Campo de fracciones

En álgebra abstracta , el cuerpo de fracciones de un dominio integral es el cuerpo más pequeño en el que se puede incrustar . La construcción del cuerpo de fracciones se basa en la relación entre el dominio integral de los enteros y el cuerpo de los números racionales . Intuitivamente, consiste en cocientes entre elementos del dominio integral.

El campo de fracciones de un dominio integral${\displaystyle R}$a veces se denota por${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$o${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$y la construcción a veces también se llama campo de fracciones , campo de cocientes o campo de cocientes de${\displaystyle R}$Los cuatro términos son de uso común, pero no deben confundirse con el cociente de un anillo por un ideal , que es un concepto completamente distinto. Para un anillo conmutativo que no es un dominio de integridad, la construcción análoga se denomina localización o anillo de cocientes.

Dado un dominio integral${\displaystyle R}$y dejar${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$, definimos una relación de equivalencia en${\displaystyle R\times R^{*}}$al dejar${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$cuando sea${\displaystyle nb=md}$. Denotamos la clase de equivalencia de${\displaystyle (n,d)}$por${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$Esta noción de equivalencia está motivada por los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$, que tienen la misma propiedad con respecto al anillo subyacente${\displaystyle \mathbb {Z} }$de números enteros.

Entonces el campo de fracciones es el conjunto${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$con adición dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

y multiplicación dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

Se puede comprobar que estas operaciones están bien definidas y que, para cualquier dominio integral${\displaystyle R}$,${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$es de hecho un campo. En particular, para${\displaystyle n,d\neq 0}$, el inverso multiplicativo de${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$es como se esperaba:${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$.

La incrustación de${\displaystyle R}$en${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$mapas cada${\displaystyle n}$en${\displaystyle R}$a la fracción${\displaystyle {\frac {es}{e}}}$para cualquier valor distinto de cero${\displaystyle e\in R}$(la clase de equivalencia es independiente de la elección${\displaystyle e}$). Esto se basa en la identidad${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$.

El campo de fracciones de${\displaystyle R}$Se caracteriza por la siguiente propiedad universal :

si${\displaystyle h:R\to F}$es un homomorfismo de anillo inyectivo de${\displaystyle R}$en un campo${\displaystyle F}$, entonces existe un homomorfismo de anillos único${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$que se extiende${\displaystyle h}$.

Existe una interpretación categórica de esta construcción.${\displaystyle \mathbf {C} }$sea ​​la categoría de dominios integrales y aplicaciones de anillos inyectivas. El functor de${\displaystyle \mathbf {C} }$a la categoría de campos que toma cada dominio de integridad en su campo de fracciones y cada homomorfismo en el mapa inducido en campos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del functor de inclusión de la categoría de campos a${\displaystyle \mathbf {C} }$. Por lo tanto, la categoría de campos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflexiva de${\displaystyle \mathbf {C} }$.

No se requiere una identidad multiplicativa para el papel del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier número conmutativo distinto de cero.${\displaystyle R}$sin divisores de cero distintos de cero . La incrustación viene dada por${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$para cualquier valor distinto de cero${\displaystyle s\in R}$. ^{[ 1 ]}

• El cuerpo de fracciones del anillo de los enteros es el cuerpo de los racionales :${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$.
• Dejar${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$Sea el anillo de enteros gaussianos . Entonces${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$, el campo de los racionales gaussianos .
• El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente isomorfo al cuerpo mismo.
• Para cualquier campo k , el campo de fracciones del anillo polinomial de una variable${\displaystyle k[t]}$es elcampo de funciones racionales${\displaystyle k(t)}$. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}
• Para cualquier campo k , el campo de fracciones del anillo de series de potencias formales${\displaystyle k[\![t]\!]}$es el campo de la serie formal de Laurent${\displaystyle k(\!(t)\!)}$.
• El campo de fracciones del anillo de convolución de funciones de semirrecta produce un espacio de operadores , que incluye la función delta de Dirac , el operador diferencial y el operador integral . Esta construcción proporciona una representación alternativa de la transformada de Laplace que no depende explícitamente de una transformada integral. ^{[ 6 ]}

• Condición del mineral ; condición relacionada con la construcción de fracciones en el caso no conmutativo.
• Anillo total de fracciones