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Articulo de referencia

Superficie de Inoue

En geometría compleja , una superficie de Inoue es cualquiera de varias superficies complejas de la clase VII de Kodaira . Reciben su nombre de Masahisa Inoue , quien proporcion...

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En geometría compleja , una superficie de Inoue es cualquiera de varias superficies complejas de la clase VII de Kodaira . Reciben su nombre de Masahisa Inoue , quien proporcionó los primeros ejemplos no triviales de superficies de la clase VII de Kodaira en 1974. [ 1 ]

Las superficies de Inoue no son variedades de Kähler .

Superficies de Inoue con b 2 = 0

Inoue introdujo tres familias de superficies, S 0 , S + y S − , que son cocientes compactos dedo×H{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} }(un producto de un plano complejo por un semiplano). Estas superficies de Inoue son variedades de solv . Se obtienen como cocientes dedo×H{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} }por un grupo discreto resoluble que actúa holomorfamente sobredo×H.{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} .}

Todas las superficies de la variedad de soluciones construidas por Inoue tienen el mismo segundo número de Betti.b2=0{\displaystyle b_{2}=0}Estas superficies son de clase Kodaira VII , lo que significa que tienenb1=1{\displaystyle b_{1}=1}y dimensión de Kodaira−∞{\displaystyle -\infty }. Bogomolov [ 2 ] , Li– Yau [ 3 ] y Teleman [ 4 ] demostraron que cualquier superficie de clase VII conb2=0{\textstyle b_{2}=0}es una superficie de Hopf o una variedad de solución de tipo Inoue.

Estas superficies no tienen funciones meromorfas ni curvas.

K. Hasegawa [ 5 ] da una lista de todas las variedades de solución bidimensionales complejas; estas son el toro complejo , la superficie hiperelíptica , la superficie de Kodaira y las superficies de Inoue S 0 , S + y S − .

Las superficies de Inoue se construyen explícitamente de la siguiente manera. [ 5 ]

De tipo S 0

Sea φ una matriz entera de 3  ×  3, con dos valores propios complejos.α,α¯{\displaystyle \alpha ,{\overline {\alpha }}}y un valor propio real c  >  1, con|α|2do=1{\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}Entonces φ es invertible sobre los enteros y define una acción del grupo de los enteros,Z,{\displaystyle \mathbb {Z} ,}enZ3{\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}. DejarΓ:=Z3⋊Z.{\displaystyle \Gamma :=\mathbb {Z} ^{3}\rtimes \mathbb {Z} .} Este grupo es un retículo en el grupo de Lie resoluble

R3⋊R=(do×R)⋊R,{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} =(\mathbb {C} \times \mathbb {R} )\rtimes \mathbb {R} ,}

actuando endo×R,{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,}con el(do×R){\displaystyle (\mathbb {C} \times \mathbb {R} )}-parte actuando por traducciones y el⋊R{\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }-parte como(z,r)↦(αtz,dotr).{\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r).}

Extendemos esta acción ado×H=do×R×R>0{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}al establecerv↦miregistro⁡dotv{\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}, donde t es el parámetro de la⋊R{\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }-parte deR3⋊R,{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} ,}y actuando trivialmente con elR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}factor enR>0{\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}Esta acción es claramente holomorfa, y el cocientedo×H/Γ{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma }se denomina superficie de Inoue de tipoS0.{\displaystyle S^{0}.}

La superficie de Inoue de tipo S 0 se determina mediante la elección de una matriz entera φ , con las restricciones descritas anteriormente. Existe un número contable de dichas superficies.

De tipo S +

Sea n un entero positivo, yΛnorte{\displaystyle \Lambda _{n}}sea ​​el grupo de matrices triangulares superiores

[1incógnitaz/norte01y001],incógnita,y,z∈Z.{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z/n\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},\qquad x,y,z\in \mathbb {Z}.}

El cociente deΛnorte{\displaystyle \Lambda _{n}}por su centro C esZ2{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}. Sea φ un automorfismo deΛnorte{\displaystyle \Lambda _{n}}, asumimos que φ actúa sobreΛnorte/do=Z2{\displaystyle \Lambda _ {n}/C=\mathbb {Z} ^{2}}como una matriz con dos autovalores reales positivos a, b y ab  =  1. Consideremos el grupo resolubleΓnorte:=Λnorte⋊Z,{\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes \mathbb {Z} ,}conZ{\displaystyle \mathbb {Z} }actuando enΛnorte{\displaystyle \Lambda _{n}}como φ . Identificando el grupo de matrices triangulares superiores conR3,{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}obtenemos una acción deΓnorte{\displaystyle \Gamma _{n}}enR3=do×R.{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} .}Defina una acción deΓnorte{\displaystyle \Gamma _{n}}endo×H=do×R×R>0{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}conΛnorte{\displaystyle \Lambda _{n}}actuando trivialmente sobre elR>0{\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}-parte y elZ{\displaystyle \mathbb {Z} }actuando comov↦mitregistro⁡bv.{\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v.}El mismo argumento que para las superficies de Inoue de tipoS0{\displaystyle S^{0}}muestra que esta acción es holomorfa. El cocientedo×H/Γnorte{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma _{n}}se denomina superficie de Inoue de tipoS+.{\displaystyle S^{+}.}

De tipo S −

Superficies de Inoue de tipoS−{\displaystyle S^{-}}se definen de la misma manera que para S + , pero dos autovalores a, b de φ que actúan sobreZ2{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}tienen signo opuesto y satisfacen ab  =  −1. Dado que un cuadrado de tal endomorfismo define una superficie de Inoue de tipo S + , una superficie de Inoue de tipo S − tiene un recubrimiento doble no ramificado de tipo S + .

Superficies de Inoue parabólicas e hiperbólicas

Las superficies de Inoue parabólicas e hiperbólicas son superficies de clase VII de Kodaira definidas por Iku Nakamura en 1984. [ 6 ] No son solvmanifolds. Estas superficies tienen un segundo número de Betti positivo. Tienen capas esféricas y pueden deformarse en una superficie de Hopf expandida .

Las superficies de Inoue parabólicas contienen un ciclo de curvas racionales con autointersección cero y una curva elíptica. Son un caso particular de las superficies de Enoki, que poseen un ciclo de curvas racionales con autointersección cero pero sin curva elíptica. Las superficies de Inoue medias contienen un ciclo C de curvas racionales y son el cociente de una superficie de Inoue hiperbólica con dos ciclos de curvas racionales.

Las superficies hiperbólicas de Inoue son superficies de clase VII 0 con dos ciclos de curvas racionales. [ 7 ] Las superficies parabólicas e hiperbólicas son casos particulares de superficies mínimas con capas esféricas globales (GSS), también llamadas superficies de Kato. Todas estas superficies pueden construirse mediante contracciones no invertibles. [ 8 ]

Notas

  1. ↑ M. Inoue, "Sobre superficies de clase VII 0 ", Inventiones math. , 24 (1974), 269–310.
  2. ↑ Bogomolov, F.: "Clasificación de superficies de clase VII 0 con b 2  = 0", Math. USSR Izv 10, 255 – 269 (1976)
  3. ↑ Li, J., Yau, S., T.: "Conexiones hermitianas de Yang-Mills en variedades no Kähler", Aspectos matemáticos de la teoría de cuerdas (San Diego, California, 1986), Serie avanzada de física matemática 1, 560-573 , World Scientific Publishing (1987)
  4. ↑ Teleman, A.: "Superficies proyectivamente planas y el teorema de Bogomolov sobresuperficies 0 de clase VII", Int. J. Math. , Vol. 5, No 2, 253 – 264 (1994)
  5. 1 2 Keizo Hasegawa Estructuras complejas y de Kähler en variedades de solución compactas, J. Symplectic Geom. Volumen 3, Número 4 (2005), 749–767.
  6. ↑ I. Nakamura, "Sobre superficies de clase VII 0 con curvas," Inv. Math. 78, 393 – 443 (1984).
  7. ↑ I. Nakamura. " Estudio sobre superficies VII 0 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine ", Desarrollos recientes en geometría no Kaehler , Sapporo, marzo de 2008.
  8. ^ G. Dloussky, "Une Construction Elementaire des Surfaces d'Inoue – Hirzebruch". Matemáticas. Ana. 280, 663–682 (1988).