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Articulo de referencia

Clasificación Enriques-Kodaira

En matemáticas , la clasificación de Enriques-Kodaira agrupa las superficies complejas compactas en diez clases, cada una parametrizada por un espacio de módulos . Para la mayor...

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En matemáticas , la clasificación de Enriques-Kodaira agrupa las superficies complejas compactas en diez clases, cada una parametrizada por un espacio de módulos . Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos se comprenden bien, pero para la clase de superficies de tipo general, los espacios de módulos parecen demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.

Max Noether inició el estudio sistemático de las superficies algebraicas, y Guido Castelnuovo demostró partes importantes de la clasificación. Federigo Enriques [ 1 ] [ 2 ] describió la clasificación de las superficies proyectivas complejas. Kunihiko Kodaira [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] posteriormente extendió la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas.

Declaración de la clasificación

Números de Chern de superficies complejas mínimas

La clasificación de Enriques-Kodaira de superficies compactas complejas establece que toda superficie compacta compleja mínima no singular pertenece exactamente a uno de los 10 tipos enumerados en esta página. La clasificación y su relación con la dimensión de Kodaira se resumen en la siguiente tabla  :

Para las 9 clases de superficies distintas del tipo general, existe una descripción bastante completa de cómo son todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura de la capa esférica global , aún sin probar en 2024).En el caso de superficies de tipo general, no se sabe mucho sobre su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.

Invariantes de superficies

Números de Hodge y dimensión de Kodaira

Los invariantes más importantes de las superficies complejas compactas utilizadas en la clasificación pueden expresarse en términos de las dimensiones de diversos grupos de cohomología de haces coherentes . Los básicos son los plurigéneros y los números de Hodge, definidos de la siguiente manera:

  • K es el fibrado lineal canónico cuyas secciones son las 2-formas holomorfas.
  • PAGnorte=oscuro⁡H0(Knorte),norte⩾1{\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}se denominan plurigéneros . Son invariantes birracionales , es decir, invariantes bajo explosión. Utilizando la teoría de Seiberg-Witten , Robert Friedman y John Morgan demostraron que para variedades complejas solo dependen de la 4-variedad lisa orientada subyacente. Para superficies no Kähler los plurigéneros están determinados por el grupo fundamental, pero para superficies Kähler hay ejemplos de superficies que son homeomorfas pero tienen diferentes plurigéneros y dimensiones de Kodaira. Los plurigéneros individuales no se utilizan con frecuencia; lo más importante de ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión de Kodaira .
  • κ{\displaystyle \kappa }es la dimensión de Kodaira : es−∞{\displaystyle -\infty }(a veces escrito −1) si todos los plurigéneros son 0, y de lo contrario es el número más pequeño (0, 1 o 2 para superficies) tal quePAGnorte/norteκ{\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}está acotado. Enriques no utilizó esta definición: en su lugar, utilizó los valores dePAG12{\displaystyle P_{12}}yK⋅K=do12{\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}Estos determinan la dimensión de Kodaira dada la siguiente correspondencia:
κ=−∞⟷PAG12=0κ=0⟷PAG12=1κ=1⟷PAG12>1 y K⋅K=0κ=2⟷PAG12>1 y K⋅K>0{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}
  • hi,j=oscuro⁡Hj(incógnita,Ωi),{\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}dóndeΩi{\displaystyle \Omega ^{i}}es el haz de i- formas holomorfas , son los números de Hodge , a menudo dispuestos en el diamante de Hodge:
h0,0h1,0h0,1h2,0h1,1h0,2h2,1h1,2h2,2{\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}
Por Serre dualidadhi,j=h2−i,2−j{\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}yh0,0=h2,2=1.{\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}Los números de Hodge de una superficie compleja dependen únicamente del anillo de cohomología real orientado de la superficie, y son invariantes bajo transformaciones birracionales excepto porh1,1{\displaystyle h^{1,1}}que aumenta en 1 al explotar un solo punto.
  • Si la superficie es de Kähler entonceshi,j=hj,i{\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}y solo hay tres números de Hodge independientes.
  • Si la superficie es compacta entoncesh1,0{\displaystyle h^{1,0}}igualh0,1{\displaystyle h^{0,1}}oh0,1−1.{\displaystyle h^{0,1}-1.}

Hay muchos invariantes que (al menos para superficies complejas) pueden escribirse como combinaciones lineales de los números de Hodge, como sigue:

  • Números de Betti : definidos porbi=oscuro⁡Hi(S),0⩽i⩽4.{\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}
{b0=b4=1b1=b3=h1,0+h0,1=h2,1+h1,2b2=h2,0+h1,1+h0,2{\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}
En la característica p  >  0, los números de Betti se definen utilizando la cohomología l-ádica y no necesitan satisfacer estas relaciones.
mi=b0−b1+b2−b3+b4.{\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}
q=h0,1.{\displaystyle q=h^{0,1}.}
paggramo=h0,2=h2,0=PAG1.{\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}
paga=paggramo−q=h0,2−h0,1.{\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}
χ=paggramo−q+1=h0,2−h0,1+1.{\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}
Según la fórmula de Noether, también es igual al género Todd.112(do12+do2).{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}
  • La signatura del segundo grupo de cohomología para superficies complejas se denota porτ{\displaystyle \tau }:
τ=4χ−mi=∑i,j(−1)jhi,j.{\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}
  • b±{\displaystyle b^{\pm }}son las dimensiones de los subespacios definidos positivos y negativos máximos deH2,{\displaystyle H^{2},}entonces:
{b++b−=b2b+−b−=τ{\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}
  • c 2 = e ydo12=K2=12χ−mi{\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}son los números de Chern , definidos como las integrales de varios polinomios en las clases de Chern sobre la variedad.

Otros invariantes

Hay otros invariantes de superficies complejas compactas que no se usan tanto en la clasificación. Estos incluyen invariantes algebraicos como el grupo de Picard Pic( X ) de divisores módulo equivalencia lineal , su cociente el grupo de Néron-Severi NS( X ) con rango el número de Picard ρ, invariantes topológicos como el grupo fundamental π 1 y los grupos de homología y cohomología integrales, e invariantes de la 4-variedad lisa subyacente como los invariantes de Seiberg-Witten y los invariantes de Donaldson .

Modelos minimalistas y explosiones

Cualquier superficie es birracional a una superficie no singular, por lo que, para la mayoría de los propósitos, basta con clasificar las superficies no singulares.

Dado cualquier punto en una superficie, podemos formar una nueva superficie mediante la explosión de dicho punto, lo que significa, en términos generales, que lo reemplazamos por una copia de la recta proyectiva. Para los fines de este artículo, una superficie no singular X se denomina mínima si no puede obtenerse a partir de otra superficie no singular mediante la explosión de un punto. Según el teorema de contracción de Castelnuovo , esto equivale a decir que X no tiene curvas (−1) (curvas racionales suaves con número de autointersección −1). (En la terminología más moderna del programa de modelos mínimos , una superficie proyectiva suave X se denominaría mínima si su fibrado lineal canónico K X es nef . Una superficie proyectiva suave tiene un modelo mínimo en ese sentido más estricto si y solo si su dimensión de Kodaira es no negativa).

Toda superficie X es birracional a una superficie mínima no singular, y esta superficie mínima no singular es única si X tiene dimensión de Kodaira al menos 0 o no es algebraica. Superficies algebraicas de dimensión de Kodaira−∞{\displaystyle -\infty }Puede que sea birracional a más de una superficie mínima no singular, pero es fácil describir la relación entre estas superficies mínimas. Por ejemplo, una superficie P₁ × P₁ ampliada en un punto es isomorfa a una superficie P₂ ampliada dos veces. Así pues, para clasificar todas las superficies complejas compactas salvo isomorfismo birracional , basta (más o menos) con clasificar las superficies mínimas no singulares.

Superficies de dimensión de Kodaira −∞

Superficies algebraicas de dimensión de Kodaira−∞{\displaystyle -\infty }Se puede clasificar de la siguiente manera. Si q > 0, entonces la aplicación a la variedad albanesa tiene fibras que son líneas proyectivas (si la superficie es mínima), por lo que la superficie es una superficie reglada. Si q = 0, este argumento no funciona, ya que la variedad albanesa es un punto, pero en este caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional.

Para las superficies no algebraicas, Kodaira descubrió una clase adicional de superficies, denominadas de tipo VII, que aún no se comprenden del todo.

Superficies racionales

Una superficie racional es aquella birracional respecto del plano proyectivo complejo P² . Todas estas superficies son algebraicas. Las superficies racionales mínimas son P² y las superficies de Hirzebruch Σⁿ para n = 0 o n ≥ 2. (La superficie de Hirzebruch Σⁿ es el fibrado P¹ sobre P¹ asociado al haz O(0) + O( n ) . La superficie Σ⁰ es isomorfa a P¹ × P¹ , y Σ¹ es isomorfa a P² expandida en un punto, por lo que no es mínima ) .

Invariantes: Los plurigéneros son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante Hodge:

Ejemplos: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , superficies de Hirzebruch Σ n , cuádricas , superficies cúbicas , superficies de del Pezzo , superficie de Veronese . Muchos de estos ejemplos no son mínimos.

Superficies regladas de género > 0

Las superficies regladas de género g tienen un morfismo suave a una curva de género g cuyas fibras son líneas P 1 . Todas son algebraicas. (Las de género 0 son las superficies de Hirzebruch y son racionales). Cualquier superficie reglada es birracionalmente equivalente a P 1 × C para una única curva C , por lo que la clasificación de superficies regladas hasta la equivalencia birracional es esencialmente la misma que la clasificación de curvas. Una superficie reglada que no es isomorfa a P 1 × P 1 tiene una única regla ( P 1 × P 1 tiene dos).

Invariantes: Los plurigéneros son todos 0.

Diamante Hodge:

Ejemplos: El producto de cualquier curva de género > 0 con P 1 .

Superficies de clase VII

Estas superficies nunca son algebraicas ni de Kähler . Las mínimas con b₂ = 0 han sido clasificadas por Bogomolov y son superficies de Hopf o de Inoue . Ejemplos con segundo número de Betti positivo incluyen superficies de Inoue-Hirzebruch , superficies de Enoki y, más generalmente, superficies de Kato . La conjetura de la capa esférica global implica que todas las superficies mínimas de clase VII con segundo número de Betti positivo son superficies de Kato, lo que completaría, más o menos, la clasificación de las superficies de tipo VII.

Invariantes: q = 1, h 1,0 = 0. Todos los plurigéneros son 0.

Diamante Hodge:

Superficies de dimensión 0 de Kodaira

Estas superficies se clasifican comenzando con la fórmula de Noether.12χ=do2+do12.{\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}Para la dimensión 0 de Kodaira, K tiene un número de intersección cero consigo mismo , por lo quedo12=0.{\displaystyle c_{1}^{2}=0.}Usando

χ=h0,0−h0,1+h0,2do2=2−2b1+b2{\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}

llegamos a:

10+12h0,2=8h0,1+2(2h0,1−b1)+b2{\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}

Además, dado que κ = 0, tenemos:

h0,2={1K=00de lo contrario{\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

Combinando esto con la ecuación anterior se obtiene:

8h0,1+2(2h0,1−b1)+b2={22K=010de lo contrario{\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

En general, 2 h 0,1 ≥ b 1 , por lo que los tres términos de la izquierda son enteros no negativos y solo hay unas pocas soluciones para esta ecuación.

  • Para superficies algebraicas 2 h 0,1 − b 1 es un entero par entre 0 y 2 p g .
  • Para superficies complejas compactas 2 h 0,1 − b 1 = 0 o 1.
  • Para superficies de Kähler 2 h 0,1 − b 1 = 0 y h 1,0 = h 0,1 .

La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a clases de superficies, como se muestra en la siguiente tabla:

Superficies K3

Estas son las superficies compactas mínimas complejas de dimensión de Kodaira 0 con q = 0 y fibrado lineal canónico trivial. Todas son variedades de Kähler . Todas las superficies K3 son difeomorfas, y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de una 4-variedad simplemente conexa de espín suave.

Invariantes: El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo al único retículo unimodular par II 3,19 de dimensión 22 y signatura −16.

Diamante Hodge:

Ejemplos :

  • Hipersuperficies de grado 4 en P 3 ( C )
  • Superficies de Kummer . Estas se obtienen calculando el cociente de una superficie abeliana mediante el automorfismo a → − a , y luego explotando los 16 puntos singulares.

Una superficie K3 marcada es una superficie K3 junto con un isomorfismo de II 3,19 a H 2 ( X , Z ). El espacio de módulos de superficies K3 marcadas es un espacio analítico liso no Hausdorff conexo de dimensión 20. Las superficies K3 algebraicas forman una colección numerable de subvariedades de dimensión 19 de dicho espacio.

Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales

Los toros complejos bidimensionales incluyen las superficies abelianas . Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y son todos algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Los algebraicos son precisamente las variedades abelianas bidimensionales . Gran parte de su teoría es un caso particular de la teoría de toros o variedades abelianas de dimensiones superiores. Los criterios para ser producto de dos curvas elípticas (salvo isogenia ) fueron objeto de estudio popular en el siglo XIX.

Invariantes: Los plurigéneros son todos 1. La superficie es difeomorfa a S 1 × S 1 × S 1 × S 1 , por lo que el grupo fundamental es Z 4 .

Diamante Hodge:

Ejemplos: Un producto de dos curvas elípticas. El jacobiano de una curva de género 2. Cualquier cociente de C 2 por una red.

Superficies de Kodaira

Estas superficies nunca son algebraicas, aunque poseen funciones meromorfas no constantes. Generalmente se dividen en dos subtipos: superficies de Kodaira primarias con fibrado canónico trivial y superficies de Kodaira secundarias , que son cocientes de estas por grupos finitos de órdenes 2, 3, 4 o 6, y que poseen fibrados canónicos no triviales. Las superficies de Kodaira secundarias guardan con las primarias la misma relación que las superficies de Enriques con las superficies K3, o las superficies bielípticas con las superficies abelianas.

Invariantes: Si la superficie es el cociente de una superficie primaria de Kodaira por un grupo de orden k = 1, 2, 3, 4, 6, entonces los plurigéneros P n son 1 si n es divisible por k y 0 en caso contrario.

Diamante Hodge:

Ejemplos: Tomemos un fibrado de líneas no trivial sobre una curva elíptica, eliminemos la sección cero y luego codifiquemos las fibras por Z , que actúa como una multiplicación por potencias de algún número complejo z . Esto da como resultado una superficie de Kodaira primaria.

Enriques sale a la luz

Estas son las superficies complejas tales que q = 0 y el fibrado lineal canónico no es trivial, pero tiene un cuadrado trivial. Las superficies de Enriques son todas algebraicas (y por lo tanto de Kähler ). Son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 y su teoría es similar a la de las superficies K3 algebraicas.

Invariantes: Los plurigéneros P n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única red unimodular par II 1,9 de dimensión 10 y signatura −8 y un grupo de orden 2.

Diamante Hodge:

Las superficies de Enriques marcadas forman una familia conectada de 10 dimensiones, que ha sido descrita explícitamente.

En la característica 2 existen algunas familias adicionales de superficies de Enriques llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares; consulte el artículo sobre superficies de Enriques para obtener más detalles.

Superficies hiperelípticas (o bielípticas)

Sobre los números complejos, estos son cocientes de un producto de dos curvas elípticas por un grupo finito de automorfismos. El grupo finito puede ser Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z , o Z /6 Z , dando siete familias de dichas superficies.          

Diamante Hodge:

Sobre campos de características 2 o 3 existen algunas familias adicionales que se obtienen tomando cocientes mediante un esquema de grupo no étale; consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más detalles.

Superficies de Kodaira dimensión 1

Una superficie elíptica es una superficie equipada con una fibración elíptica (una aplicación holomorfa sobreyectiva a una curva B tal que todas las fibras, salvo un número finito, son curvas suaves irreducibles de género 1). La fibra genérica en dicha fibración es una curva de género 1 sobre el cuerpo de funciones de B. Recíprocamente, dada una curva de género 1 sobre el cuerpo de funciones de una curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han proporcionado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira ofreció una lista completa de las posibles fibras singulares . La teoría de las superficies elípticas es análoga a la teoría de los modelos regulares propios de curvas elípticas sobre anillos de valuación discretos (por ejemplo, el anillo de enteros p -ádicos ) y dominios de Dedekind (por ejemplo, el anillo de enteros de un cuerpo numérico).

En características finitas 2 y 3 también se pueden obtener superficies cuasi-elípticas , cuyas fibras pueden ser casi todas curvas racionales con un solo nodo, que son "curvas elípticas degeneradas".

Toda superficie de dimensión de Kodaira 1 es una superficie elíptica (o una superficie cuasielíptica en características 2 o 3), pero lo contrario no es cierto: una superficie elíptica puede tener dimensión de Kodaira−∞{\displaystyle -\infty }, 0 o 1. Todas las superficies de Enriques , todas las superficies hiperelípticas , todas las superficies de Kodaira , algunas superficies K3 , algunas superficies abelianas y algunas superficies racionales son superficies elípticas, y estos ejemplos tienen una dimensión de Kodaira menor que 1. Una superficie elíptica cuya curva base B es de género al menos 2 siempre tiene una dimensión de Kodaira de 1, pero la dimensión de Kodaira también puede ser 1 para algunas superficies elípticas con B de género 0 o 1.

Invariantes:do12=0,do2⩾0.{\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}

Ejemplo: Si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces E × B es una superficie elíptica de dimensión de Kodaira 1.

Superficies de dimensión Kodaira 2 (superficies de tipo general)

Todas estas son algebraicas, y en cierto sentido la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos gruesos para superficies de tipo general; esto significa que , para cualesquiera valores fijos de los números de Chern c₂₁ y c₂ , existe un esquema cuasiproyectivo que clasifica las superficies de tipo general con dichos números de Chern. Sin embargo , describir explícitamente estos esquemas es un problema muy difícil, y existen muy pocos pares de números de Chern para los que esto se haya logrado (¡excepto cuando el esquema está vacío!).

Invariantes: Existen varias condiciones que deben satisfacer los números de Chern de una superficie compleja mínima de tipo general:

  • do12,do2>0{\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}
  • do12⩽3do2{\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}(la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
  • 5do12−do2+36⩾0{\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}(la desigualdad de Noether)
  • do12+do2≡0mod12.{\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}

La mayoría de los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.

Ejemplos: Los ejemplos más sencillos son el producto de dos curvas de género al menos 2 y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P 3 . Se conocen muchas otras construcciones. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que pueda producir superficies "típicas" de tipo general para números de Chern grandes; de hecho, ni siquiera se sabe si existe algún concepto razonable de superficie "típica" de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluyendo la mayoría de las superficies modulares de Hilbert , planos proyectivos falsos , superficies de Barlow , etc.

Clasificación en característica positiva

La clasificación en característica positiva fue iniciada por David Mumford ( 1969 ) [ 7 ] y completada por Enrico Bombieri y David Mumford ( 1976 , 1977 ) . [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] Es similar a la de las superficies algebraicas en característica 0, pero no hay superficies de Kodaira ni superficies de tipo VII. Hay algunas familias adicionales en característica pequeña.  

La respuesta final resulta ser esencialmente la misma que en el caso complejo (aunque los métodos empleados a veces difieren bastante), una vez realizados dos ajustes importantes. El primero es que se pueden obtener superficies "no clásicas", que surgen cuando la p -torsión en el esquema de Picard degenera en un esquema de grupo no reducido. El segundo es la posibilidad de obtener superficies cuasi-elípticas en características dos y tres. Estas son superficies fibradas sobre una curva donde la fibra general es una curva de género aritmético uno con una cúspide.

Una vez realizados estos ajustes, las superficies se dividen en cuatro clases según su dimensión de Kodaira , como en el caso complejo. Hay superficies de Enriques en característica 2, y superficies hiperelípticas en características 2 y 3, y en dimensión de Kodaira 1 en características 2 y 3 también se permiten fibraciones cuasielípticas. Estas familias adicionales pueden entenderse de la siguiente manera: En característica 0, estas superficies son los cocientes de superficies por grupos finitos, pero en características finitas también es posible tomar cocientes por esquemas de grupos finitos que no son étale . Se obtienen superficies de Enriques singulares y supersingulares en característica 2, y superficies cuasi-hiperelípticas en características 2 y 3.

Oscar Zariski construyó algunas superficies en característica positiva que son uniracionales pero no racionales, derivadas de extensiones inseparables (las llamadas superficies de Zariski ). En característica positiva, Serre demostró queh0(Ω){\displaystyle h^{0}(\Omega )}puede diferir deh1(O){\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}, e Igusa demostró que incluso cuando son iguales pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad de Picard ).

Véase también

Observaciones

  1. ↑ No se cumple en las características 2 y 3, donde existen superficies cuasi-elípticas de dimensión de Kodaira 1.

Referencias

  1. ^ Enriques, Federigo (1914), "Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p 1 =1", Atti. Acc. Lincei V Ser. , 23
  2. ↑ Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR 0031770 
  3. ↑ Kodaira, Kunihiko (1964), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. I", American Journal of Mathematics , 86 (4): 751–798 , doi : 10.2307/2373157 , JSTOR 2373157 , MR 0187255  
  4. ↑ Kodaira, Kunihiko (1966), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. II", American Journal of Mathematics , 88 (3): 682–721 , doi : 10.2307/2373150 , JSTOR 2373150 , MR 0205280 , PMC 300219 , PMID 16578569    
  5. ↑ Kodaira, Kunihiko (1968a), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. III", American Journal of Mathematics , 90 (1): 55–83 , doi : 10.2307/2373426 , JSTOR 2373426 , MR 0228019  
  6. ↑ Kodaira, Kunihiko (1968b), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas. IV", American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048–1066 , doi : 10.2307/2373289 , JSTOR 2373289 , MR 0239114  
  7. 1 2 Mumford, David (1969), "Clasificación de superficies de Enriques en char p I", Análisis global (Documentos en honor de K. Kodaira) , Tokio: Univ. Tokyo Press, pp. 325–339 , doi : 10.1515/9781400871230-019 , ISBN  978-1-4008-7123-0, JSTOR j.ctt13x10qw.21 , MR 0254053  
  8. ↑ Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Clasificación de superficies de Enriques en char. p. II", Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, pp. 23–42 , MR 0491719  
  9. ↑ Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "Clasificación de superficies de Enriques en char. p. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197– 232, Bibcode : 1976InMat..35..197B , doi : 10.1007/BF01390138 , MR 0491720 , S2CID 122816845  

Lecturas adicionales

  • Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol.  4, Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 – el libro de referencia estándar para superficies complejas compactas
  • Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol.  34 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314 ; ( ISBN 978-0-521-49842-5(tapa blanda) – incluyendo una introducción más elemental a la clasificación
  • Bombieri, E.; Mumford, D. (1977). "Clasificación de superficies de Enriques en Char. P, II". Análisis complejo y geometría algebraica . págs. 23–42 . doi : 10.1017/CBO9780511569197.004 . ISBN  9780521217774.
  • Reid, Miles (1997), "Capítulos sobre superficies algebraicas", Geometría algebraica compleja (Park City, UT, 1993) , IAS/Park City Math. Ser., vol.  3, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 3–159 , arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , doi : 10.1090/pcms/003/02 , ISBN  9780821811450, MR 1442522 , S2CID 116933286  
  • Shafarevich, Igor R .; Averbuh, Boris G.; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, AB; Manin, Yuri I .; Moishezon, Boris G .; Tjurina, Galina N.; Tjurin, Andrei N. (1967) [1965], "Superficies algebraicas", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas , vol.  75, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 1 a 215, ISBN  978-0-8218-1875-6, MR 0190143 
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  • le superficie algebriche es una visualización interactiva de la clasificación Enriques-Kodaira, realizada por Pieter Belmans y Johan Commelin.
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