Superficie de Hopf

En geometría compleja , una superficie de Hopf es una superficie compleja compacta que se obtiene como cociente del espacio vectorial complejo (con el cero eliminado).${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$mediante una acción libre de un grupo discreto. Si este grupo son los números enteros, la superficie de Hopf se llama primaria ; de lo contrario, se llama secundaria . (Algunos autores usan el término "superficie de Hopf" para referirse a "superficie de Hopf primaria"). El primer ejemplo fue hallado por Heinz Hopf ( 1948 ) , con el grupo discreto isomorfo a los números enteros, con un generador que actúa sobre ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$mediante la multiplicación por 2; este fue el primer ejemplo de una superficie compleja compacta sin métrica de Kähler .

Las analogías de dimensiones superiores de las superficies de Hopf se denominan variedades de Hopf .

Las superficies de Hopf son superficies de clase VII y, en particular, todas tienen dimensión de Kodaira.${\displaystyle -\infty }$y todos sus plurigéneros desaparecen. El género geométrico es 0. El grupo fundamental tiene un subgrupo cíclico infinito central normal de índice finito. El diamante de Hodge es

En particular, el primer número de Betti es 1 y el segundo número de Betti es 0. Por el contrario, Kunihiko Kodaira ( 1968 ) demostró que una superficie compleja compacta con el segundo número de Betti nulo y cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito es una superficie de Hopf. 

En el curso de la clasificación de superficies complejas compactas , Kodaira clasificó las superficies primarias de Hopf.

Se obtiene una superficie de Hopf primaria como

${\displaystyle H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es un grupo generado por una contracción polinómica${\displaystyle \gamma }$Kodaira ha encontrado una forma normal para${\displaystyle \gamma }$. En coordenadas apropiadas, ${\displaystyle \gamma }$ se puede escribir como

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)}$

dónde${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$¿Son los números complejos satisfactorios?${\displaystyle 0<|\alpha |\leq |\beta |<1}$y o bien ${\displaystyle \lambda =0}$o${\displaystyle \alpha =\beta ^{n}}$.

Estas superficies contienen una curva elíptica (la imagen del eje x ) y si${\displaystyle \lambda =0}$La imagen del eje y es una segunda curva elíptica. Cuando${\displaystyle \lambda =0}$, la superficie de Hopf es un espacio fibrado elíptico sobre la línea proyectiva si ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta ^{n}}$para algunos enteros positivos m y n , con la aplicación a la línea proyectiva dada por${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}}$y, por lo demás, las únicas curvas son las dos imágenes de los ejes.

El grupo de Picard de cualquier superficie de Hopf primaria es isomorfo a los números complejos no nulos.${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$.

Kodaira (1966b) ha demostrado que una superficie compleja es difeomorfa a${\displaystyle S^{3}\times S^{1}}$Si y solo si se trata de una superficie de Hopf primaria.

Toda superficie de Hopf secundaria posee una cubierta finita no ramificada que es una superficie de Hopf primaria. De forma equivalente, su grupo fundamental tiene un subgrupo de índice finito en su centro que es isomorfo a los enteros. Masahido Kato ( 1975 ) las clasificó hallando los grupos finitos que actúan sin puntos fijos sobre superficies de Hopf primarias. 

Se pueden construir muchos ejemplos de superficies de Hopf secundarias con un espacio subyacente que sea producto de formas espaciales esféricas y un círculo.

• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol.  4, Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Hopf, Heinz (1948). "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten". Estudios y ensayos presentados a R. Courant en su 60 cumpleaños, el 8 de enero de 1948 . Interscience Publishers, Inc., Nueva York. págs. 167-185 . SEÑOR 0023054 .  
• Kato, Masahide (1975), "Topología de las superficies de Hopf", Journal of the Mathematical Society of Japan , 27 (2): 222– 238, doi : 10.2969/jmsj/02720222 , ISSN 0025-5645 , MR 0402128  Kato, Masahide (1989), "Fe de erratas de: "Topología de las superficies de Hopf"", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 41 (1): 173– 174, doi : 10.2969/jmsj/04110173 , ISSN 0025-5645 , MR 0972171  
• Kodaira, Kunihiko (1966), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. II", American Journal of Mathematics , 88 (3), The Johns Hopkins University Press: 682–721 , doi : 10.2307/2373150 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373150 , MR 0205280 , PMC 300219 , PMID 16578569     
• Kodaira, Kunihiko (1968), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. III", American Journal of Mathematics , 90 (1), The Johns Hopkins University Press: 55–83 , doi : 10.2307/2373426 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373426 , MR 0228019   
• Kodaira, Kunihiko (1966b), "Estructuras complejas en S ¹ ×S ³ " , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 55 (2): 240– 243, Bibcode : 1966PNAS...55..240K , doi : 10.1073/pnas.55.2.240 , ISSN 0027-8424 , MR 0196769 , PMC 224129 , PMID 16591329    
• Matumoto, Takao; Nakagawa, Noriaki (2000), "Descripción explícita de superficies de Hopf y sus grupos de automorfismos" , Osaka Journal of Mathematics , 37 (2): 417–424 , ISSN 0030-6126 , MR 1772841  
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Variedad de Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press