Plano proyectivo falso

En matemáticas, un plano proyectivo falso (o superficie de Mumford ) es una de las 50 superficies algebraicas complejas que tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo , pero no son homeomorfas a él. Dichos objetos son siempre superficies algebraicas de tipo general .

Severi preguntó si existía una superficie compleja homeomorfa al plano proyectivo pero no biholomorfa a él. Yau (1977) demostró que no existía tal superficie, por lo que la aproximación más cercana al plano proyectivo sería una superficie con los mismos números de Betti ( b₀ _, b₁ , _b₂ , _b₃ , b₄ ₎ = (1,0,1,0,1) que el plano proyectivo. El primer ejemplo fue hallado por Mumford (1979) utilizando la uniformización p _{-ádica introducida independientemente por Kurihara y Mustafin. Mumford también observó que el} resultado de Yau, junto con el teorema de Weil sobre la rigidez de los subgrupos cocompactos discretos de PU(1,2), implica que solo existe un número finito de planos proyectivos falsos. Ishida y Kato (1998) encontraron dos ejemplos más, usando métodos similares, y Keum (2006) encontró un ejemplo con un automorfismo de orden 7 que es birracional a un recubrimiento cíclico de grado 7 de una superficie de Dolgachev . Prasad y Yeung (2007) , Prasad y Yeung (2010) encontraron una forma sistemática de clasificar todos los planos proyectivos falsos, al mostrar que hay veintiocho clases, cada una de las cuales contiene al menos un ejemplo de plano proyectivo falso salvo isometría, y que puede haber como máximo cinco clases más que luego se demostró que no existen. El problema de enumerar todos los planos proyectivos falsos se reduce a enumerar todos los subgrupos de índice apropiado de un retículo explícitamente dado asociado a cada clase. Al extender estos cálculos, Cartwright y Steger (2010) demostraron que las veintiocho clases agotan todas las posibilidades de planos proyectivos falsos y que hay en total 50 ejemplos determinados hasta la isometría, o 100 planos proyectivos falsos hasta el biholomorfismo.

Una superficie de tipo general con los mismos números de Betti que una superficie mínima que no sea de tipo general debe tener los números de Betti de un plano proyectivo ^{P₂ o de} una cuádrica P₁ × P₁ . Shavel (1978) construyó algunas "cuádricas falsas": superficies de tipo general con los mismos números de Betti que las cuádricas. Las superficies de Beauville ofrecen más ejemplos.

Las analogías de dimensiones superiores de las superficies proyectivas falsas se denominan espacios proyectivos falsos .

Como consecuencia del trabajo de Aubin y Yau sobre la solución de la Conjetura de Calabi en el caso de curvatura de Ricci negativa , véase Yau ( 1977 , 1978 ) , cualquier plano proyectivo falso es el cociente de una bola unitaria compleja en 2 dimensiones por un subgrupo discreto , que es el grupo fundamental del plano proyectivo falso. Este grupo fundamental debe ser, por lo tanto, un subgrupo discreto cocompacto y sin torsión de PU(2,1) de característica de Euler-Poincaré 3. Klingler (2003) y Yeung (2004) demostraron que este grupo fundamental también debe ser un grupo aritmético . Los resultados de rigidez fuerte de Mostow implican que el grupo fundamental determina el plano falso, en el sentido fuerte de que cualquier superficie compacta con el mismo grupo fundamental debe ser isométrica a él. 

Dos planos proyectivos falsos se definen como pertenecientes a la misma clase si sus grupos fundamentales están contenidos en el mismo subgrupo aritmético maximal de automorfismos de la bola unitaria. Prasad y Yeung (2007) , Prasad y Yeung (2010) utilizaron la fórmula de volumen para grupos aritméticos de ( Prasad 1989 ) para enumerar 28 clases no vacías de planos proyectivos falsos y demostrar que puede haber como máximo cinco clases adicionales que no se espera que existan. (Véase el apéndice del artículo donde se refinó la clasificación y se corrigieron algunos errores del artículo original). Cartwright y Steger (2010) verificaron que las cinco clases adicionales no existían y enumeraron todas las posibilidades dentro de las veintiocho clases. Hay exactamente 50 planos proyectivos falsos clasificados salvo isometría y, por lo tanto, 100 planos proyectivos falsos distintos clasificados salvo biholomorfismo.

El grupo fundamental del plano proyectivo falso es un subgrupo aritmético de PU(2,1). Denotemos por k el cuerpo numérico asociado (un cuerpo totalmente real) y por G la k -forma asociada de PU(2,1). Si l es la extensión cuadrática de k sobre la cual G es una forma interna, entonces l es un cuerpo totalmente imaginario. Existe un álgebra de división D con centro l y grado sobre l 3 o 1, con una involución de segundo tipo que se restringe al automorfismo no trivial de l sobre k , y una forma hermitiana no trivial sobre un módulo sobre D de dimensión 1 o 3 tal que G es el grupo unitario especial de esta forma hermitiana. (Como consecuencia de Prasad y Yeung (2007) y del trabajo de Cartwright y Steger, D tiene grado 3 sobre l y el módulo tiene dimensión 1 sobre D. ) Hay un lugar real de k tal que los puntos de G forman una copia de PU(2,1), y sobre todos los demás lugares reales de k forman el grupo compacto PU(3).

Según el resultado de Prasad y Yeung (2007) , el grupo de automorfismos de un plano proyectivo falso es cíclico de orden 1, 3 o 7, o el grupo no cíclico de orden 9, o el grupo no abeliano de orden 21. Los cocientes de los planos proyectivos falsos por estos grupos fueron estudiados por Keum (2008) y también por Cartwright y Steger (2010) .

• k es un campo totalmente real.
• l es una extensión cuadrática totalmente imaginaria de k , y ζ ₃ es una raíz cúbica de 1.
• T es un conjunto de primos de k donde cierto subgrupo local no es hiperespecial.
• El índice es el índice del grupo fundamental en un determinado grupo aritmético.

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• Ishida, Masa-Nori; Kato, Fumiharu (1998), "El teorema de rigidez fuerte para la uniformización no arquimediana", The Tohoku Mathematical Journal , Segunda Serie, 50 (4): 537– 555, doi : 10.2748/tmj/1178224897 , MR 1653430 
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• Keum, JongHae (2008), "Cocientes de planos proyectivos falsos", Geometry & Topology , 12 (4): 2497– 2515, arXiv : 0802.3435 , doi : 10.2140/gt.2008.12.2497 , MR 2443971 , S2CID 14476192  
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• Yeung, Sai-Kee (2004), "Integralidad y aritmeticidad de la red co-compacta correspondiente a ciertos cocientes complejos de dos bolas del número de Picard uno" , The Asian Journal of Mathematics , 8 (1): 107–129 , doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9 , MR 2128300 
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• Prasad, Gopal, Espacios proyectivos falsos