Topología compacta y abierta

En matemáticas , la topología compacta-abierta es una topología definida sobre el conjunto de aplicaciones continuas entre dos espacios topológicos . Es una de las topologías más utilizadas en espacios de funciones y se aplica en la teoría de la homotopía y el análisis funcional . Fue introducida por Ralph Fox en 1945. ^{[ 1 ]}

Si el codominio de las funciones consideradas tiene una estructura uniforme o una estructura métrica , entonces la topología compacta-abierta es la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos ". Es decir, una sucesión de funciones converge en la topología compacta-abierta precisamente cuando converge uniformemente en cada subconjunto compacto del dominio . ^{[ 2 ]}

Definición

Sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos , y sea $C (X, Y)$ el conjunto de todas las aplicaciones continuas entre $X$ e $Y.$ Dado un subconjunto compacto $K$ de $X$ y un subconjunto abierto $U$ de $Y$ , sea $V (K, U)$ el conjunto de todas las funciones $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ tales que $f$ $($ $K$ $) \subseteq$ $U$ $.$ En otras palabras, $V(K,U)=C(K,U)\times _{C(K,Y)}C(X,Y)$ Entonces, la colección de todos esos $V (K, U)$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ . (Esta colección no siempre forma una base para una topología en $C (X, Y)$ .)

Cuando se trabaja en la categoría de espacios generados de forma compacta , es común modificar esta definición restringiéndola a la subbase formada por aquellos $K$ que son la imagen de un espacio de Hausdorff compacto . Por supuesto, si $X$ es generado de forma compacta y de Hausdorff, esta definición coincide con la anterior. Sin embargo, la definición modificada es crucial si se desea que la conveniente categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta sea cartesiana cerrada , entre otras propiedades útiles. ^[³^]^[⁴^]^[⁵^] La confusión entre esta definición y la anterior se debe a un uso diferente de la palabra compacto .

Si $X$ es localmente compacto, entonces $X\times -$ de la categoría de espacios topológicos siempre tiene un adjunto derecho $Hom(X,-)$ Este adjunto coincide con la topología compacta-abierta y puede utilizarse para definirla de forma unívoca. La modificación de la definición para espacios generados de forma compacta puede interpretarse como la toma del adjunto del producto en la categoría de espacios generados de forma compacta en lugar de la categoría de espacios topológicos, lo que garantiza la existencia del adjunto correcto.

Propiedades

Si $*$ es un espacio de un punto, entonces se puede identificar $C (*, Y)$ con $Y$ , y bajo esta identificación la topología compacta-abierta coincide con la topología en $Y$ . Más generalmente, si $X$ es un espacio discreto , entonces $C (X, Y)$ se puede identificar con el producto cartesiano de $| X |$ copias de $Y$ y la topología compacta-abierta coincide con la topología del producto .
Si $Y$ es $T 0$ , $T 1$ , Hausdorff , regular o Tychonoff , entonces la topología compacta-abierta tiene el axioma de separación correspondiente .
Si $X$ es Hausdorff y $S$ es una subbase para $Y$ , entonces la colección ${V (K, U) : U \in S, K compacto}$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ . ^{[ 6 ]}
Si $Y$ es un espacio métrico (o, más generalmente, un espacio uniforme ), entonces la topología compacto-abierta es igual a la topología de convergencia compacta . En otras palabras, si $Y$ es un espacio métrico, entonces una sucesión ${f n}$ converge a $f$ en la topología compacto-abierta si y solo si para cada subconjunto compacto $K$ de $X$ , ${$ $f$ $n$ $}$ converge uniformemente a $f$ en $K.$ Si $X$ es compacto y $Y$ es un espacio uniforme, entonces la topología compacto-abierta es igual a la topología de convergencia uniforme .
Si $X, Y$ y $Z$ son espacios topológicos, con $Y$ localmente compacto de Hausdorff (o incluso simplemente localmente compacto preregular ), entonces el mapa de composición $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ dado por $(f, g) \mapsto f \circ g,$ es continuo (aquí todos los espacios de funciones tienen la topología compacta-abierta y $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ tiene la topología de producto ).
Si $X$ es un espacio de Hausdorff (o preregular) localmente compacto, entonces la aplicación de evaluación $e : C (X, Y) \times X \to Y$ , definida por $e (f, x) = f (x)$ , es continua. Esto puede considerarse un caso especial del anterior donde $X$ es un espacio de un punto.
Si $X$ es compacto y $Y$ es un espacio métrico con métrica $d$ , entonces la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ es metrizable , y una métrica para ella viene dada por $e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)) : x en X},$ para $f$ $,$ $g$ en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . De forma más general, si $X$ es hemicompacto y $Y$ es métrico, la topología compacta-abierta es metrizable por la construcción enlazada aquí .

Aplicaciones

La topología abierta compacta (o su k-ificación) puede utilizarse para topologizar los siguientes conjuntos: ^{[ 7 ]}

$\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=f(1)=x_{0}\}$ , el espacio de bucles de $X$ en $x_{0}$ ,
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}{\text{ y }}f(1)=x_{1}\}$ ,
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}\}$ .

Además, existe una equivalencia homotópica entre los espacios. $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ , donde Σ es la suspensión reducida . ^{[ 7 ]} Los espacios topológicos $C(X,Y)$ son útiles en la teoría de la homotopía porque pueden usarse para formar un espacio topológico y un modelo para el tipo de homotopía del conjunto de clases de homotopía de mapas $\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y\mid f{\text{ es una clase de homotopía}}\}.$ Esto se debe a que $\pi (X,Y)$ es el conjunto de componentes de ruta en $C(X,Y)$ – es decir, existe un isomorfismo de conjuntos $\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/{\sim },$ dónde $\sim$ es la equivalencia homotópica.

Funciones diferenciables de Fréchet

Sean $X$ e $Y$ dos espacios de Banach definidos sobre el mismo cuerpo , y sea $C m (U, Y)$ el conjunto de todas las funciones $m$ -continuamente diferenciables en el sentido de Fréchet del subconjunto abierto $U \subseteq X$ a $Y.$ La topología compacta-abierta es la topología inicial inducida por las seminormas.

{\displaystyle p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\

donde $D 0 f (x) = f (x)$ , para cada subconjunto compacto $K \subseteq U$ .

Véase también

Topología de convergencia uniforme
Convergencia uniforme : modo de convergencia de una secuencia de funciones.

Referencias

↑ Fox, Ralph H. (1945). "Sobre topologías para espacios de funciones" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 51 (6): 429– 433. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
↑ Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. pág. 230.
↑ McCord, MC (1969). "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos" . Transactions of the American Mathematical Society . 146 : 273–298 . doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .
↑ "Un curso conciso de topología algebraica" (PDF) .
↑ "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 14 de enero de 2012 .
↑ Jackson, James R. (1952). "Espacios de mapeos en productos topológicos con aplicaciones a la teoría de la homotopía" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 3 (2): 327– 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .
1 2 Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry. Topología homotópica (2.ª ed.). págs. 20–23 .

Dugundji, J. (1966). Topología . Allyn and Becon. ASIN B000KWE22K .
O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov y N.Yu. Netsvetaev (2007) Libro de texto sobre Problemas de topología elemental .
"Topología compacta-abierta" . PlanetMath .
Topología y grupoides Sección 5.9 Ronald Brown, 2006

[1] Fox, Ralph H. (1945). "Sobre topologías para espacios de funciones" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 51 (6): 429– 433. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .

[2] Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. pág. 230.

[3] McCord, MC (1969). "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos" . Transactions of the American Mathematical Society . 146 : 273–298 . doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .

[4] "Un curso conciso de topología algebraica" (PDF) .

[5] "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 14 de enero de 2012 .

[6] Jackson, James R. (1952). "Espacios de mapeos en productos topológicos con aplicaciones a la teoría de la homotopía" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 3 (2): 327– 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .

[:0-7] 1 2 Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry. Topología homotópica (2.ª ed.). págs. 20–23 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[

[

[ 6 ]