Función (matemáticas)

La definición anterior de función es esencialmente la de los fundadores del cálculo , Leibniz , Newton y Euler . Sin embargo, no puede formalizarse , ya que no existe una definición matemática de "asignación". Fue solo a finales del siglo XIX cuando se pudo proporcionar la primera definición formal de función, en términos de la teoría de conjuntos . Esta definición de la teoría de conjuntos se basa en el hecho de que una función establece una relación entre los elementos del dominio y algunos (posiblemente todos) los elementos del codominio. Matemáticamente, una relación binaria entre dos conjuntos X e Y es un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados.${\displaystyle (x,y)}$de tal manera que${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle y\in Y.}$El conjunto de todos estos pares se llama producto cartesiano de X e Y y se denota${\displaystyle X\times Y.}$Por lo tanto, la definición anterior puede formalizarse de la siguiente manera.

Una función con dominio X y codominio Y es una relación binaria R entre X e Y que satisface las dos condiciones siguientes: ^{[ 10 ]}

• Por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$existe${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• Si${\displaystyle (x,y)\in R}$y${\displaystyle (x,z)\in R,}$entonces${\displaystyle y=z.}$

Esta definición puede reescribirse de manera más formal, sin hacer referencia explícita al concepto de relación, pero utilizando más notación (incluida la notación de construcción de conjuntos ):

Una función está formada por tres conjuntos (a menudo como una terna ordenada), el dominio${\displaystyle X,}$el codominio${\displaystyle Y,}$y el gráfico${\displaystyle R}$que cumplan las tres condiciones siguientes.

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

Una relación que satisface estas condiciones se denomina relación funcional .

La terminología y notación más habituales se pueden derivar de esta definición formal de la siguiente manera. Sea${\displaystyle f}$ser una función definida por una relación funcional${\displaystyle R}$⁠ . Por cada ⁠${\displaystyle x}$en el dominio de${\displaystyle f}$⁠ , el elemento único del codominio que está relacionado con ⁠${\displaystyle x}$⁠ se denota ⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle y}$⁠ es este elemento, se escribe comúnmente ⁠${\displaystyle y=f(x)}$en lugar de${\displaystyle (x,y)\in R\,}$o​​${\displaystyle xRy}$⁠ , y uno dice que " ⁠${\displaystyle f}$mapas​​${\displaystyle x}$a​​${\displaystyle y}$" , "${\displaystyle y}$⁠ es la imagen de ⁠${\displaystyle f}$de​​${\displaystyle x}$⁠ ", o "la aplicación de ⁠${\displaystyle f}$en​​${\displaystyle x}$da​​${\displaystyle y}$" , etc.

Las funciones parciales se definen de forma similar a las funciones ordinarias, eliminando la condición de "total". Es decir, una función parcial de X a Y es una relación binaria R entre X e Y tal que, para cada${\displaystyle x\in X,}$existe como máximo un y en Y tal que${\displaystyle (x,y)\in R.}$

Utilizando la notación funcional, esto significa que, dado${\displaystyle x\in X,}$cualquiera${\displaystyle f(x)}$está en Y , o no está definido.

El conjunto de los elementos de X tales que${\displaystyle f(x)}$El conjunto definido de X que pertenece a Y se denomina dominio de definición de la función. Por lo tanto, una función parcial de X a Y es una función ordinaria cuyo dominio es un subconjunto de X llamado dominio de definición de la función. Si el dominio de definición es igual a X , se suele decir que la función parcial es una función total .

En diversas áreas de las matemáticas, el término "función" se refiere a funciones parciales en lugar de funciones ordinarias (totales). Esto suele ocurrir cuando las funciones se especifican de tal manera que resulta difícil, o incluso imposible, determinar su dominio.

En cálculo , una función de valor real de una variable real o función real es una función parcial del conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de los números reales a sí mismo. Dada una función real${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$su inverso multiplicativo${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$También es una función real. La determinación del dominio de definición de la inversa multiplicativa de una función (parcial) equivale a calcular los ceros de la función, es decir, los valores donde la función está definida pero no su inversa multiplicativa.

De manera similar, una función de una variable compleja es generalmente una función parcial cuyo dominio de definición es un subconjunto de los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$La dificultad de determinar el dominio de definición de una función compleja se ilustra con el inverso multiplicativo de la función zeta de Riemann : la determinación del dominio de definición de la función${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$es más o menos equivalente a la demostración o refutación de uno de los principales problemas abiertos en matemáticas, la hipótesis de Riemann .

En la teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial que asigna valores a los enteros cuyos valores pueden ser calculados por un algoritmo (en términos generales). El dominio de definición de dicha función es el conjunto de entradas para las cuales el algoritmo no se ejecuta indefinidamente. Un teorema fundamental de la teoría de la computabilidad establece que no puede existir un algoritmo que tome como entrada una función recursiva general arbitraria y compruebe si el 0 pertenece a su dominio de definición (véase el problema de la parada ).

Una función multivariable , o función de varias variables , es una función que depende de varios argumentos. Este tipo de funciones son comunes. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es función del tiempo transcurrido y su velocidad media.

Formalmente, una función de n variables es una función cuyo dominio es un conjunto de n -tuplas. ^{[ nota 3 ]} Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares ordenados (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de los enteros. Lo mismo es cierto para cualquier operación binaria . La gráfica de una superficie bivariada sobre un dominio real bidimensional puede interpretarse como la definición de una superficie paramétrica , como se usa, por ejemplo, en la interpolación bivariada .

Comúnmente, una n -tupla se denota encerrada entre paréntesis, como en${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$ Al usar la notación funcional , normalmente se omiten los paréntesis que rodean las tuplas, escribiendo ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$en lugar de${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

Dados n conjuntos${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$el conjunto de todas las n -tuplas${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$de tal manera que${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$se denomina producto cartesiano de${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$y denotado${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Por lo tanto, una función multivariada es una función cuyo dominio es un producto cartesiano o un subconjunto propio de un producto cartesiano.

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

donde el dominio U tiene la forma

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

Si todos los${\displaystyle X_{i}}$son iguales al conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de los números reales o al conjunto${\displaystyle \mathbb {C} }$Cuando hablamos de números complejos , se dice respectivamente de una función de varias variables reales o de una función de varias variables complejas .

La notación funcional requiere que se le dé un nombre a la función, que, en el caso de una función no especificada, suele ser la letra f . Luego, la aplicación de la función a un argumento se denota por su nombre seguido de su argumento (o, en el caso de una función multivariada, sus argumentos) encerrado entre paréntesis, como en

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{o}}\quad f(x^{2}+1).}$$

El argumento entre paréntesis puede ser una variable , a menudo x , que representa un elemento arbitrario del dominio de la función, un elemento específico del dominio ( 3 en el ejemplo anterior), o una expresión que puede evaluarse a un elemento del dominio (${\displaystyle x^{2}+1}$en el ejemplo anterior). El uso de una variable no especificada entre paréntesis es útil para definir una función explícitamente, como en "let${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$".

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, se pueden omitir los paréntesis de la notación funcional. Por ejemplo, es común escribir sin x en lugar de sin( x ) .

La notación funcional fue utilizada por primera vez por Leonhard Euler en 1734. ^{[ 11 ]} Algunas funciones de uso común se representan mediante un símbolo compuesto por varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En este caso, se suele utilizar una tipografía romana , como « sin » para la función seno , en contraste con la cursiva para los símbolos de una sola letra.

La notación funcional se usa a menudo coloquialmente para referirse a una función y nombrar simultáneamente su argumento, como en "let${\displaystyle f(x)}$"ser una función". Esto es un abuso de notación que resulta útil para una formulación más simple.

La notación de flecha define la regla de una función en línea, sin necesidad de darle un nombre. Utiliza el símbolo de flecha ↦, que se lee como " se asigna a ". Por ejemplo,${\displaystyle x\mapsto x+1}$es la función que toma un número real como entrada y produce ese número más 1. Nuevamente, un dominio y codominio de${\displaystyle \mathbb {R} }$Se da por sentado.

El dominio y el codominio también pueden indicarse explícitamente, por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

Esto define una función sqr de enteros a enteros que devuelve el cuadrado de su entrada.

Como aplicación común de la notación de flechas, supongamos que${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$es una función en dos variables, y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada${\displaystyle X\to Y}$producido al fijar el segundo argumento al valor t ₀ sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión podría denotarse${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$utilizando la notación de flechas. La expresión${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$(léase: "el mapa que toma x a f de x coma t cero") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión f ( x ₀ , t ₀ ) se refiere al valor de la función f en el punto ( x ₀ , t ₀ ) .

Se puede utilizar la notación de índices en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir f ( x ) , se escribe${\displaystyle f_{x}.}$

Este suele ser el caso de las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales . Dicha función se denomina secuencia y, en este caso, el elemento${\displaystyle f_{n}}$se denomina el enésimo elemento de la secuencia.

La notación de índices también se puede utilizar para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$(ver arriba) se denotaría${\displaystyle f_{t}}$utilizando la notación de índices, si definimos la colección de mapas${\displaystyle f_{t}}$por la fórmula${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$a pesar de${\displaystyle x,t\in X}$.

En la notación ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$ El símbolo x no representa ningún valor; es simplemente un marcador de posición , lo que significa que, si x se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, también debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha. Por lo tanto, en la expresión a la derecha de la flecha, x puede reemplazarse por un símbolo de marcador de posición, a menudo un punto medio " ⋅ " o un guion " – ", y esta nueva expresión que contiene el símbolo de marcador de posición puede usarse como una abreviatura de la función misma. Al igual que en el caso de la notación de flecha, esto es útil cuando la función no tiene un nombre explícito como f o sin , etc.

Por ejemplo,${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$o${\displaystyle a(-)^{2}}$puede representar la función${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$, y${\textstyle \int _ {a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$o${\textstyle \int _ {a}^{\,(-)}f(u)\,du}$puede representar una función definida por una integral con límite superior variable:${\textstyle x\mapsto \int _ {a}^{x}f(u)\,du}$.

Existen otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional , las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan mediante un par dual para mostrar la dualidad subyacente . Esto es similar al uso de la notación bra-ket en mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación , la notación de funciones del cálculo lambda se utiliza para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones . En teoría de categorías y álgebra homológica , las redes de funciones se describen en términos de cómo conmutan entre sí, junto con sus composiciones, mediante diagramas conmutativos que extienden y generalizan la notación de flechas para funciones descrita anteriormente.

En algunos casos, el argumento de una función puede ser un par ordenado de elementos tomados de algún conjunto o conjuntos. Por ejemplo, una función f puede definirse como una función que mapea cualquier par de números reales.${\displaystyle (x,y)}$a la suma de sus cuadrados,${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Dicha función se suele escribir como${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$y denominada "una función de dos variables". Del mismo modo, se puede tener una función de tres o más variables, con notaciones como${\displaystyle f(w,x,y)}$,${\displaystyle f(w,x,y,z)}$.

En un conjunto finito, una función puede definirse enumerando los elementos del codominio que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$, entonces se puede definir una función${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$por${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

Las funciones suelen definirse mediante una expresión que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; dicha fórmula permite calcular el valor de la función a partir del valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior,${\displaystyle f}$puede definirse mediante la fórmula${\displaystyle f(n)=n+1}$, para${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$.

Cuando una función se define de esta manera, la determinación de su dominio a veces resulta difícil. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable para los cuales el denominador es cero deben excluirse del dominio; por lo tanto, para una función compleja, la determinación del dominio pasa por el cálculo de los ceros de las funciones auxiliares. De manera similar, si aparecen raíces cuadradas en la definición de una función de${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} ,}$El dominio está incluido en el conjunto de valores de la variable para los cuales los argumentos de las raíces cuadradas son no negativos.

Por ejemplo,${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$define una función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$cuyo dominio es${\displaystyle \mathbb {R} ,}$porque${\displaystyle 1+x^{2}}$siempre es positivo si x es un número real. Por otro lado,${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$Define una función de los números reales a los números reales cuyo dominio se reduce al intervalo [ −1, 1 ] . (En textos antiguos, dicho dominio se denominaba dominio de definición de la función).

Las funciones se pueden clasificar según la naturaleza de las fórmulas que las definen:

• Una función cuadrática es una función que puede escribirse${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$donde a , b , c son constantes .
• En términos más generales, una función polinómica es una función que puede definirse mediante una fórmula que involucra únicamente sumas, restas, multiplicaciones y exponenciaciones a potencias enteras no negativas. Por ejemplo,${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$y${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$son funciones polinómicas de${\displaystyle x}$.
• Una función racional es la misma, permitiéndose también divisiones, como por ejemplo:${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$y${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Una función algebraica es lo mismo, permitiéndose también raíces enésimas y raíces de polinomios .
• Una función elemental ^{[ nota 4 ]} es la misma, permitiéndose logaritmos y funciones exponenciales .

Una función${\displaystyle f:X\to Y,}$con dominio X y codominio Y , es biyectiva si para cada y en Y , existe uno y solo un elemento x en X tal que y = f ( x ) . En este caso, la función inversa de f es la función${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$que mapas${\displaystyle y\in Y}$al elemento${\displaystyle x\in X}$De tal manera que y = f ( x ) . Por ejemplo, el logaritmo natural es una función biyectiva de los números reales positivos a los números reales. Por lo tanto, tiene una inversa, llamada función exponencial , que transforma los números reales en números positivos.

Si una función${\displaystyle f:X\to Y}$no es biyectivo, puede ocurrir que se puedan seleccionar subconjuntos${\displaystyle E\subseteq X}$y${\displaystyle F\subseteq Y}$De tal forma que la restricción de f a E es una biyección de E a F , y por lo tanto tiene una inversa. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función coseno induce, por restricción, una biyección del intervalo [ 0, π ] al intervalo [ −1, 1 ] , y su función inversa, llamada arcocoseno , mapea [ −1, 1 ] al intervalo [ 0, π ] . Las demás funciones trigonométricas inversas se definen de manera similar.

De manera más general, dada una relación binaria R entre dos conjuntos X e Y , sea E un subconjunto de X tal que, para cada${\displaystyle x\in E,}$hay algo${\displaystyle y\in Y}$tal que x R y . Si se tiene un criterio que permita seleccionar tal y para cada${\displaystyle x\in E,}$Esto define una función${\displaystyle f:E\to Y,}$llamada función implícita , porque está definida implícitamente por la relación R.

Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$define una relación en números reales. Si −1 < x < 1 hay dos valores posibles de y , uno positivo y otro negativo. Para x = ± 1 , ambos valores se vuelven iguales a 0. En caso contrario, no hay ningún valor posible de y . Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio [ −1, 1 ] y codominios respectivos [ 0, +∞) y (−∞, 0 ] .

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en y , dando como resultado:${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$define y como una función implícita de x , llamada radical Bring , que tiene${\displaystyle \mathbb {R} }$como dominio y rango. El radical Bring no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y raíces n -ésimas .

El teorema de la función implícita proporciona condiciones de diferenciabilidad suaves para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Muchas funciones pueden definirse como la antiderivada de otra función. Este es el caso del logaritmo natural , que es la antiderivada de 1/ x que es 0 para x = 1. Otro ejemplo común es la función de error .

En términos más generales, muchas funciones, incluidas la mayoría de las funciones especiales , pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales . El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial , que puede definirse como la única función que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0 .

Las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial viene dada por${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$Sin embargo, dado que los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente generalmente se define de otra manera, y la secuencia de coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Entonces, la serie de potencias puede usarse para ampliar el dominio de la función. Típicamente, si una función para una variable real es la suma de su serie de Taylor en algún intervalo, esta serie de potencias permite ampliar inmediatamente el dominio a un subconjunto de los números complejos , el disco de convergencia de la serie. Luego, la continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo . Este proceso es el método que se usa generalmente para definir las funciones logaritmo , exponencial y trigonométrica de un número complejo.

Las funciones cuyo dominio son los números enteros no negativos, conocidas como secuencias , a veces se definen mediante relaciones de recurrencia .

La función factorial en los enteros no negativos (${\displaystyle n\mapsto n!}$) es un ejemplo básico, ya que puede definirse mediante la relación de recurrencia.

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$$

y la condición inicial

$${\displaystyle 0!=1.}$$

Dada una función${\displaystyle f:X\to Y,}$Su gráfica es, formalmente, el conjunto

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

En el caso frecuente en que X e Y son subconjuntos de los números reales (o pueden identificarse con dichos subconjuntos, por ejemplo, intervalos ), un elemento${\displaystyle (x,y)\in G}$Se puede identificar con un punto que tiene coordenadas x , y en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo, el plano cartesiano . Partes de esto pueden crear una gráfica que representa (partes de) la función. El uso de gráficas es tan común que también se las llama gráficas de la función . Las representaciones gráficas de funciones también son posibles en otros sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la gráfica de la función cuadrática.

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

compuesto por todos los puntos con coordenadas${\displaystyle (x,x^{2})}$para${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$produce, cuando se representa en coordenadas cartesianas, la conocida parábola . Si la misma función cuadrática${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$La misma gráfica formal, que consiste en pares de números, se representa en coordenadas polares.${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$La gráfica obtenida es la espiral de Fermat .

Una función puede representarse como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función puede especificarse completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación.${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$definido como${\displaystyle f(x,y)=xy}$puede representarse mediante la conocida tabla de multiplicar

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede proporcionar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. ^{[ nota 5 ]} Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno podría presentarse de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 decimales:

Antes de la llegada de las calculadoras de mano y los ordenadores personales, este tipo de tablas se recopilaban y publicaban con frecuencia para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas. ^{[ nota 6 ]}

Un gráfico de barras puede representar una función cuyo dominio es un conjunto finito, los números naturales o los enteros . En este caso, un elemento x del dominio está representado por un intervalo del eje x , y el valor correspondiente de la función, f ( x ) , está representado por un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente a x y cuya altura es f ( x ) (posiblemente negativa, en cuyo caso la barra se extiende por debajo del eje x ).

Existen varias funciones estándar que se realizan con frecuencia:

• Para cada conjunto X , existe una función única, llamadaFunción vacía , oaplicación vacía, delconjunto vacíoaX.La gráfica de una función vacía es el conjunto vacío. ^{[ nota 7 ]} La ​​existencia de funciones vacías es necesaria tanto para la coherencia de la teoría como para evitar excepciones relativas al conjunto vacío en muchos enunciados. Bajo la definición usual de teoría de conjuntos de una función como unaterna ordenada(o equivalentes), hay exactamente una función vacía para cada conjunto, por lo tanto la función vacía${\displaystyle \varnothing \to X}$no es igual a${\displaystyle \varnothing \to Y}$si y solo si${\displaystyle X\neq Y}$, aunque sus gráficas son ambas el conjunto vacío .
• Para cada conjunto X y cada conjunto unitario { s } , existe una función única de X a { s } que asigna cada elemento de X a s . Esta es una sobreyección (véase más abajo), a menos que X sea el conjunto vacío.
• Dada una función${\displaystyle f:X\to Y,}$la sobreyección canónica de f sobre su imagen${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$es la función de X a f ( X ) que mapea x a f ( x ) .
• Para cada subconjunto A de un conjunto X , la aplicación de inclusión de A en X es la función inyectiva (véase más abajo) que asigna a cada elemento de A su propio elemento.
• La función identidad en un conjunto X , a menudo denotada por id _X , es la inclusión de X en sí mismo.

Dadas dos funciones${\displaystyle f:X\to Y}$y${\displaystyle g:Y\to Z}$de tal manera que el dominio de g es el codominio de f , su composición es la función${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$definido por

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

Es decir, el valor de${\displaystyle g\circ f}$se obtiene aplicando primero f a x para obtener y = f ( x ) y luego aplicando g al resultado y para obtener g ( y ) = g ( f ( x )) . En esta notación, la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha.

La composición${\displaystyle g\circ f}$es una operación sobre funciones que se define solo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando ambas${\displaystyle g\circ f}$y${\displaystyle f\circ g}$Si se cumplen estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa , es decir, las funciones${\displaystyle g\circ f}$y${\displaystyle f\circ g}$no tienen por qué ser iguales y pueden dar valores diferentes para el mismo argumento. Por ejemplo, sea f ( x ) = x ² y g ( x ) = x + 1 , entonces${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$y${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$estar de acuerdo solo por${\displaystyle x=0.}$

La composición de funciones es asociativa en el sentido de que, si una de${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$y${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$una está definida, entonces la otra también está definida, y son iguales, es decir,${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$Por lo tanto, es habitual simplemente escribir${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

Las funciones identidad${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$y${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$son respectivamente una identidad derecha y una identidad izquierda para funciones de X a Y. Es decir, si f es una función con dominio X y codominio Y , se tiene ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  Una función compuesta g ( f ( x )) puede visualizarse como la combinación de dos "máquinas".
• 
  Un ejemplo sencillo de composición de funciones
• 
  Otra composición. En este ejemplo, ( g ∘ f )(c) = # .

Dejar${\displaystyle f:X\to Y.}$La imagen bajo f de un elemento x del dominio X es f ( x ) . ^{[ 6 ]} Si A es cualquier subconjunto de X , entonces la imagen de A bajo f , denotada f ( A ) , es el subconjunto del codominio Y que consta de todas las imágenes de elementos de A , ^{[ 6 ]} es decir,

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

La imagen de f es la imagen de todo el dominio, es decir, f ( X ) . ^{[ 17 ]} También se le llama rango de f , ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} aunque el término rango también puede referirse al codominio. ^{[ 9 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Por otro lado, la imagen inversa o preimagen bajo f de un elemento y del codominio Y es el conjunto de todos los elementos del dominio X cuyas imágenes bajo f son iguales a y . ^{[ 6 ]} En símbolos, la preimagen de y se denota por${\displaystyle f^{-1}(y)}$y viene dada por la ecuación

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

Asimismo, la preimagen de un subconjunto B del codominio Y es el conjunto de las preimágenes de los elementos de B , es decir, es el subconjunto del dominio X que consta de todos los elementos de ^X cuyas imágenes pertenecen a B. [ ^{6 ]} Se denota por${\displaystyle f^{-1}(B)}$y viene dada por la ecuación

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

Por ejemplo, la preimagen de${\displaystyle \{4,9\}}$bajo la función cuadrada es el conjunto${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$.

Por definición de una función, la imagen de un elemento x del dominio es siempre un único elemento del codominio. Sin embargo, la preimagen${\displaystyle f^{-1}(y)}$El codominio de un elemento y puede estar vacío o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si f es la función que mapea cada entero a 0, entonces${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$.

Si${\displaystyle f:X\to Y}$Si X es una función, A y B son subconjuntos de X , y C y D son subconjuntos de Y , entonces se tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

La preimagen de un elemento y del codominio, definida por f, se denomina a veces, en algunos contextos, fibra de y bajo f .

Si una función f tiene una inversa (ver más abajo), esta inversa se denota${\displaystyle f^{-1}.}$En este caso${\displaystyle f^{-1}(C)}$puede denotar la imagen por${\displaystyle f^{-1}}$o la preimagen de C por f . Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación${\displaystyle f(A)}$y${\displaystyle f^{-1}(C)}$puede ser ambiguo en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como por ejemplo:${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$En este caso, puede ser necesario tener cierto cuidado, por ejemplo, utilizando corchetes.${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes de elementos.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$ser una función.

La función f es inyectiva ( o biyectiva , o es una inyección ) si f ( a ) ≠ f ( b ) para cada par de elementos distintos a y b de X. ^{[ 17 ] [ 19 ]} Equivalentemente, f es inyectiva si y solo si, para cada${\displaystyle y\in Y,}$la preimagen${\displaystyle f^{-1}(y)}$contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si X no es el conjunto vacío, entonces f es inyectiva si y solo si existe una función${\displaystyle g:Y\to X}$de tal manera que${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$es decir, si f tiene un inverso izquierdo . ^{[ 19 ]} Demostración : Si f es inyectiva, para definir g , se elige un elemento${\displaystyle x_{0}}$en X (que existe ya que se supone que X no es vacío), ^{[ nota 8 ]} y se define g por${\displaystyle g(y)=x}$si${\displaystyle y=f(x)}$y${\displaystyle g(y)=x_{0}}$si${\displaystyle y\not \in f(X).}$Por el contrario, si${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$y${\displaystyle y=f(x),}$ entonces${\displaystyle x=g(y),}$y por lo tanto${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

La función f es sobreyectiva (o sobreyectiva , o es una sobreyección ) si su rango${\displaystyle f(X)}$es igual a su codominio${\displaystyle Y}$, es decir, si, para cada elemento${\displaystyle y}$del codominio, existe algún elemento${\displaystyle x}$del dominio tal que${\displaystyle f(x)=y}$(en otras palabras, la preimagen)${\displaystyle f^{-1}(y)}$de cada${\displaystyle y\in Y}$es no vacío). ^{[ 17 ] [ 20 ]} Si, como es habitual en las matemáticas modernas, se asume el axioma de elección , entonces f es sobreyectiva si y solo si existe una función${\displaystyle g:Y\to X}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$es decir, si f tiene una inversa derecha . ^{[ 20 ]} El axioma de elección es necesario porque, si f es sobreyectiva, se define g por${\displaystyle g(y)=x,}$dónde${\displaystyle x}$es un elemento elegido arbitrariamente de${\displaystyle f^{-1}(y).}$

La función f es biyectiva (o es una biyección o una correspondencia biyectiva ) si es inyectiva y sobreyectiva. ^{[ 17 ] [ 21 ]} Es decir, f es biyectiva si, para cada${\displaystyle y\in Y,}$la preimagen${\displaystyle f^{-1}(y)}$contiene exactamente un elemento. La función f es biyectiva si y solo si admite una función inversa , es decir, una función${\displaystyle g:Y\to X}$de tal manera que${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$^{[ 21 ]} (A diferencia del caso de las sobreyecciones, esto no requiere el axioma de elección; la demostración es directa).

Cada función${\displaystyle f:X\to Y}$puede ser factorizado como la composición${\displaystyle i\circ s}$de una sobreyección seguida de una inyección, donde s es la sobreyección canónica de X sobre f ( X ) e i es la inyección canónica de f ( X ) en Y . Esta es la factorización canónica de f .

«One-to-one» y «onto» son términos más comunes en la literatura inglesa antigua; «injective», «sobrejective» y «bijective» fueron acuñados originalmente como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e incorporados al inglés. ^{[ 22 ]} Cabe señalar que «una función one-to-one» es inyectiva, mientras que «una correspondencia one-to-one» se refiere a una función biyectiva. Asimismo, la afirmación « f mapea X sobre Y » difiere de « f mapea X en B », ya que la primera implica que f es sobreyectiva, mientras que la segunda no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de f . En un razonamiento complejo, la diferencia de una sola letra puede pasar desapercibida fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología antigua, estos términos han disminuido en popularidad en relación con los términos de Bourbaki, que además tienen la ventaja de ser más simétricos.

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función y S es un subconjunto de X , entonces la restricción de${\displaystyle f}$a S , denotado${\displaystyle f|_{S}}$, es la función de S a Y definida por

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

para todo x en S. Se pueden usar restricciones para definir funciones inversas parciales : si existe un subconjunto S del dominio de una función${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f|_{S}}$es inyectiva, entonces la sobreyección canónica de${\displaystyle f|_{S}}$sobre su imagen${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$es una biyección y, por lo tanto, tiene una función inversa de${\displaystyle f(S)}$a S. Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas . Por ejemplo, la función coseno es inyectiva cuando se restringe al intervalo [ 0, π ] . La imagen de esta restricción es el intervalo [ −1, 1 ] , y por lo tanto la restricción tiene una función inversa de [ −1, 1 ] a [ 0, π ] , que se llama arcocoseno y se denota como arccos .

La restricción de funciones también puede utilizarse para "unir" funciones.${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$Sea X la descomposición de X como una unión de subconjuntos, y supongamos que una función${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$se define en cada${\displaystyle U_{i}}$de tal manera que para cada par${\displaystyle i,j}$de índices, las restricciones de${\displaystyle f_{i}}$y${\displaystyle f_{j}}$a${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$son iguales. Entonces esto define una función única.${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$para todo i . Así es como se definen las funciones en variedades .

Una extensión de una función f es una función g tal que f es una restricción de g . Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica , que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí tenemos otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra al estudiar homografías de la recta real . Una homografía es una función.${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$tal que ad − bc ≠ 0 . Su dominio es el conjunto de todos los números reales distintos de${\displaystyle -d/c,}$y su imagen es el conjunto de todos los números reales distintos de${\displaystyle a/c.}$Si se extiende la recta real a la recta real extendida proyectivamente incluyendo ∞ , se puede extender h a una biyección de la recta real extendida a sí misma estableciendo${\displaystyle h(\infty )=a/c}$y${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$.

Una función real es una función de valor real de una variable real , es decir, una función cuyo codominio es el cuerpo de los números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo . En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones .

Las funciones más comunes en matemáticas y sus aplicaciones poseen cierta regularidad: son continuas , diferenciables e incluso analíticas . Esta regularidad permite visualizarlas mediante sus gráficas . En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales , es decir, si f y g son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$$

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de f y g . El cociente de dos funciones se define de manera similar por

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

pero el dominio de la función resultante se obtiene eliminando los ceros de g de la intersección de los dominios de f y g .

Las funciones polinómicas se definen mediante polinomios , y su dominio es el conjunto completo de los números reales. Incluyen funciones constantes , funciones lineales y funciones cuadráticas . Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinómicas, y su dominio son los números reales con un número finito de ellos eliminados para evitar la división por cero . La función racional más simple es la función${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$cuya gráfica es una hipérbola y cuyo dominio es toda la recta real excepto el 0.

La derivada de una función real diferenciable es una función real. Una antiderivada de una función real continua es una función real que tiene a la función original como derivada. Por ejemplo, la función${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$es continua, e incluso diferenciable, en los números reales positivos. Por lo tanto, una antiderivada, que toma el valor cero para x = 1 , es una función diferenciable llamada logaritmo natural .

Una función real f es monótona en un intervalo si el signo de${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$no depende de la elección de x e y en el intervalo. Si la función es diferenciable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real f es monótona en un intervalo I , tiene una función inversa , que es una función real con dominio f ( I ) e imagen I. Así es como se definen las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones trigonométricas , donde las funciones trigonométricas son monótonas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monótono en los números reales positivos, y su imagen es toda la recta real; por lo tanto, tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial .

Muchas otras funciones reales se definen bien por el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son soluciones de la ecuación diferencial lineal.

$${\displaystyle y''+y=0}$$

de tal manera que

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores , se dice que la función es vectorial. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, para modelar propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector de velocidad es una función vectorial.

Algunas funciones con valores vectoriales se definen en un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, como las variedades . A estas funciones con valores vectoriales se les da el nombre de campos vectoriales .