Aplicación de funciones

En matemáticas , la aplicación (o evaluación ) de una función es el acto de tomar una función y una entrada de su dominio para obtener el valor correspondiente de su rango . En este sentido, la aplicación de una función puede considerarse como lo opuesto a la abstracción de una función . ^{[ 1 ]}

Es fundamental para los lenguajes de programación derivados del cálculo lambda , como LISP y Scheme , y también para los lenguajes funcionales . Desempeña un papel importante en el estudio de la semántica denotacional de los programas informáticos, ya que es una función continua en órdenes parciales completos . La aplicación de funciones también es una función continua en la teoría de la homotopía y, de hecho, sustenta toda la teoría: permite que una deformación homotópica se vea como una trayectoria continua en el espacio de funciones. Del mismo modo, las mutaciones válidas (refactorizaciones) de programas informáticos pueden considerarse como aquellas que son "continuas" en la topología de Scott .

La aplicación de una función se suele representar yuxtaponiendo la variable que representa la función con su argumento entre paréntesis . Por ejemplo, la siguiente expresión representa la aplicación de la función ƒ a su argumento x .

${\displaystyle f(x)}$

En algunos casos, se utiliza una notación diferente donde no se requieren paréntesis, y la aplicación de la función puede expresarse simplemente por yuxtaposición . Por ejemplo, la siguiente expresión puede considerarse igual que la anterior:

${\displaystyle f\;x}$

Esta última notación es especialmente útil en combinación con el isomorfismo de currificación . Dada una función${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$, su aplicación se representa como${\displaystyle f(x,y)}$por la notación anterior y${\displaystyle f\;(x,y)}$(o${\displaystyle f\;\langle x,y\rangle }$con el argumento${\displaystyle \langle x,y\rangle \in X\times Y}$escrito con los corchetes angulares menos comunes) por este último. Sin embargo, las funciones en forma currificada${\displaystyle f:X\to (Y\to Z)}$pueden representarse yuxtaponiendo sus argumentos:${\displaystyle f\;x\;y}$, en vez de${\displaystyle f(x)(y)}$Esto depende de que la aplicación de la función sea asociativa por la izquierda .

Cuando la notación matemática se representa en un documento digital, los caracteres Unicode invisibles de ancho cero U+2061 FUNCTION APPLICATION y U+2062 INVISIBLE TIMES se pueden utilizar para distinguir la concatenación que significa aplicación de función de la concatenación que significa multiplicación.

La aplicación de funciones se puede definir como un operador , llamado aplicar o${\displaystyle \$}$, según la siguiente definición:

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} x=f(x)}$

El operador también puede denotarse mediante una comilla invertida (`).

Si se entiende que el operador tiene baja precedencia y es asociativo por la derecha , el operador de aplicación se puede utilizar para reducir la cantidad de paréntesis necesarios en una expresión. Por ejemplo;

${\displaystyle f(g(h(j(x))))}$

se puede reescribir como:

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} g\mathop {\,\$\,} h\mathop {\,\$\,} j\mathop {\,\$\,} x}$

Esto puede expresarse de forma equivalente utilizando la composición de funciones como:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j)(x)}$

o incluso:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j\circ x)()}$

si uno considera${\displaystyle x}$ser una función constante que devuelve${\displaystyle x}$.

En la teoría axiomática de conjuntos , especialmente en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , una función${\displaystyle f:D\mapsto R}$a menudo se define como una relación (${\displaystyle f\subsetequ D\times R}$) teniendo la propiedad de que, para cualquier${\displaystyle x\in D}$hay una única${\displaystyle y\in R}$de tal manera que${\displaystyle (x,y)\in f}$.

Normalmente uno no se conforma con escribir "${\displaystyle (x,y)\in f}$"para especificar que${\displaystyle y}$y normalmente desea la notación de función más común "${\displaystyle f(x)=y}$" . Aplicación de la función, o más específicamente, la notación "${\displaystyle f(x)}$", no está presente en la signatura habitual de la teoría de conjuntos, pero puede agregarse a la teoría como un símbolo de función binaria.${\displaystyle \bullet (\bullet )}$si se desea sin ninguna pérdida de expresividad definiendo: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle X(Y)=\left\{{\begin{array}{lll}z&{\text{si }}X{\text{ es una función, y }}(Y,z)\in X\\\varnothing &{\text{en otro caso}}\\\end{array}}\right.}$$

O, más formalmente: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle X(Y)=z\iff (\exists D,R(X\in R^{D}\land ((Y,z)\in X)))\lor (\forall D,R(X\notin R^{D}\lor (Y,z)\notin X)\land z=\varnothing ),}$$

dónde${\displaystyle R^{D}}$denota la exponenciación de conjuntos : el conjunto de todas las funciones de${\displaystyle D}$a${\displaystyle R}$.

En prosa:${\displaystyle X(Y)=z}$si existe un dominio${\displaystyle D}$y gama${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle X}$es una función de${\displaystyle D}$a${\displaystyle R}$y${\displaystyle (Y,z)\in X}$; o (la negación de lo anterior) y${\displaystyle z=\varnada.}$La elección de utilizar el conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$cuando${\displaystyle X(Y)}$no está definido es arbitrario para asegurar que la notación definida para todo el dominio del discurso . ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle \Psi (X,Y,z)}$denota la fórmula del lado derecho de la bicondicional anterior, para cualesquiera dos conjuntos,${\displaystyle X,Y}$la fórmula${\displaystyle \Psi }$asocia un objeto único${\displaystyle z}$:${\displaystyle \forall X,Y\,\exists !z\,\Psi (X,Y,z)}$Por lo tanto, el lenguaje de la teoría de conjuntos puede utilizar una extensión por definición para incluir la operación de aplicación de funciones.${\displaystyle \bullet (\bullet )}$conservadoramente .

En programación informática, la aplicación de funciones a menudo se refiere a la llamada o ejecución de un procedimiento, en lugar de una verdadera función matemática (véase funciones en programación informática ), con reglas similares para su comportamiento.

La aplicación de funciones corresponde a la reducción beta en el cálculo lambda .

( aplicar #' + ( lista 1 2 ))

( aplicar + ( lista 1 2 ))

variadicFunc ( arrayOfArgs );

Función < T , R >

R aplicar ( T para )

s := [] cadena { "foo" , "bar" } variadicFunc ( s ... )

func.apply ( null , args ) ;​

función aplicar ( f ,...) devolver f (...) fin

# Llamadas a subrutinas equivalentes: @args = ( @some_args , @more_args ); func ( @args );func ( @some_args , @more_args );

call_user_func_array ( 'func_name' , $args );

función ( * argumentos )

f ( x1 , x2 ) # también se puede realizar a través de do.call ( what = f , args = list ( x1 , x2 ))

unBlock valorConArgumentos: args

¿Aplicar función ? arg1 arg2 ... ?

Consideremos una función${\displaystyle g:(X\times Y)\to Z}$, eso es,${\displaystyle g\in [(X\times Y)\to Z]}$donde la notación de corchetes${\displaystyle [A\to B]}$denota el espacio de funciones de A a B. Mediante la currificación , existe una única función${\displaystyle {\mbox{curry}}(g):X\to [Y\to Z]}$. Luego, Apply proporciona el morfismo universal

${\displaystyle {\mbox{Aplicar}}:([Y\to Z]\times Y)\to Z}$,

de modo que

${\displaystyle {\mbox{Aplicar}}(f,y)=f(y)}$

o, equivalentemente, se tiene el diagrama de conmutación

${\displaystyle {\mbox{Aplicar}}\circ \left({\mbox{curry}}(g)\times {\mbox{id}}_{Y}\right)=g}$

Más precisamente, curry y apply son functores adjuntos .

La notación${\displaystyle [A\to B]}$para el espacio de funciones de A a B ocurre más comúnmente en ciencias de la computación. Sin embargo, en teoría de categorías ,${\displaystyle [A\to B]}$se conoce como el objeto exponencial y se escribe como${\displaystyle B^{A}}$También existen otras diferencias de notación comunes; por ejemplo, Apply a menudo se denomina Eval , ^{[ 11 ]} aunque en ciencias de la computación, no son lo mismo, distinguiéndose eval de Apply , ya que es la evaluación de la forma de cadena entre comillas de una función con sus argumentos, en lugar de la aplicación de una función a algunos argumentos.

Además, en la teoría de categorías, el curry se suele denotar por${\displaystyle \lambda }$, de modo que${\displaystyle \lambda g}$está escrito para curry ( g ). Esta notación está en conflicto con el uso de${\displaystyle \lambda }$en el cálculo lambda , donde lambda se usa para denotar variables ligadas. Con todos estos cambios de notación considerados, la adjunción de Apply y curry se expresa entonces en el diagrama conmutativo

Los artículos sobre objetos exponenciales y categorías cartesianas cerradas ofrecen una discusión más precisa de la formulación categórica de esta idea. Por lo tanto, el uso de lambda aquí no es accidental; el lenguaje interno de las categorías cartesianas cerradas es simplemente cálculo lambda tipado . El entorno más general posible para Apply son las categorías monoidales cerradas , de las cuales las categorías cartesianas cerradas son un ejemplo. En álgebra homológica , la adjunción de curry y apply se conoce como adjunción tensorial-hom .

En la teoría del orden , en la categoría de órdenes parciales completos dotados de la topología de Scott , tanto `curry` como `apply` son funciones continuas (es decir, son continuas de Scott ). ^{[ 12 ]} Esta propiedad ayuda a establecer la validez fundamental del estudio de la semántica denotacional de los programas informáticos.

En geometría algebraica y teoría de homotopía , curry y apply son funciones continuas cuando el espacio${\displaystyle Y^{X}}$de funciones continuas de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$se le da la topología abierta compacta y${\displaystyle X}$es localmente compacto de Hausdorff . Este resultado es muy importante, ya que sustenta la teoría de la homotopía, permitiendo que las deformaciones homotópicas se entiendan como trayectorias continuas en el espacio de funciones.

La correspondencia Curry-Howard relaciona la aplicación de funciones con la regla lógica del modus ponens .

• Estrategia de evaluación
• Ejecución (computación)
• Composición de la función
• notación polaca