyo dominio es un subconjunto propio de los números reales , típicamente un subconjunto que contiene un intervalo abierto no vacío . Dicha función se llama entonces función parcial . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

Una función f en un conjunto S significa una función del dominio S , sin especificar un codominio. Sin embargo, algunos autores la usan como una forma abreviada de decir que la función es f  : S → S .

La definición anterior de una función es esencialmente la de los fundadores del cálculo , Leibniz , Newton y Euler . Sin embargo, no se puede formalizar , ya que no existe una definición matemática de una "asignación". Es solo a finales del siglo XIX que se pudo proporcionar la primera definición formal de una función, en términos de la teoría de conjuntos . Esta definición de la teoría de conjuntos se basa en el hecho de que una función establece una relación entre los elementos del dominio y algunos (posiblemente todos) los elementos del codominio. Matemáticamente, una relación binaria entre dos conjuntos X e Y es un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados tales que y El conjunto de todos estos pares se llama producto cartesiano de X e Y y se denota Por lo tanto, la definición anterior se puede formalizar de la siguiente manera. ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle X\times Y.}$

Una función con dominio X y codominio Y es una relación binaria R entre X e Y que satisface las dos condiciones siguientes: ^{[ 10 ]}

• Para cada uno existe en tal que${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• Si y entonces${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle (x,z)\in R,}$${\displaystyle y=z.}$

Esta definición puede reescribirse de manera más formal, sin hacer referencia explícita al concepto de relación, pero utilizando más notación (incluida la notación de construcción de conjuntos ):

Una función está formada por tres conjuntos (a menudo como una terna ordenada), el dominio , el codominio y la gráfica que satisfacen las tres condiciones siguientes. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

Una relación que satisface estas condiciones se denomina relación funcional .

La terminología y notación más habituales se pueden derivar de esta definición formal de la siguiente manera. Sea ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ una función definida por una relación funcional ⁠ ⁠${\displaystyle R}$ . Para cada ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ en el dominio de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ , el único elemento del codominio que está relacionado con ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ se denota ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$ . Si ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ es este elemento, se escribe comúnmente ⁠ ⁠${\displaystyle y=f(x)}$ en lugar de ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)\in R\,}$ o ⁠ ⁠${\displaystyle xRy}$ , y se dice que " ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ se asigna ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ a ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ ", " ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ es la imagen por ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ ", o "la aplicación de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ en ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ da ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ ", etc.

Las funciones parciales se definen de forma similar a las funciones ordinarias, sin la condición de "total". Es decir, una función parcial de X a Y es una relación binaria R entre X e Y tal que, para cada existe como máximo un y en Y tal que${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle (x,y)\in R.}$

Utilizando la notación funcional, esto significa que, dado que está en Y , o no está definido. ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f(x)}$

El conjunto de elementos de X tales que está definida y pertenece a Y se denomina dominio de definición de la función. Una función parcial de X a Y es, por lo tanto, una función ordinaria cuyo dominio es un subconjunto de X llamado dominio de definición de la función. Si el dominio de definición es igual a X , se suele decir que la función parcial es una función total . ${\displaystyle f(x)}$

En diversas áreas de las matemáticas, el término "función" se refiere a funciones parciales en lugar de funciones ordinarias (totales). Esto suele ocurrir cuando las funciones se especifican de tal manera que resulta difícil, o incluso imposible, determinar su dominio.

En cálculo , una función real de una variable real , o función real, es una función parcial del conjunto de los números reales en sí misma. Dada una función real, su inversa multiplicativa también es una función real. La determinación del dominio de definición de la inversa multiplicativa de una función (parcial) consiste en calcular las raíces de la función, es decir, los valores donde la función está definida pero no su inversa multiplicativa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

De manera similar, una función de una variable compleja es generalmente una función parcial cuyo dominio de definición es un subconjunto de los números complejos . La dificultad de determinar el dominio de definición de una función compleja se ilustra con el inverso multiplicativo de la función zeta de Riemann : la determinación del dominio de definición de la función es más o menos equivalente a la demostración o refutación de uno de los principales problemas abiertos en matemáticas, la hipótesis de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$

En la teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial que asigna valores a los enteros cuyos valores pueden ser calculados por un algoritmo (en términos generales). El dominio de definición de dicha función es el conjunto de entradas para las cuales el algoritmo no se ejecuta indefinidamente. Un teorema fundamental de la teoría de la computabilidad establece que no puede existir un algoritmo que tome como entrada una función recursiva general arbitraria y compruebe si el 0 pertenece a su dominio de definición (véase el problema de la parada ).

Una función multivariable , o función de varias variables , es una función que depende de varios argumentos. Este tipo de funciones son comunes. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es función del tiempo transcurrido y su velocidad media.

Formalmente, una función de n variables es una función cuyo dominio es un conjunto de n -tuplas. ^{[ nota 3 ]} Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares ordenados (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de los enteros. Lo mismo es cierto para cualquier operación binaria . La gráfica de una superficie bivariada sobre un dominio real bidimensional puede interpretarse como la definición de una superficie paramétrica , como se usa, por ejemplo, en la interpolación bivariada .

Comúnmente, una n -tupla se denota encerrada entre paréntesis, como en Cuando se utiliza la notación funcional , normalmente se omiten los paréntesis que rodean las tuplas, escribiendo en lugar de${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

Dado n conjuntos el conjunto de todas las n -tuplas tales que se llama el producto cartesiano de y se denota${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Por lo tanto, una función multivariada es una función cuyo dominio es un producto cartesiano o un subconjunto propio de un producto cartesiano.

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

donde el dominio U tiene la forma

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

Si todos son iguales al conjunto de los números reales o al conjunto de los números complejos , se habla respectivamente de una función de varias variables reales o de una función de varias variables complejas . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Existen diversas formas estándar de representar funciones. La notación más utilizada es la notación funcional, que es la primera que se describe a continuación.

La notación funcional requiere que se le dé un nombre a la función, que, en el caso de una función no especificada, suele ser la letra f . Luego, la aplicación de la función a un argumento se denota por su nombre seguido de su argumento (o, en el caso de una función multivariada, sus argumentos) encerrados entre paréntesis, como en

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$$

El argumento entre paréntesis puede ser una variable , a menudo x , que representa un elemento arbitrario del dominio de la función, un elemento específico del dominio ( 3 en el ejemplo anterior) o una expresión que se puede evaluar a un elemento del dominio ( en el ejemplo anterior). El uso de una variable no especificada entre paréntesis es útil para definir una función explícitamente, como en "let ". ${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, se pueden omitir los paréntesis de la notación funcional. Por ejemplo, es común escribir sin x en lugar de sin( x ) .

La notación funcional fue utilizada por primera vez por Leonhard Euler en 1734. ^{[ 11 ]} Algunas funciones de uso común se representan mediante un símbolo compuesto por varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En este caso, se suele utilizar una tipografía romana , como « sin » para la función seno , en contraste con la cursiva para los símbolos de una sola letra.

La notación funcional se usa a menudo coloquialmente para referirse a una función y nombrar simultáneamente su argumento, como en "sea una función". Esto es un abuso de la notación que resulta útil para una formulación más sencilla. ${\displaystyle f(x)}$

La notación de flecha define la regla de una función en línea, sin necesidad de asignarle un nombre. Utiliza el símbolo de flecha ↦, que se lee como " se asigna a ". Por ejemplo, es la función que toma un número real como entrada y devuelve ese número más 1. Nuevamente, se sobreentiende el dominio y el codominio de .${\displaystyle x\mapsto x+1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El dominio y el codominio también pueden indicarse explícitamente, por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

Esto define una función sqr de enteros a enteros que devuelve el cuadrado de su entrada.

Como aplicación común de la notación de flecha, supongamos que es una función en dos variables, y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada producida al fijar el segundo argumento al valor t ₀ sin introducir un nuevo nombre de función. El mapeo en cuestión podría denotarse usando la notación de flecha. La expresión (léase: "el mapeo que toma x a f de x coma t cero") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión f ( x ₀ , t ₀ ) se refiere al valor de la función f en el punto ( x ₀ , t ₀ ) .${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$

Se puede utilizar la notación de índices en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir f ( x ) , se escribe${\displaystyle f_{x}.}$

Este suele ser el caso de las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales . Dicha función se denomina sucesión y, en este caso, el elemento se llama el n -ésimo elemento de la sucesión. ${\displaystyle f_{n}}$

La notación de índices también se puede utilizar para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa (ver arriba) se denotaría utilizando la notación de índices, si definimos la colección de mapas mediante la fórmula para todos . ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

En la notación, el símbolo x no representa ningún valor; es simplemente un marcador de posición , lo que significa que, si x se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, también debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha. Por lo tanto, en la expresión a la derecha de la flecha, x puede reemplazarse por un símbolo de marcador de posición, a menudo un punto medio " ⋅ " o un guion " – ", y esta nueva expresión que contiene el símbolo de marcador de posición puede usarse como una abreviatura de la función misma. Al igual que en el caso de la notación de flecha, esto es útil cuando la función no tiene un nombre explícito como f o sin , etc. ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$

Por ejemplo, o puede representar la función , y o puede representar una función definida por una integral con límite superior variable: . ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle a(-)^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\textstyle \int _{a}^{\,(-)}f(u)\,du}$${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Existen otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional , las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan mediante un par dual para mostrar la dualidad subyacente . Esto es similar al uso de la notación bra-ket en mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación , la notación de funciones del cálculo lambda se utiliza para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones . En teoría de categorías y álgebra homológica , las redes de funciones se describen en términos de cómo conmutan entre sí, junto con sus composiciones, mediante diagramas conmutativos que extienden y generalizan la notación de flechas para funciones descrita anteriormente.

En algunos casos, el argumento de una función puede ser un par ordenado de elementos tomados de algún conjunto o conjuntos. Por ejemplo, una función f puede definirse como la función que asigna a cualquier par de números reales la suma de sus cuadrados, . Dicha función se escribe comúnmente como y se denomina "una función de dos variables". Del mismo modo, se puede tener una función de tres o más variables, con notaciones como , . ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(w,x,y)}$${\displaystyle f(w,x,y,z)}$

Una función también puede denominarse mapa o aplicación , pero algunos autores distinguen entre los términos «mapa» y «función». Por ejemplo, el término «mapa» suele reservarse para una «función» con una estructura especial (p. ej., mapas de variedades ). En particular, «mapa» puede utilizarse en lugar de «homomorfismo» por brevedad (p. ej., mapa lineal o mapa de G a H en lugar de homomorfismo de grupo de G a H ). Algunos autores ^{[ 14 ]} reservan la palabra «aplicación» para el caso en que la estructura del codominio pertenece explícitamente a la definición de la función.

Algunos autores, como Serge Lang , ^{[ 13 ]} usan "función" solo para referirse a mapas cuyo codominio es un subconjunto de los números reales o complejos , y usan el término mapeo para funciones más generales.

En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos . Véase también Mapa de Poincaré .

Independientemente de la definición de mapa que se utilice, los términos relacionados como dominio , codominio , inyectivo y continuo tienen el mismo significado que para una función.

Dada una función , por definición, a cada elemento de su dominio se le asocia un único valor: el valor de en . Existen varias maneras de especificar o describir cómo se relaciona con , tanto explícita como implícitamente. A veces, un teorema o un axioma afirma la existencia de una función con ciertas propiedades, sin describirla con mayor precisión. Con frecuencia, esta especificación o descripción se denomina definición de la función . ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

En un conjunto finito, una función puede definirse enumerando los elementos del codominio que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si , entonces se puede definir una función mediante${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

Las funciones suelen definirse mediante una expresión que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; dicha fórmula permite calcular el valor de la función a partir del valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se puede definir mediante la fórmula , para . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

Cuando una función se define de esta manera, la determinación de su dominio a veces resulta difícil. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable para los cuales el denominador es cero deben excluirse del dominio; por lo tanto, para una función compleja, la determinación del dominio pasa por el cálculo de los ceros de funciones auxiliares. De manera similar, si aparecen raíces cuadradas en la definición de una función, el dominio se incluye en el conjunto de valores de la variable para los cuales los argumentos de las raíces cuadradas son no negativos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Por ejemplo, define una función cuyo dominio es porque siempre es positivo si x es un número real. Por otro lado, define una función de los números reales a los números reales cuyo dominio se reduce al intervalo [−1, 1] . (En textos antiguos, dicho dominio se denominaba dominio de definición de la función). ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Las funciones se pueden clasificar según la naturaleza de las fórmulas que las definen:

• Una función cuadrática es una función que se puede escribir donde a , b , c son constantes .${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• En términos más generales, una función polinómica es una función que puede definirse mediante una fórmula que involucra únicamente sumas, restas, multiplicaciones y exponenciaciones a potencias enteras no negativas. Por ejemplo, y son funciones polinómicas de .${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$${\displaystyle x}$
• Una función racional es la misma, permitiéndose también divisiones, como y${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Una función algebraica es lo mismo, permitiéndose también raíces enésimas y raíces de polinomios .
• Una función elemental ^{[ nota 4 ]} es la misma, permitiéndose logaritmos y funciones exponenciales .

Una función con dominio X y codominio Y es biyectiva si para cada y en Y , existe un único elemento x en X tal que y = f ( x ) . En este caso, la función inversa de f es la función que mapea al elemento tal que y = f ( x ) . Por ejemplo, el logaritmo natural es una función biyectiva de los números reales positivos a los números reales. Por lo tanto, tiene una inversa, llamada función exponencial , que mapea los números reales a los números positivos. ${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

Si una función no es biyectiva, puede ocurrir que se puedan seleccionar subconjuntos tales que la restricción de f a E sea una biyección de E a F , y por lo tanto tenga una inversa. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función coseno induce, por restricción, una biyección del intervalo [0, π ] sobre el intervalo [−1, 1] , y su función inversa, llamada arcocoseno , mapea [−1, 1] sobre [0, π ] . Las demás funciones trigonométricas inversas se definen de manera similar. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$

De manera más general, dada una relación binaria R entre dos conjuntos X e Y , sea E un subconjunto de X tal que, para cada y, existe algún x ∈ R y . Si se tiene un criterio que permite seleccionar tal y para cada y , esto define una función llamada función implícita , porque está definida implícitamente por la relación R.${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f:E\to Y,}$

Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define una relación sobre los números reales. Si −1 < x < 1, existen dos valores posibles de y , uno positivo y otro negativo. Para x = ± 1 , ambos valores se vuelven iguales a 0. En caso contrario, no existe ningún valor posible de y . Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio [−1, 1] y codominios respectivos [0, +∞) y (−∞, 0] . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en y , obteniendo pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación define a y como una función implícita de x , llamada radical Bring , que tiene como dominio y rango. El radical Bring no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y raíces enésimas . ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El teorema de la función implícita proporciona condiciones de diferenciabilidad suaves para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Muchas funciones pueden definirse como la antiderivada de otra función. Este es el caso del logaritmo natural , que es la antiderivada de 1/ x que es 0 para x = 1. Otro ejemplo común es la función de error .

En términos más generales, muchas funciones, incluidas la mayoría de las funciones especiales , pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales . El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial , que puede definirse como la única función que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0 .

Las series de potencias se pueden usar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial viene dada por . Sin embargo, como los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente generalmente se define de otra manera, y la secuencia de los coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Entonces, las series de potencias se pueden usar para ampliar el dominio de la función. Típicamente, si una función para una variable real es la suma de su serie de Taylor en algún intervalo, esta serie de potencias permite ampliar inmediatamente el dominio a un subconjunto de los números complejos , el disco de convergencia de la serie. Luego, la continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo . Este proceso es el método que se usa generalmente para definir las funciones logaritmo , exponencial y trigonométrica de un número complejo. ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

Las funciones cuyo dominio son los números enteros no negativos, conocidas como secuencias , a veces se definen mediante relaciones de recurrencia .

La función factorial en los enteros no negativos ( ) es un ejemplo básico, ya que puede definirse mediante la relación de recurrencia. ${\displaystyle n\mapsto n!}$

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$$

y la condición inicial

$${\displaystyle 0!=1.}$$

Un gráfico se utiliza comúnmente para ofrecer una representación intuitiva de una función. Como ejemplo de cómo un gráfico ayuda a comprender una función, es fácil ver en su gráfica si una función es creciente o decreciente. Algunas funciones también pueden representarse mediante gráficos de barras .

Dada una función, su gráfica es, formalmente, el conjunto ${\displaystyle f:X\to Y,}$

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

En el caso frecuente en que X e Y son subconjuntos de los números reales (o pueden identificarse con dichos subconjuntos, por ejemplo, intervalos ), un elemento puede identificarse con un punto con coordenadas x , y en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo, el plano cartesiano . Partes de esto pueden crear una gráfica que representa (partes de) la función. El uso de gráficas es tan común que también se las denomina gráfica de la función . Las representaciones gráficas de funciones también son posibles en otros sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la gráfica de la función cuadrática.${\displaystyle (x,y)\in G}$

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

que consta de todos los puntos con coordenadas para produce, cuando se representa en coordenadas cartesianas, la conocida parábola . Si la misma función cuadrática con la misma gráfica formal, que consta de pares de números, se representa en coordenadas polares , la gráfica obtenida es la espiral de Fermat . ${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

Una función puede representarse como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función puede especificarse completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación definida como puede representarse mediante la conocida tabla de multiplicación.${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede proporcionar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. ^{[ nota 5 ]} Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno podría presentarse de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 decimales:

Antes de la llegada de las calculadoras de mano y los ordenadores personales, este tipo de tablas se recopilaban y publicaban con frecuencia para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas. ^{[ nota 6 ]}

Un gráfico de barras puede representar una función cuyo dominio es un conjunto finito, los números naturales o los enteros . En este caso, un elemento x del dominio está representado por un intervalo del eje x , y el valor correspondiente de la función, f ( x ) , está representado por un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente a x y cuya altura es f ( x ) (posiblemente negativa, en cuyo caso la barra se extiende por debajo del eje x ).

Esta sección describe propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y del codominio.

Existen varias funciones estándar que se realizan con frecuencia:

• Para cada conjunto X , existe una función única, llamadaFunción vacía , oaplicación vacía, delconjunto vacíoaX.La gráfica de una función vacía es el conjunto vacío. ^{[ nota 7 ]} La ​​existencia de funciones vacías es necesaria tanto para la coherencia de la teoría como para evitar excepciones relativas al conjunto vacío en muchos enunciados. Bajo la definición usual de teoría de conjuntos de una función como unaterna ordenada(o equivalentes), hay exactamente una función vacía para cada conjunto, por lo tanto, la función vacíano es igual asi y solo si, aunque sus gráficas son ambas elconjunto vacío.${\displaystyle \varnothing \to X}$${\displaystyle \varnothing \to Y}$${\displaystyle X\neq Y}$
• Para cada conjunto X y cada conjunto unitario { s } , existe una función única de X a { s } que asigna cada elemento de X a s . Esta es una sobreyección (véase más abajo), a menos que X sea el conjunto vacío.
• Dada una función , la sobreyección canónica de f sobre su imagen es la función de X a f ( X ) que mapea x a f ( x ) .${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• Para cada subconjunto A de un conjunto X , la aplicación de inclusión de A en X es la función inyectiva (véase más abajo) que asigna a cada elemento de A su propio elemento.
• La función identidad en un conjunto X , a menudo denotada por id _X , es la inclusión de X en sí mismo.

Dadas dos funciones y tales que el dominio de g es el codominio de f , su composición es la función definida por ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

Es decir, el valor de se obtiene aplicando primero f a x para obtener y = f ( x ) y luego aplicando g al resultado y para obtener g ( y ) = g ( f ( x )) . En esta notación, la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha. ${\displaystyle g\circ f}$

La composición es una operación sobre funciones que se define solo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando ambas satisfacen estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa , es decir, las funciones y no tienen por qué ser iguales y pueden dar valores diferentes para el mismo argumento. Por ejemplo, sea f ( x ) = x ² y g ( x ) = x + 1 , entonces y coinciden solo para${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

La composición de funciones es asociativa en el sentido de que, si una de ellas está definida, entonces la otra también lo está, y son iguales, es decir, Por lo tanto, es habitual escribir simplemente${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

Las funciones identidad y son respectivamente una identidad derecha y una identidad izquierda para funciones de X a Y. Es decir, si f es una función con dominio X y codominio Y , se tiene ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  Una función compuesta g ( f ( x )) puede visualizarse como la combinación de dos "máquinas".
• 
  Un ejemplo sencillo de composición de funciones
• 
  Otra composición. En este ejemplo, ( g ∘ f )(c) = # .

Sea f ( x ) la imagen bajo f de un elemento x del dominio X. ^{[ 6 ]} Si A es cualquier subconjunto de X , entonces la imagen de A bajo f , denotada f ( A ) , es el subconjunto del codominio Y que consta de todas las imágenes de elementos de ^A , [ ^{6 ]} es decir, ${\displaystyle f:X\to Y.}$

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

La imagen de f es la imagen de todo el dominio, es decir, f ( X ) . ^{[ 17 ]} También se le llama rango de f , ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} aunque el término rango también puede referirse al codominio. ^{[ 9 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Por otro lado, la imagen inversa o preimagen bajo f de un elemento y del codominio Y es el conjunto de todos los elementos del dominio X cuyas imágenes bajo f son iguales a y . ^{[ 6 ]} En símbolos, la preimagen de y se denota por y viene dada por la ecuación ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

Asimismo, la preimagen de un subconjunto B del codominio Y es el conjunto de las preimágenes de los elementos de B , es decir, es el subconjunto del dominio X que consta de todos los elementos de ^{X cuyas imágenes pertenecen a B. [ 6} ] Se denota por ^{y viene} dada por la ecuación ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

Por ejemplo, la preimagen de bajo la función cuadrada es el conjunto . ${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

Por definición de una función, la imagen de un elemento x del dominio es siempre un único elemento del codominio. Sin embargo, la preimagen de un elemento y del codominio puede estar vacía o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si f es la función que asigna a cada entero el valor 0, entonces . ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

Si es una función, A y B son subconjuntos de X , y C y D son subconjuntos de Y , entonces se tienen las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

La preimagen de un elemento y del codominio, definida por f, se denomina a veces, en algunos contextos, fibra de y bajo f .

Si una función f tiene una inversa (ver más abajo), esta inversa se denota En este caso puede denotar la imagen por o la preimagen por f de C . Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación y puede ser ambigua en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como En este caso, puede ser necesario tener cuidado, por ejemplo, usando corchetes para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes de elementos. ${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

Sea una función. ${\displaystyle f:X\to Y}$

La función f es inyectiva ( o biyectiva , o es una inyección ) si f ( a ) ≠ f ( b ) para cualesquiera dos elementos distintos a y b de X. ^{[ 17 ] [ 19 ]} Equivalentemente, f es inyectiva si y solo si, para cada la preimagen contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si X no es el conjunto vacío, entonces f es inyectiva si y solo si existe una función tal que , es decir, si f tiene una inversa izquierda . ^{[ 19 ]} Demostración : Si f es inyectiva, para definir g , se elige un elemento en X (que existe ya que se supone que X no es vacío), ^{[ nota 8 ]} y se define g por si y si Recíprocamente, si y entonces y por lo tanto${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\not \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

La función f es sobreyectiva (o sobre , o es una sobreyección ) si su rango es igual a su codominio , es decir, si, para cada elemento del codominio, existe algún elemento del dominio tal que (en otras palabras, la preimagen de cada es no vacía). ^{[ 17 ] [ 20 ]} Si, como es habitual en las matemáticas modernas, se asume el axioma de elección , entonces f es sobreyectiva si y solo si existe una función tal que es decir, si f tiene una inversa derecha . ^{[ 20 ]} El axioma de elección es necesario porque, si f es sobreyectiva, se define g mediante donde es un elemento elegido arbitrariamente de${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

La función f es biyectiva (o es una biyección o una correspondencia biyectiva ) si es inyectiva y sobreyectiva. ^{[ 17 ] [ 21 ]} Es decir, f es biyectiva si, para cada la preimagen contiene exactamente un elemento. La función f es biyectiva si y solo si admite una función inversa , es decir, una función tal que y ^{[ 21 ]} (A diferencia del caso de las sobreyecciones, esto no requiere el axioma de elección; la demostración es directa). ${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

Toda función puede factorizarse como la composición de una sobreyección seguida de una inyección, donde s es la sobreyección canónica de X sobre f ( X ) e i es la inyección canónica de f ( X ) en Y . Esta es la factorización canónica de f . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle i\circ s}$

«One-to-one» y «onto» son términos más comunes en la literatura inglesa antigua; «injective», «sobrejective» y «bijective» fueron acuñados originalmente como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e incorporados al inglés. ^{[ 22 ]} Cabe señalar que «una función one-to-one» es inyectiva, mientras que «una correspondencia one-to-one» se refiere a una función biyectiva. Asimismo, la afirmación « f mapea X sobre Y » difiere de « f mapea X en B », ya que la primera implica que f es sobreyectiva, mientras que la segunda no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de f . En un razonamiento complejo, la diferencia de una sola letra puede pasar desapercibida fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología antigua, estos términos han disminuido en popularidad en relación con los términos de Bourbaki, que además tienen la ventaja de ser más simétricos.

Si es una función y S es un subconjunto de X , entonces la restricción de a S , denotada por , es la función de S a Y definida por ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

para todo x en S . Las restricciones se pueden usar para definir funciones inversas parciales : si hay un subconjunto S del dominio de una función tal que es inyectiva, entonces la sobreyección canónica de sobre su imagen es una biyección, y por lo tanto tiene una función inversa de a S . Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas . Por ejemplo, la función coseno es inyectiva cuando se restringe al intervalo [0, π ] . La imagen de esta restricción es el intervalo [−1, 1] , y por lo tanto la restricción tiene una función inversa de [−1, 1] a [0, π ] , que se llama arcocoseno y se denota arccos . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$

La restricción de funciones también puede usarse para "unir" funciones. Sea la descomposición de X como una unión de subconjuntos, y supongamos que se define una función en cada uno de ellos tal que, para cada par de índices, las restricciones de y a son iguales. Entonces, esto define una función única tal que para todo i . Así es como se definen las funciones en variedades . ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

Una extensión de una función f es una función g tal que f es una restricción de g . Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica , que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí hay otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra al estudiar homografías de la recta real . Una homografía es una función tal que ad − bc ≠ 0. Su dominio es el conjunto de todos los números reales distintos de y su imagen es el conjunto de todos los números reales distintos de Si se extiende la recta real a la recta real extendida proyectivamente incluyendo ∞ , se puede extender h a una biyección de la recta real extendida a sí misma estableciendo y . ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

La idea de función, que surgió en el siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal . En aquel entonces, solo se consideraban funciones de valor real de una variable real , y se asumía que todas las funciones eran suaves . Pero la definición pronto se extendió a funciones de varias variables y a funciones de una variable compleja . En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemáticamente rigurosa de función, y se definieron funciones con dominios y codominios arbitrarios.

Actualmente, las funciones se utilizan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio , cuando se usa la palabra función sin ninguna especificación, se refiere a una función de valor real de una sola variable real. La definición más general de función se suele presentar a los estudiantes de segundo o tercer año de carreras de ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM) , y en su último año se les introduce al cálculo en un contexto más amplio y riguroso en cursos como análisis real y análisis complejo .

Una función real es una función de valor real de una variable real , es decir, una función cuyo codominio es el cuerpo de los números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo . En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones .

Las funciones más comunes en matemáticas y sus aplicaciones poseen cierta regularidad: son continuas , diferenciables e incluso analíticas . Esta regularidad permite visualizarlas mediante sus gráficas . En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales , es decir, si f y g son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$$

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de f y g . El cociente de dos funciones se define de manera similar mediante

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

pero el dominio de la función resultante se obtiene eliminando los ceros de g de la intersección de los dominios de f y g .

Las funciones polinómicas se definen mediante polinomios , y su dominio es el conjunto de los números reales. Incluyen funciones constantes , lineales y cuadráticas . Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinómicas, y su dominio son los números reales, excluyendo un número finito de ellos para evitar la división por cero . La función racional más simple es aquella cuya gráfica es una hipérbola y cuyo dominio es toda la recta real, excepto el 0. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

La derivada de una función real diferenciable es una función real. Una antiderivada de una función real continua es una función real que tiene a la función original como derivada. Por ejemplo, la función es continua e incluso diferenciable en los números reales positivos. Así, una antiderivada, que toma el valor cero para x = 1 , es una función diferenciable llamada logaritmo natural . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Una función real f es monótona en un intervalo si el signo de no depende de la elección de x e y en dicho intervalo. Si la función es diferenciable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real f es monótona en un intervalo I , tiene una función inversa , que es una función real con dominio f ( I ) e imagen I. Así es como se definen las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones trigonométricas , donde las funciones trigonométricas son monótonas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monótono en los números reales positivos, y su imagen es toda la recta real; por lo tanto, tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial . ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

Muchas otras funciones reales se definen bien por el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son soluciones de la ecuación diferencial lineal.

$${\displaystyle y''+y=0}$$

de tal manera que

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores , se dice que la función es vectorial. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, para modelar propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector de velocidad es una función vectorial.

Algunas funciones con valores vectoriales se definen en un subconjunto de u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas de , como las variedades . A estas funciones con valores vectoriales se les da el nombre de campos vectoriales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En análisis matemático , y más específicamente en análisis funcional , un espacio de funciones es un conjunto de funciones escalares o vectoriales que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico . Por ejemplo, las funciones reales suaves con soporte compacto (es decir, son cero fuera de un conjunto compacto ) forman un espacio de funciones que constituye la base de la teoría de distribuciones .

Los espacios funcionales desempeñan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado, al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para el estudio de las propiedades de las funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales son resultado del estudio de los espacios funcionales.

Existen varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas que parten de una definición local de la función en un punto o en un entorno cercano , y luego extienden por continuidad la función a un dominio mucho mayor. Con frecuencia, para un punto de partida existen varios valores iniciales posibles para la función. ${\displaystyle x_{0},}$

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrática, para cualquier número real positivo hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y se denota y otra que es negativa y se denota Estas opciones definen dos funciones continuas, ambas con los números reales no negativos como dominio, y con los números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al observar las gráficas de estas funciones, se puede ver que, juntas, forman una única curva suave . Por lo tanto, a menudo es útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una sola función que tiene dos valores para x positivo , un valor para 0 y ningún valor para x negativo . ${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, consideremos la función implícita que asigna a y una raíz x de (ver la figura de la derecha). Para y = 0 se puede elegir cualquiera de las dos para x . Por el teorema de la función implícita , cada elección define una función; para la primera, el dominio (máximo) es el intervalo [−2, 2] y la imagen es [−1, 1] ; para la segunda, el dominio es [−2, ∞) y la imagen es [1, ∞) ; Para la última, el dominio es (−∞, 2] y la imagen es (−∞, −1] . Como las tres gráficas juntas forman una curva suave, y no hay razón para preferir una opción, estas tres funciones a menudo se consideran como una única función multivaluada de y que tiene tres valores para −2 < y < 2 , y solo un valor para y ≤ −2 y y ≥ −2 . ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$

La utilidad del concepto de funciones multivaluadas se hace más evidente al considerar funciones complejas, típicamente analíticas . El dominio al que se puede extender una función compleja mediante continuación analítica generalmente abarca casi todo el plano complejo . Sin embargo, al extender el dominio por dos caminos diferentes, a menudo se obtienen valores distintos. Por ejemplo, al extender el dominio de la función raíz cuadrada, a lo largo de un camino de números complejos con partes imaginarias positivas, se obtiene i para la raíz cuadrada de −1; mientras que, al extenderlo a través de números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene −i . Generalmente hay dos maneras de resolver el problema. Una es definir una función que no sea continua a lo largo de alguna curva, llamada corte de rama . Dicha función se denomina valor principal de la función. La otra es considerar que se tiene una función multivaluada , que es analítica en todas partes excepto en singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si se sigue un bucle cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se denomina monodromía .

La definición de función que se presenta en este artículo requiere el concepto de conjunto , ya que el dominio y el codominio de una función deben ser conjuntos. Esto no representa un problema en las matemáticas habituales, puesto que generalmente no es difícil considerar funciones cuyo dominio y codominio sean conjuntos bien definidos, incluso si el dominio no está definido explícitamente. Sin embargo, en ocasiones resulta útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto unitario puede considerarse como una función. Su dominio incluiría todos los conjuntos y, por lo tanto, no sería un conjunto. En matemáticas convencionales, este tipo de problema se evita especificando un dominio, lo que implica la existencia de muchas funciones unitarias. Sin embargo, al establecer los fundamentos de las matemáticas, puede ser necesario utilizar funciones cuyo dominio, codominio o ambos no estén especificados, y algunos autores, a menudo lógicos, proporcionan definiciones precisas para estas funciones débilmente especificadas. ^{[ 23 ]}${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

Estas funciones generalizadas pueden ser cruciales para el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas . Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión de la teoría de conjuntos en la que la colección de todos los conjuntos es una clase . Esta teoría incluye el axioma de reemplazo , que se puede enunciar como: Si X es un conjunto y F es una función, entonces F [ X ] es un conjunto.

En formulaciones alternativas de los fundamentos de las matemáticas que utilizan la teoría de tipos en lugar de la teoría de conjuntos, las funciones se toman como nociones primitivas en lugar de definirse a partir de otros tipos de objetos. Son habitantes de los tipos de función y pueden construirse utilizando expresiones en el cálculo lambda . ^{[ 24 ]}

En programación informática , una función es, en general, una subrutina que implementa el concepto abstracto de función. Es decir, es una unidad de programa que produce una salida para cada entrada. La programación funcional es el paradigma de programación que consiste en construir programas utilizando únicamente subrutinas que se comportan como funciones matemáticas, lo que significa que no tienen efectos secundarios y dependen solo de sus argumentos: son referencialmente transparentes . Por ejemplo, if_then_elsees una función que toma tres funciones ( nulas ) como argumentos y, dependiendo del valor del primer argumento ( verdadero o falso ), devuelve el valor del segundo o del tercer argumento. Una ventaja importante de la programación funcional es que facilita las demostraciones de programas , ya que se basa en una teoría bien fundamentada, el cálculo lambda (véase más adelante). Sin embargo, los efectos secundarios suelen ser necesarios para los programas prácticos, aquellos que realizan entrada/salida . Existe una clase de lenguajes puramente funcionales , como Haskell , que encapsulan la posibilidad de efectos secundarios en el tipo de una función. Otros, como la familia ML , simplemente permiten efectos secundarios.

En muchos lenguajes de programación , cada subrutina se denomina función, incluso cuando no hay salida sino solo efectos secundarios, y cuando la funcionalidad consiste simplemente en modificar algunos datos en la memoria del ordenador .

Fuera del contexto de los lenguajes de programación, "función" tiene el significado matemático habitual en informática . En este ámbito, una propiedad de gran interés es la computabilidad de una función. Para dar un significado preciso a este concepto, y al concepto relacionado de algoritmo , se han introducido varios modelos de computación , siendo los más antiguos las funciones recursivas generales , el cálculo lambda y la máquina de Turing . El teorema fundamental de la teoría de la computabilidad es que estos tres modelos de computación definen el mismo conjunto de funciones computables. La tesis de Church-Turing es la afirmación de que toda definición filosóficamente aceptable de una función computable define también las mismas funciones. Todos los demás modelos de funciones computables en la práctica que se han propuesto definen el mismo conjunto de funciones computables o uno más pequeño.

Las funciones recursivas generales son funciones parciales de enteros a enteros que se pueden definir desde

• funciones constantes ,
• sucesor y
• funciones de proyección

a través de los operadores

• composición ,
• recursión primitiva y
• minimización .

Aunque están definidas únicamente para funciones de enteros a enteros, pueden modelar cualquier función computable como consecuencia de las siguientes propiedades:

• Un cálculo es la manipulación de secuencias finitas de símbolos (dígitos de números, fórmulas, etc.),
• toda secuencia de símbolos puede codificarse como una secuencia de bits ,
• Una secuencia de bits puede interpretarse como la representación binaria de un número entero.

El cálculo lambda es una teoría que define funciones computables sin utilizar la teoría de conjuntos , y constituye el fundamento teórico de la programación funcional. Consiste en términos que pueden ser variables, definiciones de funciones ( términos 𝜆 ) o aplicaciones de funciones a términos. Estos términos se manipulan interpretando sus axiomas (la α- equivalencia, la β- reducción y la η -conversión) como reglas de reescritura , las cuales pueden utilizarse para realizar cálculos.

En su forma original, el cálculo lambda no incluye los conceptos de dominio y codominio de una función. En términos generales, estos conceptos se introdujeron en la teoría bajo el nombre de tipo en el cálculo lambda tipado . La mayoría de los cálculos lambda tipados pueden definir menos funciones que el cálculo lambda no tipado.

• Wolfram Functions es un sitio web que ofrece fórmulas y visualizaciones de muchas funciones matemáticas.
• Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST