Función de varias variables complejas

La teoría de funciones de varias variables complejas es la rama de las matemáticas que se ocupa de las funciones definidas en el espacio de coordenadas complejas. $\mathbb {C} ^{n}$ , es decir, $n$ -tuplas de números complejos . El nombre del campo que trata las propiedades de estas funciones es varias variables complejas (y espacio analítico ), que la Clasificación de Materias Matemáticas tiene como encabezado de nivel superior.

Como en el análisis complejo de funciones de una variable, las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables $z i$ . Equivalentemente, son límites uniformes locales de polinomios ; o soluciones a las ecuaciones de Cauchy-Riemann $n$ dimensionales . ^[¹^]^[²^] Para una variable compleja, todo dominio es el dominio de holomorfía de alguna función. ^[³^]^[⁴^] Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios que no son el dominio de holomorfía de ninguna función, y por lo tanto no siempre es el dominio de holomorfía, por lo que el dominio de holomorfía es uno de los temas en este campo. ^[³^] El parcheo de los datos locales de funciones meromorfas , es decir, el problema de crear una función meromorfa global a partir de ceros y polos, se llama el problema de Cousin . Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son fundamentalmente importantes para el estudio de variedades complejas compactas y variedades proyectivas complejas ^[⁵^] y tienen un sabor diferente a la geometría analítica compleja en $\mathbb {C} ^{n}$ o en variedades de Stein , estas son mucho más similares al estudio de variedades algebraicas que al estudio de la geometría algebraica que a la geometría analítica compleja.

Perspectiva histórica

Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX; funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas , y también, como ejemplo de un problema inverso ; el problema de inversión de Jacobi . ^{[ 6 ]} Naturalmente, también es candidata una misma función de una variable que depende de algún parámetro complejo . Sin embargo, la teoría, durante muchos años, no se convirtió en un campo de pleno derecho en el análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no se descubrieron. El teorema de preparación de Weierstrass se clasificaría ahora como álgebra conmutativa ; sí justificó la imagen local, la ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación de la teoría de superficies de Riemann .

Con el trabajo de Friedrich Hartogs , Pierre Cousin , EE Levi y Kiyoshi Oka en la década de 1930, comenzó a surgir una teoría general; otros que trabajaban en el área en ese momento fueron Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger y Francesco Severi . Hartogs demostró algunos resultados básicos, como que toda singularidad aislada es removible , para toda función analítica. $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ siempre que $n > 1.$ Naturalmente, los análogos de las integrales de contorno serán más difíciles de manejar; cuando $n = 2, una integral que rodea un punto debería ser sobre una$ variedad tridimensional (ya que estamos en cuatro dimensiones reales), mientras que la iteración de integrales de contorno (de línea) sobre dos variables complejas separadas debería resultar en una integral doble sobre una superficie bidimensional. Esto significa que el cálculo de residuos tendrá que adoptar un carácter muy diferente.

Después de 1945, un importante trabajo en Francia, en el seminario de Henri Cartan , y en Alemania con Hans Grauert y Reinhold Remmert , cambió rápidamente el panorama de la teoría. Se aclararon varias cuestiones, en particular la de la continuación analítica . Aquí se evidencia una diferencia importante con respecto a la teoría de una variable; mientras que para cada conjunto abierto conexo D en $\mathbb {C}$ Podemos encontrar una función que no continuará analíticamente en ningún punto sobre la frontera, lo cual no se puede decir para $n > 1.$ De hecho, las D de ese tipo son bastante especiales en su naturaleza (especialmente en espacios de coordenadas complejas). $\mathbb {C} ^{n}$ y variedades de Stein, que satisfacen una condición llamada pseudoconvexidad ). Los dominios naturales de definición de funciones, continuados hasta el límite, se llaman variedades de Stein y su naturaleza era hacer que los grupos de cohomología de haces se anularan; por otro lado, el teorema de anulación de Grauert-Riemenschneider es conocido como un resultado similar para variedades complejas compactas, y la conjetura de Grauert-Riemenschneider es un caso especial de la conjetura de Narasimhan. ^{[ 3 ]} De hecho, fue la necesidad de poner (en particular) el trabajo de Oka sobre una base más clara lo que condujo rápidamente al uso consistente de haces para la formulación de la teoría (con importantes repercusiones para la geometría algebraica , en particular a partir del trabajo de Grauert).

A partir de este punto, existió una teoría fundamental que podía aplicarse a la geometría analítica , ^{[ nota 1 ]} formas automórficas de varias variables y ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la deformación de estructuras complejas y variedades complejas fue descrita en términos generales por Kunihiko Kodaira y DC Spencer . El célebre artículo GAGA de Serre ^{[ 7 ]} delimitó el punto de transición de la geometría analítica a la geometría algebraica .

Se oyó a C. L. Siegel quejarse de que la nueva teoría de funciones de varias variables complejas contenía pocas funciones , lo que significaba que el aspecto funcional especial de la teoría estaba subordinado a los haces. El interés para la teoría de números reside, sin duda, en generalizaciones específicas de las formas modulares . Las candidatas clásicas son las formas modulares de Hilbert y las de Siegel . Actualmente, estas se asocian a grupos algebraicos (respectivamente, la restricción de Weil de un cuerpo de números totalmente reales de $GL (2)$ y el grupo simpléctico ), para los cuales se pueden derivar representaciones automorfas a partir de funciones analíticas. En cierto sentido, esto no contradice a Siegel; la teoría moderna tiene sus propias direcciones, diferentes.

Entre los desarrollos posteriores se incluyen la teoría de las hiperfunciones y el teorema del borde de la cuña , ambos inspirados en la teoría cuántica de campos . Existen otros campos, como la teoría del álgebra de Banach , que utilizan varias variables complejas.

El espacio de coordenadas complejas

El espacio de coordenadas complejas $\mathbb {C} ^{n}$ es el producto cartesiano de $n$ copias de $\mathbb {C}$ y cuando $\mathbb {C} ^{n}$ es un dominio de holomorfía, $\mathbb {C} ^{n}$ puede considerarse como una variedad de Stein y un espacio de Stein más generalizado. $\mathbb {C} ^{n}$ También se considera una variedad proyectiva compleja , una variedad de Kähler , [ ^{8 ] etc.} También es un espacio vectorial $n$ -dimensional sobre los números complejos , lo que le da su dimensión $2n sobre$ $\mathbb {R}$ . ^{[ nota 2 ]} Por lo tanto, como conjunto y como espacio topológico , $\mathbb {C} ^{n}$ puede identificarse con el espacio de coordenadas real $\mathbb {R} ^{2n}$ y su dimensión topológica es, por lo tanto, $2 n$ .

En lenguaje libre de coordenadas, cualquier espacio vectorial sobre números complejos puede pensarse como un espacio vectorial real del doble de dimensiones, donde una estructura compleja se especifica mediante un operador lineal $J$ , que satisface $J 2 = - I$ , que define la multiplicación por la unidad imaginaria $i$ .

Cualquier espacio de este tipo, como espacio real, está orientado . En el plano complejo , considerado como un plano cartesiano , la multiplicación por un número complejo $w = u + iv$ puede representarse mediante la matriz real.

{\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},

con determinante $u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.$ Asimismo, si se expresa cualquier operador lineal complejo de dimensión finita como una matriz real (que estará compuesta por bloques de 2 × 2 de la forma antes mencionada), entonces su determinante es igual al cuadrado del valor absoluto del determinante complejo correspondiente. Es un número no negativo, lo que implica que la orientación (real) del espacio nunca se invierte por un operador complejo. Lo mismo se aplica a los jacobianos de funciones holomorfas de $\mathbb {C} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ .

Funciones holomorfas

Definición

Una función f definida en un dominio $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ y con valores en $\mathbb {C}$ Se dice que es holomorfo en un punto $z\in D$ si es diferenciable en sentido complejo en este punto, en el sentido de que existe una aplicación lineal compleja $L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ de tal manera que

f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )

Se dice que la función f es holomorfa si es holomorfa en todos los puntos de su dominio de definición D.

Si f es holomorfa, entonces todas las aplicaciones parciales :

z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})

son holomorfas como funciones de una variable compleja : decimos que f es holomorfa en cada variable por separado. Recíprocamente, si f es holomorfa en cada variable por separado, entonces f es de hecho holomorfa : esto se conoce como el teorema de Hartog , o como el lema de Osgood bajo la hipótesis adicional de que f es continua .

ecuaciones de Cauchy-Riemann

En una variable compleja, una función $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ definido en el plano es holomorfo en un punto $p\in \mathbb {C}$ si es parte real $u$ y su parte imaginaria $v$ satisfacen las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann en $p,$ a saber

${\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ y }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p).$

En varias variables, una función $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ es holomorfa si es holomorfa en cada variable por separado, y por lo tanto si la parte real $u$ y la parte imaginaria $v$ de $f$ satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann

${\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{j}}}\quad {\text{ y }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{j}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\dots ,n.$

Utilizando el formalismo de las derivadas de Wirtinger , esto puede reformularse como

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}=0,\quad j=1,\dots ,n$

o incluso de forma más compacta utilizando el formalismo de formas diferenciales complejas , como ${\bar {\partial }}f=0.$

Fórmula integral de Cauchy

Demuestra la suficiencia de dos condiciones (A) y (B). Sea f una función que cumple las condiciones de ser continua y separadamente homomorfa en el dominio D. Cada disco tiene una curva rectificable. $\gamma$ , $\gamma _{\nu }$ es suavidad por partes , clase ${\mathcal {C}}^{1}$ Curva cerrada de Jordan. $\nu =1,2,\ldots,n$ ) Dejar $D_{\nu }$ ser el dominio rodeado por cada uno $\gamma _{\nu }$ Cierre de producto cartesiano ${\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ es ${\overline {D_{1}}}\times {\overline {D_{2}}}\times \cdots \times {\overline {D_{n}}}\in D$ . Además, tome el polidisco cerrado ${\overline {\Delta }}$ para que se convierta en ${\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}$ . ${\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ y dejar $\{z_{\nu }\}_{\nu =1}^{n}$ sea el centro de cada disco.) Usando repetidamente la fórmula integral de Cauchy de una variable,

{\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}.\end{aligned}}

Porque $\partial D$ es una curva cerrada jordana rectificable ^{[ nota 3 ]} y f es continua, por lo que el orden de los productos y las sumas se puede intercambiar para que la integral iterada se pueda calcular como una integral múltiple . Por lo tanto,

Fórmula de evaluación de Cauchy

Debido a que el orden de los productos y las sumas es intercambiable, de ( 1 ) obtenemos

f es clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$ -función.

De (2), si f es holomorfa, en polidisco $\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ y $|f|\leq {M}$ , se obtiene la siguiente ecuación de evaluación.

\left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}!\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}.

Por lo tanto, el teorema de Liouville es válido.

Desarrollo en serie de potencias de funciones holomorfas en polidisco

Si la función f es holomorfa, en polidisco $\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}$ A partir de la fórmula integral de Cauchy, podemos ver que se puede extender de forma única a la siguiente serie de potencias.

{\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.\end{aligned}}

Además, una función f que satisface las siguientes condiciones se denomina función analítica.

Para cada punto $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}$ , $f(z)$ se expresa como un desarrollo en serie de potencias que converge en D :

f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}.

Ya hemos explicado que las funciones holomorfas en polidisco son analíticas. Además, a partir del teorema derivado por Weierstrass, podemos ver que la función analítica en polidisco (serie de potencias convergente) es holomorfa.

Si una secuencia de funciones $f_{1},f_{2},\dots$ converge uniformemente en subconjuntos compactos de un dominio D , la función límite f es holomorfa en D. Además, las derivadas parciales respectivas de $f_{1},f_{2},\dots$ converge de forma compacta en el dominio D a las derivadas correspondientes de f . ^{[ 9 ]}

Radio de convergencia de series de potencias

Es posible definir una combinación de números reales positivos. $\{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}$ de tal manera que la serie de potencias ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ converge uniformemente en $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ y no converge uniformemente en $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ .

De esta forma, es posible obtener una combinación similar de radio de convergencia ^{[ nota 4 ]} para una variable compleja. Esta combinación generalmente no es única y existen infinitas combinaciones posibles.

Expansión de la serie Laurent

Dejar $f(z)$ ser holomorfo en el polianillo $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}$ y continua en su cierre. Entonces

{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k).\end{aligned}}

La integral en el segundo término del lado derecho se realiza de manera que se vea el cero a la izquierda en cada plano, además esta serie integrada es uniformemente convergente en el anillo. $r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }$ , dónde $r'_{\nu }>r_{\nu }$ y $R'_{\nu }<R_{\nu }$ , y por lo tanto es posible integrar el término. ^[¹⁰^]

Fórmula de Bochner-Martinelli

La fórmula de Bochner-Martinelli es una fórmula de Cauchy que funciona para dominios generales. Establece que si f es una función continuamente diferenciable en la clausura de un dominio D en $\mathbb {C} ^{n}$ con límite suave por partes $\partial D$ entonces

\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z),\quad z\in D,

dónde $\omega (\zeta ,z)$ es una forma diferencial llamada núcleo de Bochner-Martinelli . En particular, si f es holomorfa, el segundo término se anula, por lo que

\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).

Teorema de identidad

Las funciones holomorfas de varias variables complejas satisfacen un teorema de identidad , como en una variable. Dos funciones holomorfas definidas en el mismo conjunto de dominio. $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ y que coinciden en un subconjunto abierto N de D , son iguales en todo el conjunto D. Este resultado se puede demostrar a partir del hecho de que las funciones holomorfas tienen expansiones en series de potencias. También se puede deducir del caso de una variable. A diferencia del caso de una variable, es posible que dos funciones holomorfas diferentes coincidan en un conjunto que tiene un punto de acumulación, por ejemplo, las aplicaciones $f(z_{1},z_{2})=0$ y $g(z_{1},z_{2})=z_{1}$ coinciden en toda la línea compleja de $\mathbb {C} ^{2}$ definido por la ecuación $z_{1}=0$ .

También se cumplen el principio maximal , el teorema de la función inversa y los teoremas de la función implícita . El teorema de preparación de Weierstrass funciona como un teorema de la función implícita para variables complejas.

Biholomorfismo

A partir del establecimiento del teorema de la función inversa, se puede definir la siguiente correspondencia.

Para el dominio U , V del espacio complejo n -dimensional $\mathbb {C} ^{n}$ , la función holomorfa biyectiva $\phi :U\to V$ y el mapeo inverso $\phi ^{-1}:V\to U$ también es holomorfo. En este momento, $\phi$ También se le llama biholomorfismo U , V , y decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficos.

Cuando $n>1$ Las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficamente equivalentes, ^{[ 11 ]} a diferencia del caso de una sola variable, donde se tiene el Teorema de la Aplicación de Riemann . Esto fue demostrado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen dimensiones diferentes como grupos de Lie . ^{[ 4 ]}^{[ 12 ]} Sin embargo, incluso en el caso de varias variables complejas, hay algunos resultados similares a los de la teoría de uniformización en una variable compleja. ^{[ 13 ]}

continuación analítica

Sean U y V dominios en $\mathbb {C} ^{n}$ , de tal manera que $f\in {\mathcal {O}}(U)$ y $g\in {\mathcal {O}}(V)$ , ( ${\mathcal {O}}(U)$ es el conjunto/anillo de funciones holomorfas en U .) supongamos que $U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing$ y $W$ es un componente conectado de $U\cap V$ . Si $f|_{W}=g|_{W}$ Entonces se dice que f está conectada a V , y se dice que g es una continuación analítica de f . Según el teorema de identidad, si g existe, para cada forma de elegir W es única. Cuando n > 2, ocurre el siguiente fenómeno dependiendo de la forma del límite. $\partial U$ : existe un dominio U , V , tal que todas las funciones holomorfas $f$ sobre el dominio U , tienen una continuación analítica $g\in {\mathcal {O}}(V)$ En otras palabras, puede que no exista una función. $f\in {\mathcal {O}}(U)$ de tal manera que $\partial U$ como límite natural. Esto se denomina fenómeno de Hartogs. Por lo tanto, investigar cuándo los límites de dominio se convierten en límites naturales se ha convertido en uno de los principales temas de investigación de varias variables complejas. Además, si $n\geq 2$ , sería que la V anterior tiene una parte de intersección con U distinta de W. Esto contribuyó al avance de la noción de cohomología de haces.

dominio de Reinhardt

En los polidiscos, se cumple la fórmula integral de Cauchy y se define la expansión en serie de potencias de funciones holomorfas, ya que en los polidiscos era posible la separación de variables , pero esto no siempre se cumple para cualquier dominio. Por lo tanto, para estudiar el dominio de convergencia de la serie de potencias, fue necesario imponer una restricción adicional al dominio, que se denominó dominio de Reinhardt. Los primeros conocimientos sobre las propiedades del campo de estudio de varias variables complejas, como la convexidad logarítmica, el teorema de extensión de Hartogs, etc., se obtuvieron en el dominio de Reinhardt.

Dejar $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ ser un dominio, con centro en un punto $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ , de tal manera que, junto con cada punto $z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D$ , el dominio también contiene el conjunto

\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.

Un dominio D se denomina dominio de Reinhardt si satisface las siguientes condiciones: ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Dejar $\theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)$ Sean números reales arbitrarios, un dominio D es invariante bajo la rotación: $\left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}$ .

Los dominios de Reinhardt que se definen por la siguiente condición; junto con todos los puntos de $z^{0}\in D$ , el dominio contiene el conjunto

\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.

Un dominio de Reinhardt D se llama dominio de Reinhardt completo con centro en un punto a si junto con todos los puntos $z^{0}\in D$ También contiene el polidisco.

\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.

Un dominio de Reinhardt completo D es como una estrella con respecto a su centro a y, por lo tanto, simplemente conectado .

Convexo logarítmicamente

Para que un dominio de Reinhardt completo sea el dominio de convergencia de una serie de potencias, se requiere una condición adicional, que se denomina convexa logarítmica.

Un dominio de Reinhardt D se denomina logarítmicamente convexo si la imagen $\lambda (D^{*})$ del conjunto

D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}

bajo el mapeo

\lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)

es un conjunto convexo en el espacio de coordenadas reales $\mathbb {R} ^{n}$ .

Cada dominio de este tipo en $\mathbb {C} ^{n}$ es el interior del conjunto de puntos de convergencia absoluta de alguna serie de potencias en ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ y, a la inversa; El dominio de convergencia de toda serie de potencias en $z_{1},\dots ,z_{n}$ es un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo con centro $a=0$ . ^{[ nota 5 ]} Pero, hay un ejemplo de un dominio de Reinhardt completo D que no es logarítmicamente convexo. ^{[ 16 ]}

Algunos resultados

El teorema de extensión de Hartogs y el fenómeno de Hartogs.

Al examinar el dominio de convergencia en dominios de Reinhardt, Hartogs descubrió el fenómeno de Hartogs. Encontró dominios tales que todas las funciones holomorfas en esos dominios podían extenderse a un dominio estrictamente mayor. ^{[ 17 ]} Esto no es posible en una variable.

Teorema de extensión de Hartogs: ^{[ 18 ]} Sea

G

un dominio en

\mathbb {C} ^{n}

, con

n \geq 2

, y K un subconjunto compacto de

G

. Si

G  \ K

es conexo, entonces toda función holomorfa en

G  \ K

puede extenderse a una función holomorfa en

G

. ^{[ 19 ]}

También conocido como teorema de Osgood-Brown, este teorema establece que, para funciones holomorfas de varias variables complejas, la singularidad es un punto de acumulación, no un punto aislado . Esto significa que las diversas propiedades que se cumplen para funciones holomorfas de una variable compleja no se cumplen para funciones holomorfas de varias variables complejas. La naturaleza de estas singularidades también se deriva del teorema de preparación de Weierstrass . Una generalización de este teorema, utilizando el mismo método que Hartogs, fue demostrada en 2007. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

Los resultados clásicos de Thullen

El resultado clásico de Thullen ^{[ 22 ]} dice que un dominio de Reinhard acotado bidimensional que contiene el origen es biholomorfo a uno de los siguientes dominios siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismos tenga dimensión positiva:

$\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}$ (polidisco);
$\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\},$ dónde $p>0$ (Dominio de Thullen).

Toshikazu Sunada posteriormente generalizó el resultado de Thullen a más de dos variables. ^{[ 23 ]}

Dominio natural de la función holomorfa (dominio de la holomorfia)

Al pasar de la teoría de una variable compleja a la teoría de varias variables complejas, dependiendo del rango del dominio, puede que no sea posible definir una función holomorfa tal que el límite del dominio se convierta en un límite natural. Considerando el dominio donde los límites del dominio son límites naturales (en el espacio de coordenadas complejas) $\mathbb {C} ^{n}$ (llamado dominio de holomorfía), el primer resultado del dominio de holomorfía fue la convexidad holomorfa de H. Cartan y Thullen. ^{[ 24 ]} El problema de Levi muestra que el dominio pseudoconvexo era un dominio de holomorfía. (Primero para $\mathbb {C} ^{2}$ , ^{[ 25 ]} posteriormente se extendió a $\mathbb {C} ^{n}$ . ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} ) ^{[ 28 ]} La noción de idéal de domaines indéterminés de Kiyoshi Oka ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} es interpretada como teoría de cohomología de haces por H. Cartan y más desarrollo Serre. ^[^{nota 7}^]^[³³^]^[³⁴^]^[³⁵^]^[³⁶^]^[³⁷^]^[³⁸^]^[⁵^] En cohomología de haces, el dominio de holomorfía ha llegado a interpretarse como la teoría de variedades de Stein. ^[³⁹^] La noción de dominio de holomorfía también se considera en otras variedades complejas, además también el espacio analítico complejo que es su generalización. ^[³^]

Dominio de la holomorfia

{\displaystyle \Omega } — Los conjuntos en la definición. Nota: En esta sección, reemplace $\Omega$ en la figura con D

Cuando una función f es holomorfa en el dominio $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ y no puede conectarse directamente con el dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio. $\partial D$ El dominio D se denomina dominio de holomorfía de f y la frontera se denomina frontera natural de f . En otras palabras, el dominio de holomorfía D es el supremo del dominio donde la función holomorfa f es holomorfa, y el dominio D , que es holomorfo, no puede extenderse más. Para varias variables complejas, es decir, el dominio $D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)$ , los límites pueden no ser límites naturales. El teorema de extensión de Hartogs da un ejemplo de un dominio donde los límites no son límites naturales. ^{[ 40 ]}

Formalmente, un dominio D en el espacio de coordenadas complejas n -dimensional $\mathbb {C} ^{n}$ Se denomina dominio de holomorfía si no existen dominios no vacíos. $U\subset D$ y $V\subset \mathbb {C} ^{n}$ , $V\not \subset D$ y $U\subset D\cap V$ de tal manera que para cada función holomorfa f en D existe una función holomorfa g en V con $f=g$ en U.

Para el $n=1$ caso, cada dominio ( $D\subset \mathbb {C}$ ) es un dominio de holomorfía; podemos encontrar una función holomorfa que no sea idénticamente 0, pero cuyos ceros se acumulan en todas partes en el límite del dominio, que entonces debe ser un límite natural para un dominio de definición de su recíproco.

Propiedades de los dominios de holomorfía

Si $D_{1},\dots ,D_{n}$ son dominios de holomorfía, entonces su intersección ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$ También es un dominio de la holomorfia.
Si $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots$ es una secuencia creciente de dominios de holomorfía, luego su unión ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$ También es un dominio de holomorfía. Este resultado se conoce como el teorema de Behnke-Stein . ^{[ 41 ]}
Si $D_{1}$ y $D_{2}$ son dominios de holomorfía, entonces $D_{1}\times D_{2}$ es un dominio de holomorfía.
El primer problema del primo siempre es resoluble en un dominio de holomorfía; sin embargo, Cartan demostró que el recíproco de este resultado era incorrecto para $n\geq 3$ . ^{[ 42 ]} Esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema del primo.

envoltura convexa holomórfica

Dejar $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ sea un dominio, o alternativamente para una definición más general, sea $G$ frijol $n$ variedad analítica compleja dimensional . Además, ${\mathcal {O}}(G)$ representan el conjunto de funciones holomorfas en G. Para un conjunto compacto $K\subset G$ , la envoltura holomorfa convexa de K es

{\hat {K}}_{G}=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right\}.

Se obtiene un concepto más restringido de envolvente polinómicamente convexa al tomar ${\mathcal {O}}(G)$ en cambio, ser el conjunto de funciones polinómicas de valor complejo en G. La envoltura polinómicamente convexa contiene la envoltura holomorfamente convexa.

El dominio $G$ se denomina holomorfamente convexo si para cada subconjunto compacto $K,{\hat {K}}_{G}$ También es compacto en G. A veces esto se abrevia simplemente como holomorfo-convexo .

Cuando $n=1$ , cada dominio $G$ es holomorfamente convexa ya que ${\hat {K}}_{G}$ es la unión de K con los componentes relativamente compactos de $G\setminus K\subset G$ .

Cuando $n\geq 1$ , si f satisface la convexidad holomorfa anterior en D , tiene las siguientes propiedades. ${\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})$ para cada subconjunto compacto K en D , donde ${\text{dist}}(K,D^{c})$ denota la distancia entre K y $D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D$ . Además, en este momento, D es un dominio de holomorfía. Por lo tanto, todo dominio convexo $(D\subset \mathbb {C} ^{n})$ es dominio de la holomorfia. ^{[ 4 ]}

Pseudoconvexidad

Hartogs demostró que

Hartogs: ^{[ 18 ]} Sea D un dominio de Hartogs en $\mathbb {C}$ y sea R una función positiva en D tal que el conjunto $\Omega$ en $\mathbb {C} ^{2}$ definido por $z_{1}\in D$ y $|z_{2}|<R(z_{1})$ es un dominio de holomorfía. Entonces $-\log {R}(z_{1})$ es una función subarmónica en D . ^{[ 3 ]}

Si tales relaciones se cumplen en el dominio de holomorfía de varias variables complejas, parece una condición más manejable que una convexidad holomorfa. ^{[ nota 8 ]} La función subarmónica se asemeja a una función convexa , por lo que Levi la denominó dominio pseudoconvexo (pseudoconvexidad de Hartogs). Los dominios pseudoconvexos (límites de pseudoconvexidad) son importantes, ya que permiten clasificar los dominios de holomorfía. Un dominio de holomorfía es una propiedad global; por el contrario, la pseudoconvexidad es una propiedad analítica o geométrica local del límite de un dominio. ^{[ 43 ]}

Definición de función plurisubarmónica

Una función $u\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},$ con dominio $D\subset {\mathbb {C} }^{n}$ Se denomina plurisubarmónica si es semicontinua superior y para cada línea compleja. $\{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}$ , con $a,b\in \mathbb {C} ^{n}$ , la función $z\mapsto u(a+bz)$ es una función subarmónica en el conjunto $\{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.$ Esta noción puede definirse de manera similar en variedades complejas arbitrarias o incluso en espacios analíticos complejos.

En una variable compleja, una función $u$ en ${\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} )$ es subarmónico si y solo si $\Delta u=4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0.$ Por lo tanto, si $u$ es de clase ${\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})$ , entonces $u$ es plurisubarmónico si y solo si la matriz hermitiana $H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}$ es semidefinida positiva. Equivalentemente, una ${\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})$ -la función u es plurisubarmónica si y solo si $i\partial {\bar {\partial }}u$ es una forma positiva (1,1) . ^{[ 44 ]}^{: 39–40}

Cuando la matriz hermitiana de u es definida positiva y de clase ${\mathcal {C}}^{2}$ , llamamos a u una función plurisubarmónica estricta.

Pseudoconvexa (débilmente) (p-pseudoconvexa)

La pseudoconvexidad débil se define como : Sea $X\subset {\mathbb {C} }^{n}$ Sea X un dominio. Se dice que X es pseudoconvexo si existe una función plurisubarmónica continua . $\varphi$ en X tal que el conjunto $\{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}$ es un subconjunto relativamente compacto de X para todos los números reales x . ^{[ nota 9 ]} es decir, existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave. $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ A menudo, aquí se utiliza la definición de pseudoconvexo, que se escribe como: Sea X una variedad compleja n- dimensional. Entonces se dice que es débilmente pseudoconvexo si existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave. $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ . ^{[ 44 ]}^{: 49}

Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo

Sea X una variedad compleja n- dimensional. Es fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa si existe una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica suave. $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ , es decir, $H\psi$ es definida positiva en cada punto. El dominio fuertemente pseudoconvexo es el dominio pseudoconvexo. ^{[ 44 ]}^{: 49} Fuertemente pseudoconvexo y estrictamente pseudoconvexo (es decir 1-convexo y 1-completo ^{[ 45 ]} ) se usan a menudo indistintamente, ^{[ 46 ]} véase Lempert ^{[ 47 ]} para la diferencia técnica.

Levi form

pseudoconvexidad de Levi

Si ${\mathcal {C}}^{2}$ límite, se puede demostrar que D tiene una función definitoria; es decir, que existe ${\displaystyle \rho$ que es ${\mathcal {C}}^{2}$ de modo que $D=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\,;\,\rho (z)<0\}$ , y $\partial D=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\,;\,\rho (z)=0\}$ Ahora bien, D es pseudoconvexa de Levi si para cada $p\in \partial D$ y $w$ en el espacio tangente complejo en $p$ tenemos

H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.

^{[ 4 ]}^{[ 48 ]}

Cuando la forma de Levi es definida positiva, se la denomina pseudoconvexa fuertemente de Levi . ^{[ 4 ]}

Pseudoconvexo total de Levi

Si para cada punto límite $\rho$ de D , existe una variedad analítica ${\mathcal {B}}$ paso $\rho$ que se encuentra completamente fuera de D en algún vecindario alrededor $\rho$ , excepto el punto $\rho$ El dominio D que satisface estas condiciones se denomina pseudoconvexo total de Levi. ^{[ 49 ]}

pseudoconvexo de Oka

Disco de la familia de Oka

Sean n -funciones $\varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)$ ser continuo en ${\displaystyle \Delta$ , holomorfo en $|u|<1$ cuando el parámetro t está fijo en [0, 1], y supongamos que ${\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}$ no todos son cero en ningún momento $\Delta$ . Luego el conjunto $Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\,;\,|u|\leq 1\}$ se denomina disco analítico que depende de un parámetro t y $B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\,;\,|u|=1\}$ se llama su caparazón. Si $Q(t)\subset D\ (0<t)$ y $B(0)\subset D$ , Q(t) se denomina Familia del disco de Oka. ^{[ 49 ]}^{[ 50 ]}

Definición

Cuando $Q(0)\subset D$ Se cumple en cualquier familia del disco de Oka, D se llama pseudoconvexo de Oka. ^{[ 49 ]} La prueba de Oka del problema de Levi fue que cuando el dominio de Riemann no ramificado sobre $\mathbb {C} ^{n}$ ^{[ 51 ]} era un dominio de holomorfía (holomórficamente convexo), se demostró que era necesario y suficiente que cada punto límite del dominio de holomorfía fuera un pseudoconvexo de Oka.^{[ 26 ]}^{[ 50 ]}

Localmente pseudoconvexo (también conocido como pseudoconvexo local de Stein, pseudoconvexo de Cartan, propiedad local de Levi)

Por cada punto $x\in \partial D$ Existe un entorno U de x y f holomorfo. (es decir, $U\cap D$ sea holomorfamente convexa.) de tal manera que f no pueda extenderse a ningún entorno de x . es decir, sea $\psi :X\to Y$ ser un mapa holomorfo, si cada punto $y\in Y$ tiene un vecindario U tal que $\psi ^{-1}(U)$ admite un ${\mathcal {C}}^{\infty }$ -función de agotamiento plurisubarmónica (débilmente 1-completa ^{[ 52 ]} ), en esta situación, decimos que X es localmente pseudoconvexa (o localmente Stein) sobre Y . Como nombre antiguo, también se llama pseudoconvexa de Cartan. En $\mathbb {C} ^{n}$ El dominio localmente pseudoconvexo es en sí mismo un dominio pseudoconvexo y es un dominio de holomorfía. ^{[ 53 ]}^{[ 49 ]} Por ejemplo, Diederich y Fornæss ^{[ 54 ]} encontraron dominios acotados localmente pseudoconvexos $\Omega$ con frontera suave en variedades no Kähler tales que $\Omega$ no es débilmente 1-completo. ^{[ 55 ]}^{[ nota 10 ]}

Condiciones equivalentes al dominio de la holomorfia

Para un dominio $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ Las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ nota 11 ]}

D es un dominio de holomorfía.
D es holomorfamente convexa.
D es la unión de una secuencia creciente de poliedros analíticos en D.
D es pseudoconvexa.
D es localmente pseudoconvexa.

Las implicaciones $1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3$ , ^{[ nota 12 ]} $1\Rightarrow 4$ , ^{[ nota 13 ]} y $4\Rightarrow 5$ son resultados estándar. Demostrando $5\Rightarrow 1$ , es decir, construir una función holomorfa global que no admita ninguna extensión a partir de funciones no extensibles definidas solo localmente, se llama el problema de Levi (en honor a EE Levi ) y fue resuelto para dominios de Riemann no ramificados sobre $\mathbb {C} ^{n}$ por Kiyoshi Oka, ^{[ nota 14 ]} pero para dominios de Riemann ramificados, la pseudoconvexidad no caracteriza la convexidad holomorfa, ^{[ 63 ]} y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia de ${\bar {\partial }}$ -problema(ecuación) con un método L ² ). ^{[ 64 ]}^{[ 40 ]}^{[ 2 ]}^{[ 65 ]}

gavillas

La introducción de haces en varias variables complejas permitió la reformulación y la solución de varios problemas importantes en el campo.

Idéal de domaines indéterminés (El predecesor de la noción de gavilla coherente)

Oka introdujo la noción que denominó "ideal de domaines indéterminés" o "ideal de dominios indeterminados". ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} Específicamente, es un conjunto $(I)$ de pares $(f,\delta )$ , $f$ holomorfo en un conjunto abierto no vacío $\delta$ , de tal manera que

Si $(f,\delta )\in (I)$ y $(a,\delta ')$ es arbitrario, entonces $(af,\delta \cap \delta ')\in (I)$ .
Para cada $(f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)$ , entonces $(f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).$

El origen de los dominios indeterminados proviene del hecho de que los dominios cambian dependiendo del par $(f,\delta )$ Cartan ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} tradujo esta noción a la noción de haz coherente ( especialmente, haz analítico coherente) en cohomología de haces. ^[⁶⁵^]^[⁶⁶^] Este nombre proviene de H. Cartan. ^[⁶⁷^] Además, Serre (1955) introdujo la noción de haz coherente en geometría algebraica, es decir, la noción de haz algebraico coherente. ^[⁶⁸^] La noción de coherencia ( cohomología de haces coherentes ) ayudó a resolver problemas en varias variables complejas. ^[³⁶^]

haz coherente

Definición

La definición del haz coherente es la siguiente. ^{[ 68 ]}^{[ 69 ]}^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}^{[ 44 ]}^{: 83–89} Un haz cuasi-coherente en un espacio anillado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ es un haz ${\mathcal {F}}$ de ${\mathcal {O}}_{X}$ - módulos que tienen una presentación local, es decir, cada punto en $X$ tiene un vecindario abierto $U$ en la que hay una secuencia exacta

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) $I$ y $J$ .

Un haz coherente en un espacio anillado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ es un haz ${\mathcal {F}}$ que satisfacen las dos propiedades siguientes:

${\mathcal {F}}$ es de tipo finito sobre ${\mathcal {O}}_{X}$ , es decir, cada punto en $X$ tiene un vecindario abierto $U$ en $X$ de tal manera que exista un morfismo sobreyectivo ${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ para algún número natural $n$ ;
para cada conjunto abierto $U\subseteq X$ , entero $n>0$ y morfismo arbitrario ${\displaystyle \varphi$ de ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulos, el núcleo de $\varphi$ es de tipo finito.

Los morfismos entre haces (cuasi)coherentes son los mismos que los morfismos de haces de ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulos.

Además, Jean-Pierre Serre (1955) ^{[ 68 ]} demuestra que

Si en una secuencia exacta

0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0

de gavillas de

{\mathcal {O}}

-módulos dos de las tres gavillas

{\mathcal {F}}_{j}

Si son coherentes, entonces la tercera también es coherente.

(Oka-Cartan) teorema coherente

El teorema de coherencia (Oka–Cartan) ^{[ 31 ]} dice que cada haz que cumple las siguientes condiciones es coherente: ^{[ 72 ]}

el haz ${\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}$ de gérmenes de funciones holomorfas en $\mathbb {C} _{n}$ o el haz de estructura ${\mathcal {O}}_{X}$ de subvariedad compleja o de todo espacio analítico complejo $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ^{[ 73 ]}
el haz ideal ${\mathcal {I}}\langle A\rangle$ de un subconjunto analítico A de un subconjunto abierto de $\mathbb {C} _{n}$ . (Cartán 1950 ^{[ 33 ]} ) ^{[ 74 ]}^{[ 75 ]}
la normalización del haz de estructura de un espacio analítico complejo ^{[ 76 ]}

Del teorema de Serre (1955) anterior, ${\mathcal {O}}^{p}$ es un haz coherente, además, (i) se utiliza para demostrar los teoremas A y B de Cartan .

Problema con el primo

En el caso de funciones complejas de una variable, el teorema de Mittag-Leffler fue capaz de crear una función meromorfa global a partir de partes dadas y principales (problema de Cousin I), y el teorema de factorización de Weierstrass fue capaz de crear una función meromorfa global a partir de ceros o lugar de ceros dados (problema de Cousin II). Sin embargo, estos teoremas no se cumplen en varias variables complejas porque las singularidades de la función analítica en varias variables complejas no son puntos aislados; estos problemas se llaman problemas de Cousin y se formulan en términos de cohomología de haces. Fueron introducidos por primera vez en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. ^{[ 77 ]} Fue Oka quien mostró las condiciones para resolver el primer problema de Cousin para el dominio de holomorfía ^{[ nota 15 ]} en el espacio de coordenadas complejas, ^{[ 80 ]}^{[ 81 ]}^{[ 78 ]}^{[ nota 16 ]} resolviendo también el segundo problema de Cousin con supuestos topológicos adicionales. El problema del primo es un problema relacionado con las propiedades analíticas de las variedades complejas, pero las únicas obstrucciones para resolver problemas de una propiedad analítica compleja son puramente topológicas; ^{[ 78 ]}^{[ 36 ]}^{[ 28 ]} Serre lo llamó el principio de Oka . ^{[ 82 ]} Ahora se plantean y resuelven para una variedad compleja arbitraria M , en términos de condiciones sobre M. M , que satisface estas condiciones, es una forma de definir una variedad de Stein. El estudio del problema del primo nos hizo darnos cuenta de que en el estudio de varias variables complejas, es posible estudiar propiedades globales a partir del parcheo de datos locales, ^{[ 33 ]} es decir, ha desarrollado la teoría de la cohomología de haces. (ej. Seminario de Cartan. ^{[ 39 ]} ) ^{[ 36 ]}

Problema del primo hermano

Sin el lenguaje de haces, el problema se puede formular de la siguiente manera. En una variedad compleja M , se dan varias funciones meromorfas. $f_{i}$ junto con los dominios $U_{i}$ donde se definen y donde cada diferencia $f_{i}-f_{j}$ es holomorfa (dondequiera que se defina la diferencia). El primer problema de Cousin pide entonces una función meromorfa. $f$ en M tal que $f-f_{i}$ es holomorfo en $U_{i}$ ; en otras palabras, que $f$ comparte el comportamiento singular de la función local dada.

Ahora bien, sea K el haz de funciones meromorfas y O el haz de funciones holomorfas sobre M. El problema del primo primero siempre se puede resolver si la siguiente aplicación es sobreyectiva:

H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).

Por la larga secuencia de cohomología exacta ,

H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )

es exacto, por lo que el primer problema de Cousin siempre es resoluble siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) sea nulo. En particular, según el teorema B de Cartan , el problema de Cousin siempre es resoluble si M es una variedad de Stein.

Problema del primo segundo

El segundo problema del primo comienza con una configuración similar a la del primero, especificando en cambio que cada razón $f_{i}/f_{j}$ es una función holomorfa no nula (donde se define dicha diferencia). Pide una función meromorfa $f$ en M tal que $f/f_{i}$ es holomorfa y no evanescente.

Dejar $\mathbf {O} ^{*}$ sea el haz de funciones holomorfas que no se desvanecen en ninguna parte, y $\mathbf {K} ^{*}$ el haz de funciones meromorfas que no son idénticamente cero. Estos son entonces haces de grupos abelianos y el haz cociente. $\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}$ está bien definido. Si el siguiente mapa $\phi$ Si es sobreyectiva, entonces el problema del primo segundo se puede resolver:

H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).

La secuencia de cohomología de haces exactos largos asociada al cociente es

H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})

Por lo tanto, el problema del segundo primo es resoluble en todos los casos siempre que $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.$

El grupo de cohomología $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})$ para la estructura multiplicativa en $\mathbf {O} ^{*}$ se puede comparar con el grupo de cohomología $H^{1}(M,\mathbf {O} )$ con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, hay una secuencia exacta de haces

0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0

donde el haz más a la izquierda es el haz localmente constante con fibra $2\pi i\mathbb {Z}$ . La obstrucción para definir un logaritmo al nivel de H ¹ está en $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , de la secuencia de cohomología exacta larga

H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha central es un isomorfismo porque $H^{q}(M,\mathbf {O} )=0$ para $q>0$ de modo que una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el segundo problema del primo sea siempre resoluble es que $H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.$ (Esta condición se denomina principio de Oka.)

Variedades y variedades analíticas con varias variables complejas.

Colector de Stein

Dado que una superficie de Riemann no compacta (abierta) ^{[ 83 ]} siempre tiene una función holomorfa unívoca no constante ^{[ 84 ]} y satisface el segundo axioma de numerabilidad , la superficie de Riemann abierta es, de hecho, una variedad compleja unidimensional que posee una aplicación holomorfa en el plano complejo. $\mathbb {C}$ . De hecho, toda superficie de Riemann no compacta tiene una inmersión holomorfa en el plano complejo. ^{[ 85 ]} El teorema de incrustación de Whitney nos dice que toda variedad suave n -dimensional puede incrustarse como una subvariedad suave de $\mathbb {R} ^{2n}$ , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en $\mathbb {C} ^{n}$ Por ejemplo, para una variedad compleja conexa compacta arbitraria X , toda función holomorfa en ella es constante por el teorema de Liouville, por lo que no puede tener ninguna incrustación en el espacio complejo n-dimensional. Es decir, para varias variables complejas, las variedades complejas arbitrarias no siempre tienen funciones holomorfas que no sean constantes. Entonces, consideremos las condiciones bajo las cuales una variedad compleja tiene una función holomorfa que no es constante. Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de X en $\mathbb {C} ^{n}$ , entonces las funciones de coordenadas de $\mathbb {C} ^{n}$ se restringiría a funciones holomorfas no constantes en X , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que X sea solo un punto. Variedades complejas que pueden ser incrustadas holomorfas en $\mathbb {C} ^{n}$ Se denominan variedades de Stein. Además, las variedades de Stein satisfacen el segundo axioma de numerabilidad. ^{[ 86 ]}

Una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas. Fueron introducidas y nombradas en honor a Karl Stein (1951). ^{[ 87 ]} Un espacio de Stein es similar a una variedad de Stein, pero se le permiten singularidades. Los espacios de Stein son los análogos de las variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. Si el dominio univalente en $\mathbb {C} ^{n}$ es conexión a una variedad, puede considerarse como una variedad compleja y satisface la condición de separación descrita más adelante, la condición para convertirse en una variedad de Stein es satisfacer la convexidad holomorfa. Por lo tanto, la variedad de Stein son las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica.

Definición

Supongamos que X es una variedad compleja paracompacta de dimensión compleja. $n$ y dejar ${\mathcal {O}}(X)$ Denotamos por el anillo de funciones holomorfas en X. Llamamos a X una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ 88 ]}^{[ 89 ]}

X es holomorfamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto $K\subset X$ , la llamada envoltura convexa holomorfa ,

{\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},

es también un subconjunto compacto de X.

X es holomorfamente separable . ^{[ nota 17 ]}

Toda superficie de Riemann no compacta (abierta) es una variedad de Stein.

Sea X una superficie de Riemann conexa, no compacta (abierta) . Un teorema profundo de Behnke y Stein (1948) ^{[ 84 ]} afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo fibrado vectorial holomorfo en X es trivial. En particular, todo fibrado lineal es trivial, por lo que $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0$ La secuencia de haces exponenciales conduce a la siguiente secuencia exacta:

H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})

Ahora bien, el teorema B de Cartan demuestra que $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ , por lo tanto $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$ .

Esto está relacionado con la solución del problema multiplicativo de los primos.

Problemas con Levi

Cartan extendió el problema de Levi a las variedades de Stein. ^{[ 90 ]}

Si el subconjunto abierto compacto relativo $D\subset X$ Si X es una variedad de Stein localmente pseudoconvexa, entonces D es una variedad de Stein, y recíprocamente, si D es una variedad de Stein localmente pseudoconvexa, entonces X es una variedad de Stein. Es decir, X es una variedad de Stein si y solo si D es localmente una variedad de Stein. ^{[ 91 ]}

Esto fue demostrado por Bremermann ^{[ 92 ]} al incrustarlo en una dimensión suficientemente alta. $\mathbb {C} ^{n}$ y reduciéndolo al resultado de Oka. ^{[ 26 ]}

^Además , Grauert demostró para variedades complejas arbitrarias M. [ ^{nota 18}^]^[⁹⁵^]^[²⁸^]^[⁹³^]

Si el subconjunto compacto relativo $D\subset M$ Si una variedad compleja arbitraria M es fuertemente pseudoconvexa en M , entonces M es holomorfamente convexa (es decir, una variedad de Stein). Además, D es en sí misma una variedad de Stein.

Y Narasimhan ^{[ 96 ]}^{[ 97 ]} extendió el problema de Levi al espacio analítico complejo , una generalización en el caso singular de variedades complejas.

Un espacio analítico complejo que admite una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica continua (es decir, fuertemente pseudoconvexa) es un espacio de Stein. ^{[ 3 ]}

Un espacio analítico complejo pseudoconvexo es un espacio de Stein. ^{[ 3 ]}

El problema de Levi sigue sin resolverse en los siguientes casos;

Supongamos que X es un espacio de Stein singular, ^{[ nota 19 ]} $D\subset \subset X$ . Supongamos que para todo $p\in \partial D$ Hay un vecindario abierto $U(p)$ de modo que $U\cap D$ es espacio de Stein. ¿Es D mismo Stein? ^{[ 3 ]}^{[ 99 ]}^{[ 98 ]}

más generalizado

Supongamos que N es un espacio de Stein y f es inyectiva, y también $f:M\to N$ un dominio no ramificado de Riemann, tal que la aplicación f es una aplicación localmente pseudoconvexa (es decir, un morfismo de Stein). Entonces M es en sí mismo Stein ? ^{[ 98 ]}^{[ 100 ]}^{: 109}

y también,

Supongamos que X es un espacio de Stein y $D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}$ una unión creciente de conjuntos abiertos de Stein. Entonces D es Stein .

Esto significa que el teorema de Behnke-Stein, que es válido para las variedades de Stein, no ha encontrado condiciones que se puedan establecer en el espacio de Stein. ^{[ 98 ]}

K-completo

Grauert introdujo el concepto de K-completo en la demostración del problema de Levi.

Sea X una variedad compleja, X es K-completa si, para cada punto $x_{0}\in X$ , existen un número finito de mapas holomorfos $f_{1},\dots ,f_{k}$ de X en $\mathbb {C} ^{p}$ , $p=p(x_{0})$ , de tal manera que $x_{0}$ es un punto aislado del conjunto $A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}$ . ^{[ 95 ]} Este concepto también se aplica al espacio analítico complejo. ^{[ 101 ]}

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein

El espacio complejo estándar ^{[ nota 20 ]} $\mathbb {C} ^{n}$ es una variedad de Stein.
Cada dominio de holomorfía en $\mathbb {C} ^{n}$ es una variedad de Stein. ^{[ 11 ]}
Toda subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein es también una variedad de Stein.
Cada variedad de Stein de dimensión compleja n puede incrustarse en $\mathbb {C} ^{2n+1}$ mediante una aplicación propia biholomorfa . ^[¹⁰²^]^[¹⁰³^]^[¹⁰⁴^]

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada del espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiente (porque la incrustación es biholomorfa).

Toda variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW n -dimensional. ^{[ 105 ]}
En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y solo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge ^{[ 106 ]} para superficies de Riemann, ^{[ nota 21 ]} debida a Behnke y Stein. ^{[ 84 ]}
Cada variedad de Stein X es holomórficamente propagable, es decir, para cada punto $x\in X$ , hay n funciones holomorfas definidas en todo X que forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a algún entorno abierto de x .
El problema del primo primero siempre se puede resolver en una variedad de Stein.
Ser una variedad de Stein es equivalente a ser una variedad fuertemente pseudoconvexa (compleja) . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), ^{[ 95 ]} es decir, una función real suave. $\psi$ en X (que puede asumirse que es una función de Morse ) con $i\partial {\bar {\partial }}\psi >0$ , ^{[ 95 ]} de tal manera que los subconjuntos $\{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}$ son compactos en X para cada número real c . Esta es una solución al llamado problema de Levi , ^{[ 107 ]} llamado así por EE Levi (1911). La función $\psi$ invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con frontera llamada dominio de Stein . ^{[ 108 ]} Un dominio de Stein es la preimagen $\{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}$ Algunos autores denominan a dichas variedades, por lo tanto, variedades estrictamente pseudoconvexas.
En relación con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función de Morse de valor real f en X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el campo de tangencias complejas a la preimagen $X_{c}=f^{-1}(c)$ es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c que coincide con la orientación usual como el límite de $f^{-1}(-\infty ,c).$ Eso es, $f^{-1}(-\infty ,c)$ es un relleno de Stein de X _c .

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de dichas variedades, en particular aquellas que capturan la propiedad de tener "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de haces .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines . ^{[ 109 ]}

Las variedades de Stein son, en cierto sentido, duales a las variedades elípticas del análisis complejo, las cuales admiten en sí mismas "muchas" funciones holomorfas de los números complejos. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y solo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomorfa".

Variedades proyectivas complejas (variedad compleja compacta)

Se estudiaron funciones meromorfas en funciones complejas de una variable en una superficie de Riemann compacta (cerrada), porque dado que el teorema de Riemann-Roch ( desigualdad de Riemann ) se cumple para superficies de Riemann compactas (Por lo tanto, la teoría de superficies de Riemann compactas puede considerarse como la teoría de curvas algebraicas (suaves (no singulares) proyectivas) sobre $\mathbb {C}$ ^{[ 110 ]}^{[ 111 ]} ). De hecho, la superficie de Riemann compacta tenía una función meromorfa unívoca no constante^{[ 83 ]} , y también una superficie de Riemann compacta tenía suficientes funciones meromorfas. Una variedad compleja unidimensional compacta era una esfera de Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}$ Sin embargo, la noción abstracta de una superficie de Riemann compacta es siempre algebraizable (el teorema de existencia de Riemann , el teorema de inmersión de Kodaira ), ^{[ nota 22 ]} pero no es fácil verificar qué espacios analíticos complejos compactos son algebraizables. ^{[ 112 ]} De hecho, Hopf encontró una clase de variedades complejas compactas sin funciones meromorfas no constantes. ^{[ 53 ]} Sin embargo, hay un resultado de Siegel que da las condiciones necesarias para que las variedades complejas compactas sean algebraicas. ^{[ 113 ]} La generalización del teorema de Riemann-Roch a varias variables complejas fue extendida por primera vez a superficies analíticas compactas por Kodaira, ^{[ 114 ]} Kodaira también extendió el teorema a variedades de Kähler tridimensionales, ^{[ 115 ]} y n-dimensionales. ^{[ 116 ]} Serre formuló el teorema de Riemann-Roch como un problema de dimensión de cohomología de haces coherentes , ^{[ 5 ]} y también Serre demostró la dualidad de Serre . ^{[ 117 ]} Cartan y Serre demostraron la siguiente propiedad: ^{[ 118 ]} el grupo de cohomología es de dimensión finita para un haz coherente en una variedad compleja compacta M. ^{[ 119 ]} El teorema de Riemann-Roch en una superficie de Riemann para un fibrado vectorial fue demostrado por Weil en 1938. ^{[ 120 ]} Hirzebruch generalizó el teorema a variedades complejas compactas en 1994 ^{[ 121 ]} y Grothendieck lo generalizó a una versión relativa (enunciados relativos sobre morfismos ). ^{[ 122 ]}^{[ 123 ]} A continuación, la generalización del resultado de que "las superficies de Riemann compactas son proyectivas" a la alta dimensión. En particular, consideremos las condiciones que se dan al incrustar una subvariedad compleja compacta X en el espacio proyectivo complejo. $\mathbb {CP} ^{n}$ . ^{[ nota 23 ]} El teorema de anulación (introducido por primera vez por Kodaira en 1953) da la condición, cuando el grupo de cohomología de haces se anula, y la condición es satisfacer un tipo de positividad . Como aplicación de este teorema, el teorema de incrustación de Kodaira ^{[ 124 ]} dice que una variedad de Kähler compacta M , con una métrica de Hodge, tiene una incrustación analítica compleja de M en un espacio proyectivo complejo de dimensión suficientemente alta N . Además, el teorema de Chow ^{[ 125 ]} muestra que el subespacio analítico complejo (subvariedad) de un espacio proyectivo complejo cerrado es un algebraico es decir, por lo que es el cero común de algunos polinomios homogéneos, tal relación es un ejemplo de lo que se llama el principio GAGA de Serre . ^{[ 7 ]} El subespacio analítico complejo (variedad) del espacio proyectivo complejo posee propiedades tanto algebraicas como analíticas. Combinado con el resultado de Kodaira, una variedad de Kähler compacta M se incrusta como una variedad algebraica. Este resultado proporciona un ejemplo de una variedad compleja con suficientes funciones meromorfas. En términos generales, el principio GAGA establece que la geometría de los espacios analíticos complejos proyectivos (o variedades) es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge . Asimismo, la teoría de deformación de variedades complejas compactas se ha desarrollado como la teoría de Kodaira-Spencer. Sin embargo, a pesar de ser una variedad compleja compacta, existen contraejemplos que no pueden incrustarse en el espacio proyectivo y no son algebraicos. ^{[ 126 ]} Analogía de los problemas de Levi en el espacio proyectivo complejo $\mathbb {CP} ^{n}$ por Takeuchi. ^{[ 3 ]}^{[ 127 ]}^{[ 128 ]}^{[ 129 ]}

Véase también

Anotación

↑ Un nombre adoptado, de forma confusa, para la geometría de los ceros de las funciones analíticas ; esta no es la geometría analítica que se aprende en la escuela. (En otras palabras, en el sentido de GAGA en Serre.)^{[ 7 ]}
↑ El campo de los números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.
↑ Según el teorema de la curva de Jordan, el dominio D es un conjunto cerrado acotado, es decir, cada dominio $D_{\nu }$ es compacto.
↑ Pero existe un punto donde converge fuera del círculo de convergencia. Por ejemplo, si una de las variables es 0, entonces algunos términos, representados por el producto de esta variable, serán 0 independientemente de los valores que tomen las demás variables. Por lo tanto, incluso si se toma una variable que diverge cuando otra variable es distinta de 0, puede converger.
↑ Cuando se describe utilizando el dominio de holomorfía , que es una generalización del dominio de convergencia, un dominio de Reinhardt es un dominio de holomorfía si y solo si es logarítmicamente convexo.
↑ Oka dice que^{[ 29 ]} el contenido de estos dos artículos es diferente.^{[ 30 ]}
↑ La idea del haz en sí es de Jean Leray .
↑ De hecho, esto fue demostrado por Kiyoshi Oka^{[ 25 ]} con respecto a $\mathbb {C} ^{n}$ dominio. Véase el lema de Oka .
↑ Esta es una condición de envolvente hullomorfológicamente convexa expresada por una función plurisubarmónica. Por esta razón, también se la denomina p-pseudoconvexa o simplemente p-convexa.
↑ Definición de débilmente 1-completo.^{[ 56 ]}
↑ En geometría algebraica, existe un problema sobre si es posible eliminar el punto singular del espacio analítico complejo realizando una operación llamada modificación^{[ 57 ]}^{[ 58 ]} en el espacio analítico complejo (cuando n = 2, el resultado de Hirzebruch,^{[ 59 ]} cuando n = 3 el resultado de Zariski^{[ 60 ]} para variedades algebraicas), pero, Grauert y Remmert han informado un ejemplo de un dominio que no es ni pseudoconvexo ni holomorfo convexo, aunque sea un dominio de holomorfía: ^{[ 61 ]}
↑ Esta relación se denomina teorema de Cartan-Thullen.^{[ 62 ]}
↑ Ver el lema de Oka
↑ La demostración de Oka utiliza la pseudoconvexidad de Oka en lugar de la pseudoconvexidad de Cartan.
↑ Hay algunos contraejemplos en el dominio de la holomorfía con respecto al problema del segundo primo.^{[ 78 ]}^{[ 79 ]}
↑ Esto se conoce como el problema clásico del primo.^{[ 36 ]}
↑ A partir de esta condición, podemos ver que la variedad de Stein no es compacta.
↑ El problema de Levi no es cierto para dominios en variedades arbitrarias.^{[ 28 ]}^{[ 93 ]}^{[ 94 ]}
↑ En el caso del espacio de Stein con singularidades aisladas, ya ha sido resuelto positivamente por Narasimhan.^{[ 3 ]}^{[ 98 ]}
↑ $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}$ ( $\mathbb {P} _{m}$ es una variedad compleja proyectiva) no se convierte en una variedad de Stein, incluso si satisface la convexidad holomorfa.
↑ El método de demostración utiliza una aproximación mediante el dominio poliédrico , como en el teorema de Oka-Weil .
↑ Tenga en cuenta que el teorema de extensión de Riemann y sus referencias explicadas en el artículo enlazado incluyen una versión generalizada del teorema de extensión de Riemann de Grothendieck que fue demostrada utilizando el principio GAGA, además, toda variedad compleja compacta unidimensional es una variedad de Hodge.
↑ Este es el método estándar para la compactificación de $\mathbb {C} ^{n}$ , pero no el único método como la esfera de Riemann que fue compactificación de $\mathbb {C}$ .

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Este artículo incorpora material de los siguientes artículos de PlanetMath , que están bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License : dominio de Reinhardt , holomorfía convexo , dominio de holomorfía , polidisco , biholomórficamente equivalente , pseudoconvexo de Levi , pseudoconvexo , función de agotamiento .

[8] Un nombre adoptado, de forma confusa, para la geometría de los ceros de las funciones analíticas ; esta no es la geometría analítica que se aprende en la escuela. (En otras palabras, en el sentido de GAGA en Serre.)^{[ 7 ]}

[10] El campo de los números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.

[11] Según el teorema de la curva de Jordan, el dominio D es un conjunto cerrado acotado, es decir, cada dominio $D_{\nu }$ es compacto.

[13] Pero existe un punto donde converge fuera del círculo de convergencia. Por ejemplo, si una de las variables es 0, entonces algunos términos, representados por el producto de esta variable, serán 0 independientemente de los valores que tomen las demás variables. Por lo tanto, incluso si se toma una variable que diverge cuando otra variable es distinta de 0, puede converger.

[20] Cuando se describe utilizando el dominio de holomorfía , que es una generalización del dominio de convergencia, un dominio de Reinhardt es un dominio de holomorfía si y solo si es logarítmicamente convexo.

[36] Oka dice que^{[ 29 ]} el contenido de estos dos artículos es diferente.^{[ 30 ]}

[39] La idea del haz en sí es de Jean Leray .

[50] De hecho, esto fue demostrado por Kiyoshi Oka^{[ 25 ]} con respecto a $\mathbb {C} ^{n}$ dominio. Véase el lema de Oka .

[53] Esta es una condición de envolvente hullomorfológicamente convexa expresada por una función plurisubarmónica. Por esta razón, también se la denomina p-pseudoconvexa o simplemente p-convexa.

[66] Definición de débilmente 1-completo.^{[ 56 ]}

[72] En geometría algebraica, existe un problema sobre si es posible eliminar el punto singular del espacio analítico complejo realizando una operación llamada modificación^{[ 57 ]}^{[ 58 ]} en el espacio analítico complejo (cuando n = 2, el resultado de Hirzebruch,^{[ 59 ]} cuando n = 3 el resultado de Zariski^{[ 60 ]} para variedades algebraicas), pero, Grauert y Remmert han informado un ejemplo de un dominio que no es ni pseudoconvexo ni holomorfo convexo, aunque sea un dominio de holomorfía: ^{[ 61 ]}

[74] Esta relación se denomina teorema de Cartan-Thullen.^{[ 62 ]}

[75] Ver el lema de Oka

[76] La demostración de Oka utiliza la pseudoconvexidad de Oka en lugar de la pseudoconvexidad de Cartan.

[94] Hay algunos contraejemplos en el dominio de la holomorfía con respecto al problema del segundo primo.^{[ 78 ]}^{[ 79 ]}

[97] Esto se conoce como el problema clásico del primo.^{[ 36 ]}

[106] A partir de esta condición, podemos ver que la variedad de Stein no es compacta.

[112] El problema de Levi no es cierto para dominios en variedades arbitrarias.^{[ 28 ]}^{[ 93 ]}^{[ 94 ]}

[117] En el caso del espacio de Stein con singularidades aisladas, ya ha sido resuelto positivamente por Narasimhan.^{[ 3 ]}^{[ 98 ]}

[121] $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}$ ( $\mathbb {P} _{m}$ es una variedad compleja proyectiva) no se convierte en una variedad de Stein, incluso si satisface la convexidad holomorfa.

[127] El método de demostración utiliza una aproximación mediante el dominio poliédrico , como en el teorema de Oka-Weil .

[133] Tenga en cuenta que el teorema de extensión de Riemann y sus referencias explicadas en el artículo enlazado incluyen una versión generalizada del teorema de extensión de Riemann de Grothendieck que fue demostrada utilizando el principio GAGA, además, toda variedad compleja compacta unidimensional es una variedad de Hodge.

[146] Este es el método estándar para la compactificación de $\mathbb {C} ^{n}$ , pero no el único método como la esfera de Riemann que fue compactificación de $\mathbb {C}$ .

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nota 18

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Perspectiva histórica

El espacio de coordenadas complejas

Funciones holomorfas

Definición

ecuaciones de Cauchy-Riemann

Fórmula integral de Cauchy

Fórmula de evaluación de Cauchy

Desarrollo en serie de potencias de funciones holomorfas en polidisco

Radio de convergencia de series de potencias

Expansión de la serie Laurent

Fórmula de Bochner-Martinelli

Teorema de identidad

Biholomorfismo

continuación analítica

dominio de Reinhardt

Convexo logarítmicamente

Algunos resultados

El teorema de extensión de Hartogs y el fenómeno de Hartogs.

Los resultados clásicos de Thullen

Dominio natural de la función holomorfa (dominio de la holomorfia)

Dominio de la holomorfia

Propiedades de los dominios de holomorfía

envoltura convexa holomórfica

Pseudoconvexidad

Definición de función plurisubarmónica

Pseudoconvexa (débilmente) (p-pseudoconvexa)

Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo

Levi form

pseudoconvexidad de Levi

Pseudoconvexo total de Levi

pseudoconvexo de Oka

Disco de la familia de Oka

Definición

Localmente pseudoconvexo (también conocido como pseudoconvexo local de Stein, pseudoconvexo de Cartan, propiedad local de Levi)

Condiciones equivalentes al dominio de la holomorfia

gavillas

Idéal de domaines indéterminés (El predecesor de la noción de gavilla coherente)

haz coherente

Definición

(Oka-Cartan) teorema coherente

Problema con el primo

Problema del primo hermano

Problema del primo segundo

Variedades y variedades analíticas con varias variables complejas.

Colector de Stein

Definición

Toda superficie de Riemann no compacta (abierta) es una variedad de Stein.

Problemas con Levi

K-completo

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein

Variedades proyectivas complejas (variedad compleja compacta)

Véase también

Anotación

Referencias

Citas en línea

Libros de texto

Enciclopedia de Matemáticas

Lecturas adicionales

Enlaces externos

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