Forma positiva

En geometría compleja , el término forma positiva se refiere a varias clases de formas diferenciales reales de tipo Hodge (p, p) .

Las formas reales ( p , p ) en una variedad compleja M son formas que son de tipo ( p , p ) y reales, es decir, se encuentran en la intersección. Una forma real (1,1) se denomina semipositiva ^[1] (a veces simplemente positiva ^[2] ), respectivamente, positiva ^[3] (o definida positiva ^[4] ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).}$${\estilo de visualización \omega}$

1. ${\estilo de visualización -\omega}$es la parte imaginaria de una forma hermítica positiva semidefinida (respectivamente, positiva definida) .
2. Para algunas bases en el espacio de las formas (1,0), se puede escribir en diagonal, como con reales y no negativos (respectivamente, positivos).${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$$Estilo de visualización: lambda ^{1,0}M}$${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$${\displaystyle \alpha _{i}}$
3. Para cualquier vector (1,0)-tangente , (respectivamente, ).${\displaystyle v\en T^{1,0}M}$${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$${\estilo de visualización >0}$
4. Para cualquier vector tangente real , (respectivamente, ), donde es el operador de estructura compleja .${\displaystyle v\in TM}$${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$${\estilo de visualización >0}$${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$

En geometría algebraica, las formas definidas positivas (1,1) surgen como formas de curvatura de fibrados lineales amplios (también conocidos como fibrados lineales positivos ). Sea L un fibrado lineal hermítico holomorfo en una variedad compleja,

${\displaystyle {\bar {\parcial}}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

Su operador de estructura compleja. Entonces L está equipado con una conexión única que preserva la estructura hermítica y satisface

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\parcial }}}$.

Esta conexión se llama conexión de Chern .

La curvatura de la conexión de Chern es siempre una forma (1,1) puramente imaginaria. Un fibrado lineal L se llama positivo si es una forma (1,1) positiva. (Obsérvese que la clase de cohomología de De Rham de es multiplicada por la primera clase de Chern de L .) El teorema de incrustación de Kodaira afirma que un fibrado lineal positivo es amplio y, a la inversa, cualquier fibrado lineal amplio admite una métrica hermítica con positiva. ${\estilo de visualización \Theta}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$${\estilo de visualización 2\pi}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$

Las formas (1,1) semipositivas de M forman un cono convexo . Cuando M es una superficie compleja compacta , este cono es autodual con respecto al apareamiento de Poincaré:${\displaystyle dim_{\mathbb {C}}M=2}$${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

Para las (p, p) -formas, donde , hay dos nociones diferentes de positividad. ^[5] Una forma se llama fuertemente positiva si es una combinación lineal de productos de formas semipositivas, con coeficientes reales positivos. Una (p, p) -forma real en una variedad compleja n -dimensional M se llama débilmente positiva si para todas las (np, np) -formas fuertemente positivas ζ con soporte compacto, tenemos . ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C}}M-2}$${\estilo de visualización \eta}$${\displaystyle \int _{M}\eta \cuña \zeta \geq 0}$

Las formas débilmente positivas y fuertemente positivas forman conos convexos. En variedades compactas, estos conos son duales con respecto al par de Poincaré.

• P. Griffiths y J. Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Griffiths, Phillip (3 de enero de 2020). "Teoremas de positividad y desaparición". hdl :20.500.12111/7881.
• J.-P. Demailly , Teoremas de desaparición de L2 para fibrados de líneas positivas y teoría de adjunción, Apuntes de un curso CIME sobre "Métodos trascendentales de geometría algebraica" (Cetraro, Italia, julio de 1994) .
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, Sr.  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, Sr.  1967689