Extensión separable

En teoría de campos , una rama del álgebra , una extensión algebraica de campos${\displaystyle E/F}$Se denomina extensión separable si para cada${\displaystyle \alpha \in E}$, el polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$sobre F es un polinomio separable (es decir, es coprimo con su derivada formal , o equivalentemente no tiene raíces repetidas en ningún cuerpo de extensión). ^{[ 1 ]} También hay una definición más general que se aplica cuando E no es necesariamente algebraico sobre F. Una extensión que no es separable se dice que es inseparable .

Toda extensión algebraica de un cuerpo de característica cero es separable, y toda extensión algebraica de un cuerpo finito es separable. ^{[ 2 ]} De ello se deduce que la mayoría de las extensiones consideradas en matemáticas son separables. Sin embargo, el concepto de separabilidad es importante, ya que la existencia de extensiones inseparables constituye el principal obstáculo para extender muchos teoremas demostrados en característica cero a característica distinta de cero. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois es un teorema sobre extensiones normales , que se mantiene válido en característica distinta de cero solo si se supone que las extensiones también son separables. ^{[ 3 ]}

El concepto opuesto, una extensión puramente inseparable , también surge de forma natural, ya que toda extensión algebraica puede descomponerse de forma única como una extensión puramente inseparable de una extensión separable. Una extensión algebraica${\displaystyle E/F}$de campos de característica no nula p es una extensión puramente inseparable si y solo si para cada${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$, el polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$sobre F no es un polinomio separable, o, equivalentemente, para cada elemento x de E , existe un entero positivo k tal que${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$. ^{[ 4 ]}

El ejemplo no trivial más sencillo de una extensión (puramente) inseparable es${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$, campos de funciones racionales en la indeterminada x con coeficientes en el campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$. El elemento${\displaystyle x\in E}$tiene polinomio mínimo${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$, teniendo${\displaystyle f'(X)=0}$y una raíz múltiple p -ésima, como${\displaystyle f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$. Esta es una extensión algebraica simple de grado p , como${\displaystyle E=F[x]}$, pero no es una extensión normal ya que el grupo de Galois${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$es trivial .

Se dice que un polinomio arbitrario f con coeficientes en algún cuerpo F tiene raíces distintas o es libre de cuadrados si tiene deg f raíces en algún cuerpo de extensión.${\displaystyle E\supseteq F}$Por ejemplo, el polinomio g ( X ) = X ² − 1 tiene precisamente g = 2 raíces en el plano complejo ; a saber, 1 y −1 , y por lo tanto tiene raíces distintas. Por otro lado, el polinomio h ( X ) = ( X − 2) ² , que es el cuadrado de un polinomio no constante , no tiene raíces distintas, ya que su grado es dos, y 2 es su única raíz.

Todo polinomio puede factorizarse en factores lineales sobre una clausura algebraica del cuerpo de sus coeficientes. Por lo tanto, el polinomio no tiene raíces distintas si y solo si es divisible por el cuadrado de un polinomio de grado positivo. Esto se cumple si y solo si el máximo común divisor del polinomio y su derivada no es una constante. Así pues, para comprobar si un polinomio es libre de cuadrados, no es necesario considerar explícitamente ninguna extensión de cuerpo ni calcular las raíces.

En este contexto, el caso de los polinomios irreducibles requiere cierta atención. A priori, podría parecer que la divisibilidad por un cuadrado es imposible para un polinomio irreducible , que no tiene divisores no constantes excepto él mismo. Sin embargo, la irreducibilidad depende del cuerpo ambiente, y un polinomio puede ser irreducible sobre F y reducible sobre alguna extensión de F. De manera similar, la divisibilidad por un cuadrado depende del cuerpo ambiente. Si un polinomio irreducible f sobre F es divisible por un cuadrado sobre alguna extensión del cuerpo, entonces (según lo expuesto anteriormente) el máximo común divisor de f y su derivada f ′ no es constante. Nótese que los coeficientes de f ′ pertenecen al mismo cuerpo que los de f , y el máximo común divisor de dos polinomios es independiente del cuerpo ambiente, por lo que el máximo común divisor de f y f ′ tiene coeficientes en F. Dado que f es irreducible en F , este máximo común divisor es necesariamente f mismo. Debido a que el grado de f ′ es estrictamente menor que el grado de f , se deduce que la derivada de f es cero, lo que implica que la característica del cuerpo es un número primo p , y f puede escribirse

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

Un polinomio como este, cuya derivada formal es cero, se denomina inseparable . Los polinomios que no son inseparables se denominan separables . Una extensión separable es una extensión que puede generarse mediante elementos separables , es decir, elementos cuyos polinomios mínimos son separables.

Un polinomio irreducible f en F [ X ] es separable si y solo si tiene raíces distintas en cualquier extensión de F. Es decir, si es el producto de factores lineales distintos X - a en alguna clausura algebraica de F. ^{[ 5 ]} Sea f en F [ X ] un polinomio irreducible y f ' su derivada formal . Entonces , las siguientes son condiciones equivalentes para que el polinomio irreducible f sea separable:

• Si E es una extensión de F en la que f es un producto de factores lineales, entonces ningún cuadrado de estos factores divide a f en E [ X ] (es decir, f es libre de cuadrados sobre E ). ^{[ 6 ]}
• Existe una extensión E de F tal que f tiene deg( f ) raíces distintas por pares ^en E. [ ^{6 ]}
• La constante 1 es el máximo común divisor polinomial de f y f ' . ^{[ 7 ]}
• La derivada formal f ' de f no es el polinomio cero. ^{[ 8 ]}
• O bien la característica de F es cero, o bien la característica es p , y f no es de la forma${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{p_{i}}.}$

Dado que la derivada formal de un polinomio de grado positivo solo puede ser cero si el cuerpo tiene característica prima, para que un polinomio irreducible no sea separable, sus coeficientes deben estar en un cuerpo de característica prima. Más generalmente, un polinomio irreducible (distinto de cero) f en F [ X ] no es separable, si y solo si la característica de F es un número primo (distinto de cero) p , y f ( X )= g ( X ^p ) para algún polinomio irreducible g en F [ X ] . ^{[ 9 ]} Mediante la aplicación repetida de esta propiedad, se deduce que, de hecho,${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$para un entero no negativo n y algún polinomio irreducible separable g en F [ X ] (donde se supone que F tiene característica prima p ). ^{[ 10 ]}

Si el endomorfismo de Frobenius${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$de F no es sobreyectiva, hay un elemento${\displaystyle a\in F}$que no es una potencia p de un elemento de F. En este caso, el polinomio${\displaystyle X^{p}-a}$es irreducible e inseparable. Por el contrario, si existe un polinomio irreducible (distinto de cero) inseparable${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$en F [ X ] , entonces el endomorfismo de Frobenius de F no puede ser un automorfismo , ya que, de otro modo, tendríamos${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$para algunos${\displaystyle b_{i}}$y el polinomio f se factorizaría como${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$^{[ 11 ]}

Si K es un cuerpo finito de característica prima p , y si X es una indeterminada , entonces el cuerpo de funciones racionales sobre K , K ( X ) , es necesariamente imperfecto , y el polinomio f ( Y ) = Y ^p − X es inseparable (su derivada formal en Y es 0). ^{[ 1 ]} De manera más general, si F es cualquier cuerpo de característica prima (no nula) para el cual el endomorfismo de Frobenius no es un automorfismo, F posee una extensión algebraica inseparable. ^{[ 12 ]}

Un cuerpo F es perfecto si y solo si todos sus polinomios irreducibles son separables. De ello se deduce que F es perfecto si y solo si F tiene característica cero, o bien F tiene característica prima p (distinta de cero) y el endomorfismo de Frobenius de F es un automorfismo. Esto incluye todo cuerpo finito.

Dejar${\displaystyle E\supseteq F}$ser una extensión de campo. Un elemento${\displaystyle \alpha \in E}$es separable sobre F si es algebraica sobre F y su polinomio mínimo es separable (el polinomio mínimo de un elemento es necesariamente irreducible).

Si${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$son separables sobre F , entonces${\displaystyle \alpha +\beta }$,${\displaystyle \alpha \beta }$y${\displaystyle 1/\alpha }$son separables sobre F.

^{Así ,} el conjunto de todos los elementos en E separables sobre F forma un subcampo de E , llamado clausura separable de F en E. ^{[ 13} ]

La clausura separable de F en una clausura algebraica de F se denomina simplemente clausura separable de F. Al igual que la clausura algebraica, es única salvo isomorfismo, y en general, este isomorfismo no es único.

Una extensión de campo${\displaystyle E\supseteq F}$es separable si E es la clausura separable de F en E. Esto ocurre si y solo si E está generado sobre F por elementos separables.

Si${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$^{son extensiones de} campo, entonces E es separable sobre F si y solo si E es separable sobre L y L es separable sobre F. ^{[ 14} ]

Si${\displaystyle E\supseteq F}$Si E es una extensión finita (es decir, E es un espacio vectorial F de dimensión finita ) , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. E esseparable sobre F.
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$dónde${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$son elementos separables de E.
3. ${\displaystyle E=F(a)}$donde a es un elemento separable de E.
4. Si K es una clausura algebraica de F , entonces hay exactamente${\displaystyle [E:F]}$homomorfismos de campo de E en K que fijan F.
5. Para cualquier extensión normal K de F que contenga a E , entonces hay exactamente${\displaystyle [E:F]}$homomorfismos de campo de E en K que fijan F.

La equivalencia de las propiedades 3 y 1 se conoce como el teorema de los elementos primitivos o teorema de Artin sobre los elementos primitivos. Las propiedades 4 y 5 constituyen la base de la teoría de Galois y, en particular, del teorema fundamental de la teoría de Galois .

Dejar${\displaystyle E\supseteq F}$Sea F una extensión algebraica de cuerpos de característica p . La clausura separable de F en E es${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$Para cada elemento${\displaystyle x\in E\setminus S}$existe un entero positivo k tal que${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$y por lo tanto E es una extensión puramente inseparable de S. De ello se deduce que S es el único cuerpo intermedio que es separable sobre F y sobre el cual E es puramente inseparable . ^{[ 15 ]}

Si${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión finita , su grado [ E  : F ] es el producto de los grados [ S  : F ] y [ E  : S ] . El primero, a menudo denotado [ E  : F ] _sep , se denomina la parte separable de [ E  : F ] o como lagrado separable de E / F ; este último se denomina laparte inseparabledel grado o lagrado inseparable . ^{[ 16 ]} El grado inseparable es 1 en característica cero y una potencia de p en característica p >0. ^{[ 17 ]}

Por otro lado, una extensión algebraica arbitraria${\displaystyle E\supseteq F}$puede que no posea una extensión intermedia K que sea puramente inseparable sobre F y sobre la cual E sea separable . Sin embargo, tal extensión intermedia puede existir si, por ejemplo,${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión normal de grado finito (en este caso, K es el cuerpo fijo del grupo de Galois de E sobre F ⁾ . Supongamos que existe tal extensión intermedia y que [ E  : F ] es finito, entonces [ S  : F ] = [ E  : K ] , donde S es la clausura separable de F en E. ^{[ 18} ] Las demostraciones conocidas de esta igualdad utilizan el hecho de que si${\displaystyle K\supseteq F}$ is a purely inseparable extension, and if f is a separable irreducible polynomial in F[X], then f remains irreducible in K[X]^[19]). This equality implies that, if [E : F] is finite, and U is an intermediate field between F and E, then [E : F]_sep = [E : U]_sep⋅[U : F]_sep.^[20]

The separable closure F^sep of a field F is the separable closure of F in an algebraic closure of F. It is the maximal Galois extension of F. By definition, F is perfect if and only if its separable and algebraic closures coincide.

Separability problems may arise when dealing with transcendental extensions. This is typically the case for algebraic geometry over a field of prime characteristic, where the function field of an algebraic variety has a transcendence degree over the ground field that is equal to the dimension of the variety.

For defining the separability of a transcendental extension, it is natural to use the fact that every field extension is an algebraic extension of a purely transcendental extension. This leads to the following definition.

A separating transcendence basis of an extension ${\displaystyle E\supseteq F}$ is a transcendence basisT of E such that E is a separable algebraic extension of F(T). A finitely generated field extension is separable if and only it has a separating transcendence basis; an extension that is not finitely generated is called separable if every finitely generated subextension has a separating transcendence basis.^[21]

Let ${\displaystyle E\supseteq F}$ be a field extension of characteristic exponentp (that is p = 1 in characteristic zero and, otherwise, p is the characteristic). The following properties are equivalent:

• E es una extensión separable de F ,
• ${\displaystyle E^{p}}$y F son linealmente disjuntos sobre${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$se reduce ,
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$se reduce por cada extensión de campo L de E ,

dónde${\displaystyle \otimes _{F}}$denota el producto tensorial de campos ,${\displaystyle F^{p}}$es el campo de las potencias p -ésimas de los elementos de F (para cualquier campo F ), y${\displaystyle F^{1/p}}$es el campo obtenido al adjuntar a F la raíz p -ésima de todos sus elementos (véase Álgebra separable para más detalles).

La separabilidad puede estudiarse con la ayuda de derivaciones . Sea E una extensión de cuerpo finitamente generada de un cuerpo F. Denotando${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$el espacio vectorial E de las derivaciones lineales F de E , uno tiene

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

y la igualdad se cumple si y solo si E es separable sobre F (aquí "tr.deg" denota el grado de trascendencia ).

En particular, si${\displaystyle E/F}$es una extensión algebraica, entonces${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$si y solo si${\displaystyle E/F}$es separable. ^{[ 22 ]}

Dejar${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$ser una base de${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$y${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$. Entonces${\displaystyle E}$es separable algebraicamente sobre${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$si y solo si la matriz${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$es invertible. En particular, cuando${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$, esta matriz es invertible si y solo si${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$es una base de trascendencia separativa.

• Borel, A. Grupos algebraicos lineales , 2ª ed.
• PM Cohn (2003). Álgebra básica
• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol.  11 (3ª  ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1.ª  ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas de Chicago (Segunda  edición). University of Chicago Press. pp. 55–59 . ISBN  0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 . 
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• M. Nagata (1985). Teoría de campos conmutativos: nueva edición, Shokabo. (Japonés)
• Silverman, Joseph (1993). La aritmética de las curvas elípticas . Springer. ISBN 0-387-96203-4.

• "extensión separable de un cuerpo k" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]