Toro complejo

En matemáticas , un toro complejo es un tipo particular de variedad compleja M cuya variedad lisa subyacente es un toro en el sentido habitual (es decir, el producto cartesiano de algún número N círculos ). Aquí N debe ser el número par 2 n , donde n es la dimensión compleja de M .

Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tomemos una red Λ en un espacio vectorial V isomorfo a C ⁿ considerado como espacio vectorial real; entonces el grupo cociente es una variedad compleja compacta . Todos los toros complejos, hasta el isomorfismo, se obtienen de esta manera. Para n = 1 esta es la construcción clásica de red de período de curvas elípticas . Para n > 1 Bernhard Riemann encontró condiciones necesarias y suficientes para que un toro complejo sea una variedad algebraica ; aquellas que son variedades pueden ser insertadas en el espacio proyectivo complejo , y son las variedades abelianas . $${\estilo de visualización V/\Lambda}$$

Las incrustaciones proyectivas reales son complicadas (ver ecuaciones que definen variedades abelianas ) cuando n > 1, y son realmente coextensivas con la teoría de funciones theta de varias variables complejas (con módulo fijo). No hay nada tan simple como la descripción de la curva cúbica para n = 1. El álgebra computacional puede manejar casos para n pequeños razonablemente bien. Por el teorema de Chow , ningún toro complejo que no sean las variedades abelianas puede "encajar" en el espacio proyectivo .

Una forma de definir los toros complejos ^[1] es como un grupo de Lie complejo compacto y conexo . Se trata de grupos de Lie en los que las funciones estructurales son funciones holomorfas de variedades complejas. Resulta que todos estos grupos de Lie compactos y conexos son conmutativos y son isomorfos a un cociente de su álgebra de Lie, cuya función envolvente es la función exponencial de un álgebra de Lie con su grupo de Lie asociado. El núcleo de esta función es una red y . ${\estilo de visualización G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{0}G}$${\displaystyle \Lambda \subconjunto {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U}$

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo y una red de rango máximo, la variedad compleja cociente tiene una estructura de grupo de Lie compleja, y también es compacta y conexa. Esto implica que las dos definiciones de toros complejos son equivalentes. ${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$${\estilo de visualización V/\Lambda}$

Una forma de describir un toro complejo g -dimensional ^{[2] : 9} es usando una matriz cuyas columnas corresponden a una base de la red expandida usando una base de . Es decir, escribimos así Entonces podemos escribir el toro como Si vamos en la dirección inversa seleccionando una matriz , corresponde a una matriz de período si y solo si la matriz correspondiente construida al adjuntar la matriz conjugada compleja a , entonces es no singular . Esto garantiza que los vectores columna de abarcan una red en por lo tanto deben ser vectores linealmente independientes sobre . ${\displaystyle g\times 2g}$${\estilo de visualización \Pi}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}}$${\estilo de visualización \Lambda}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{g}}$${\estilo de visualización V}$$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}}$$${\displaystyle X=V/\Lambda}$$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}}$$${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C}}(g,2g)}$${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C}}(2g,2g)}$${\displaystyle {\overline {\Pi}}}$${\estilo de visualización \Pi}$$${\displaystyle P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}}$$${\estilo de visualización \Pi}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Para un toro complejo bidimensional, se tiene una matriz de período de la forma , por ejemplo, la matriz forma una matriz de período ya que la matriz de período asociada tiene determinante 4. $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$

Para cualquier toro complejo de dimensión tiene una matriz de período de la forma donde es la matriz identidad y donde . Podemos obtener esto al tomar un cambio de base del espacio vectorial dando una matriz de bloques de la forma anterior. La condición para se deduce de mirar la matriz correspondiente ya que esta debe ser una matriz no singular. Esto se debe a que si calculamos el determinante de la matriz de bloques, esto es simplemente lo que da la implicación. ${\displaystyle X=V/\Lambda}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización \Pi}$$${\displaystyle (Z,1_{g})}$$${\displaystyle 1_{g}}$${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C}}(g)}$${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$${\estilo de visualización P}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, podemos escribir una matriz de período normalizado para un toro complejo bidimensional, ya que un ejemplo de ello es la matriz de período normalizado, ya que el determinante de es distinto de cero, igual a . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\text{Im}}(Z)}$${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Para obtener una matriz de período que dé una variedad proyectiva compleja, y por lo tanto una variedad algebraica, la matriz de período debe satisfacer además las relaciones bilineales de Riemann . ^[3]

Si tenemos toros complejos y de dimensiones entonces un homomorfismo ^{[2] : 11} de toros complejos es una función tal que se conserva la estructura del grupo. Esto tiene varias consecuencias, como que todo homomorfismo induce una función de sus espacios de recubrimiento que es compatible con sus funciones de recubrimiento. Además, como induce un homomorfismo de grupo, debe restringirse a un morfismo de las redes En particular, hay inyecciones y que se denominan representaciones analíticas y racionales del espacio de homomorfismos. Estas son útiles para determinar alguna información sobre el anillo de endomorfismo que tiene dimensión racional . ${\displaystyle X=V/\Lambda }$${\displaystyle X'=V'/\Lambda '}$${\displaystyle g,g'}$$${\displaystyle f:X\to X'}$$$${\displaystyle F:V\to V'}$$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '}$$$${\displaystyle \rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')}$$${\displaystyle \rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')}$${\displaystyle {\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle m\leq 4gg'}$

La clase de mapas homomórficos entre toros complejos tiene una estructura muy simple. Por supuesto, cada homomorfismo induce un mapa holomorfo, pero cada mapa holomorfo es la composición de un tipo especial de mapa holomorfo con un homomorfismo. Para un elemento definimos el mapa de traslación que envía Entonces, si es un mapa holomorfo entre toros complejos , existe un homomorfismo único tal que muestra que los mapas holomorfos no son mucho más grandes que el conjunto de homomorfismos de toros complejos. ${\displaystyle x_{0}\in X}$$${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle X,X'}$${\displaystyle f:X\to X'}$$${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$

Una clase distinta de homomorfismos de toros complejos se denominan isogenias. Se trata de endomorfismos de toros complejos con un núcleo distinto de cero. Por ejemplo, si dejamos que sea un entero, entonces hay una función asociada que envía y que tiene un núcleo isomorfo a . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$$${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$${\displaystyle x\mapsto nx}$$${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$

Hay un isomorfismo de estructuras complejas en el espacio vectorial real y el conjunto y los toros isomorfos se pueden dar por un cambio de base de sus redes, por lo tanto, una matriz en . Esto da el conjunto de clases de isomorfismo de toros complejos de dimensión , , como el espacio de clase lateral doble Nótese que, como variedad real, este tiene dimensión esto es importante cuando se consideran las dimensiones de los módulos de las variedades abelianas , lo que demuestra que hay toros mucho más complejos que variedades abelianas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$$${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$$${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$

Para variedades complejas , en particular toros complejos, existe una construcción ^{[2] : 571} que relaciona los fibrados lineales holomorfos cuyo pullback es trivial utilizando la cohomología de grupo de . Afortunadamente para los toros complejos, cada fibrado lineal complejo se vuelve trivial ya que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle \pi ^{*}L\to {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi ^{*}L}$${\displaystyle {\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}}$

Partiendo del primer grupo de cohomología de grupos, recordamos cómo se pueden representar sus elementos. Puesto que actúa sobre existe una acción inducida sobre todas sus haces, por lo tanto sobre La -acción se puede representar entonces como una función holomorfa . Esta función satisface la condición de cociclo si para cada y . El grupo abeliano de 1-cociclos se denomina grupo de factores de automorfía . Nótese que dichas funciones también se denominan simplemente factores . $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$$${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$${\displaystyle f}$

Para los toros complejos, estas funciones se dan mediante funciones que siguen la condición de cociclo. Estas son funciones automórficas , más precisamente, las funciones automórficas utilizadas en las leyes de transformación para funciones theta . Además, cualquier mapa de este tipo se puede escribir como para lo cual es útil para calcular invariantes relacionados con el fibrado de líneas asociado. ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}}$$$${\displaystyle f=\exp(2\pi i\cdot g)}$$$${\displaystyle g:V\times \Lambda \to \mathbb {C} }$$

Dado un factor de automorfía podemos definir un fibrado lineal en de la siguiente manera: el fibrado lineal trivial tiene una -acción dada por para el factor . Como esta acción es libre y propiamente discontinua, el fibrado cociente es una variedad compleja. Además, la proyección inducida a partir de la proyección de recubrimiento . Esto da una función que induce un isomorfismo que da el resultado deseado. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$$${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$${\displaystyle p:L\to X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

En el caso de toros complejos, tenemos por lo tanto que hay un isomorfismo que representa los fibrados lineales en toros complejos como 1-cociclos en la cohomología de grupo asociada. Es típico escribir el grupo como la red que define , por lo tanto contiene las clases de isomorfismo de fibrados lineales en . ${\displaystyle H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0}$$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$$${\displaystyle X}$

A partir de la secuencia exponencial exacta, el morfismo conector es el primer mapa de clase de Chern , que envía una clase de isomorfismo de un fibrado lineal a su primera clase de Chern asociada. Resulta que hay un isomorfismo entre y el módulo de formas alternadas en la red , . Por lo tanto, se puede considerar como una 2-forma de valor alternado en . Si tiene factor de automorfía , entonces la forma alternada se puede expresar como para y . $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$$$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle E_{L}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle L}$${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$$${\displaystyle E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)}$$${\displaystyle \mu ,\lambda \in \Lambda }$${\displaystyle v\in V}$

Para una matriz de período normalizada expandida utilizando la base estándar de tenemos los vectores columna que definen la red . Entonces, cualquier forma alternada en es de la forma donde se deben satisfacer varias condiciones de compatibilidad. $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle E_{L}}$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}}$$

Para un fibrado lineal dado por un factor de automorfía , por lo que y , existe un haz asociado de secciones donde con abierto. Entonces, evaluado en secciones globales, este es el conjunto de funciones holomorfas tales que que son exactamente las funciones theta en el plano. A la inversa, este proceso se puede realizar al revés donde el factor automórfico en la función theta es de hecho el factor de automorfía que define un fibrado lineal en un toro complejo. ${\displaystyle L}$${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}}$$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$

Para la forma 2-valuable alternada asociada al fibrado de líneas , se puede extender para que sea valuable. Entonces, resulta cualquier forma alternada valuable que satisfaga las siguientes condiciones ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle E_{L}}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E:V\times V\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle E(iv,iw)=E(v,w)}$Para cualquiera${\displaystyle v,w\in V}$

es la extensión de alguna primera clase de Chern de un fibrado lineal . Además, existe una forma hermítica asociada que satisface ${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle H:V\times V\to \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle {\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\displaystyle H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

Para cualquier . ${\displaystyle v,w\in V}$

Para un toro complejo podemos definir el grupo de Neron-Serveri como el grupo de formas hermíticas en con Equivalentemente, es la imagen del homomorfismo de la primera clase de Chern. También podemos identificarlo con el grupo de formas alternadas reales en tales que . ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle NS(X)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Para ^[4] una curva elíptica dada por la red donde podemos encontrar la forma integral observando una matriz alterna genérica y encontrando las condiciones de compatibilidad correctas para que se comporte como se espera. Si usamos la base estándar de como un espacio vectorial real (por lo que ), entonces podemos escribir una matriz alterna y calcular los productos asociados en los vectores asociados a . Estos son Luego, tomando los productos internos (con el producto interno estándar) de estos vectores con los vectores obtenemos por lo que si , entonces Podemos verificar directamente , lo que se cumple para la matriz anterior. Para un fijo , escribiremos la forma integral como . Entonces, hay una forma hermítica asociada dada por donde${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle x_{1},y_{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle 1,\tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle 1,\tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$$${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle E_{a}}$$${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$$${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Para una forma hermítica, un semicarácter es una función tal que, por lo tanto, la función se comporta como un carácter torcido por la forma hermítica. Nótese que si es el elemento cero en , por lo que corresponde al fibrado de líneas trivial , entonces los semicaracteres asociados son el grupo de caracteres en . Resultará que esto corresponde al grupo de fibrados de líneas de grado en , o equivalentemente, su toro dual, que se puede ver calculando el grupo de caracteres cuyos elementos se pueden factorizar como funciones que muestran que un carácter es de la forma para algún vector reticular dual fijo . Esto da el isomorfismo del conjunto de caracteres con un toro real. El conjunto de todos los pares de semicaracteres y su forma hermítica asociada , o pares de semicaracteres , forma un grupo donde Esta estructura de grupo proviene de aplicar la ley de conmutación anterior para semicaracteres al nuevo semicarácter : Resulta que este grupo sobreyecta sobre y tiene núcleo , dando una secuencia exacta corta. Esta sobreyección se puede construir asociando a cada par de semicaracteres un fibrado de líneas . ${\displaystyle H}$${\displaystyle \chi :\Lambda \to U(1)}$$${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle NS(X)}$${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$${\displaystyle (\chi ,H)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$$${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$${\displaystyle NS(X)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$$${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$${\displaystyle L(H,\chi )}$

Para un par de semicarácteres podemos construir un 1-cociclo en como una función definida como La relación de cociclo se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo. Por lo tanto, el cociclo determina un fibrado lineal donde la -acción en está dada por Nótese que esta acción se puede usar para mostrar que las secciones del fibrado lineal están dadas por las funciones theta con factor de automorfía . A veces, esto se llama factor canónico de automorfía para . Nótese que debido a que cada fibrado lineal tiene una forma hermítica asociada , y se puede construir un semicarácter usando el factor de automorfía para , obtenemos una sobreyección Además, este es un homomorfismo de grupo con un núcleo trivial. Todos estos hechos se pueden resumir en el siguiente diagrama conmutativo donde las flechas verticales son isomorfismos o igualdad. Este diagrama se llama típicamente teorema de Appell-Humbert . ${\displaystyle (H,\chi )}$${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$$${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$$${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$$${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$$${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$${\displaystyle L(H,\chi )}$${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$

Como se mencionó anteriormente, un carácter en la red se puede expresar como una función para algún vector dual fijo . Si queremos poner una estructura compleja en el toro real de todos los caracteres, necesitamos comenzar con un espacio vectorial complejo que se incruste en . Resulta que el espacio vectorial complejo de mapas antilineales complejos , es isomorfo al espacio vectorial dual real , que es parte de la factorización para escribir caracteres. Además, hay una red asociada llamada red dual de . Entonces, podemos formar el toro complejo dual que tiene la propiedad especial de que ese dual del toro complejo dual es el toro complejo original. Además, a partir de la discusión anterior, podemos identificar el toro complejo dual con el grupo de Picard de enviando un vector dual antilineal a dando el mapa que se factoriza a través del toro complejo dual. Hay otras construcciones del toro complejo dual que utilizan técnicas de la teoría de variedades abelianas. ^{[1] : 123–125} Esencialmente, tomando un fibrado lineal sobre un toro complejo (o variedad abeliana) , hay un subconjunto cerrado de definido como los puntos de donde sus traslaciones son invariantes, es decir Entonces, el toro complejo dual puede construirse presentándolo como una isogenia. Se puede demostrar que definir de esta manera satisfacía las propiedades universales de , por lo tanto es de hecho el toro complejo dual (o variedad abeliana). $${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$$${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$${\displaystyle \Lambda ^{*}}$$${\displaystyle {\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$$${\displaystyle {\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}}$$${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}}$$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)}$$${\displaystyle l}$$${\displaystyle l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )}$$$${\displaystyle {\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K(L)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle T_{x}^{*}(L)\cong L}$$$${\displaystyle {\hat {X}}:=X/K(L)}$$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$

A partir de la construcción del toro complejo dual, se sugiere que debería existir un fibrado lineal sobre el producto del toro y su dual que se puede utilizar para presentar todas las clases de isomorfismo de fibrados lineales de grado 0 en . Podemos codificar este comportamiento con las dos propiedades siguientes ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$para cualquier punto que dé el paquete de líneas${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$es un paquete de líneas trivial

donde la primera es la propiedad analizada anteriormente y la segunda actúa como una propiedad de normalización. Podemos construir utilizando la siguiente forma hermítica y el semicarácter para . Mostrar estos datos construye un fibrado lineal con las propiedades deseadas que se deduce de observar el factor canónico asociado de , y observar su comportamiento en varias restricciones. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}}$$${\displaystyle H}$${\displaystyle (H,\chi )}$

• Paquete de Poincaré
• Grupo de Lie complejo
• Función automorfa
• Jacobiano intermedio
• Función gamma elíptica

• Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (1999), Toros complejos , Progress in Mathematics, vol. 177, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, Sr.  1713785

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• Integrales abelianas p-ádicas: de la teoría a la práctica