Jacobiano intermedio

En matemáticas, el jacobiano intermedio de una variedad de Kähler compacta o estructura de Hodge es un toro complejo que es una generalización común de la variedad jacobiana de una curva y la variedad de Picard y la variedad de Albanese . Se obtiene poniendo una estructura compleja en el toro para n impar. Hay varias formas naturales diferentes de poner una estructura compleja en este toro, dando varios tipos diferentes de jacobianos intermedios, incluyendo uno debido a André Weil  (1952) y uno debido a Phillip Griffiths  (1968, 1968b). Los construidos por Weil tienen polarizaciones naturales si M es proyectiva, y también lo son las variedades abelianas, mientras que los construidos por Griffiths se comportan bien bajo deformaciones holomorfas. ${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R})/H^{n}(M,\mathbb {Z})}$

Una estructura compleja en un espacio vectorial real está dada por un automorfismo I con cuadrado . Las estructuras complejas en se definen utilizando la descomposición de Hodge${\estilo de visualización -1}$${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H^{n}(M,{\mathbb {R} })\otimes {\mathbb {C} }=H^{n,0}(M)\oplus \cdots \oplus H^{0,n}(M).}$

En la estructura compleja de Weil se multiplica por , mientras que en la estructura compleja de Griffiths se multiplica por si y si . Ambas estructuras complejas se asignan a sí mismas y, por lo tanto, definen estructuras complejas en ellas. ${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle I_{W}}$${\displaystyle i^{pq}}$$estilo de visualización I_{G}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle p>q}$${\estilo de visualización -i}$${\displaystyle p<q}$${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R} )}$

Para el jacobiano intermedio se utiliza la variedad Picard y para éste la variedad Albanese . En estos dos casos extremos las construcciones de Weil y Griffiths son equivalentes. ${\estilo de visualización n=1}$${\displaystyle n=2\dim(M)-1}$

Clemens y Griffiths (1972) utilizaron jacobianos intermedios para demostrar que las ternas cúbicas no singulares no son racionales , aunque son uniracionales .

• Cohomología de Deligne

• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), "El jacobiano intermedio de la cúbica triple", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Griffiths, Phillip A. (1968), "Períodos de integrales en variedades algebraicas. I. Construcción y propiedades de las variedades modulares", American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi :10.2307/2373545, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373545, MR  0229641
• Griffiths, Phillip A. (1968b), "Períodos de integrales en variedades algebraicas. II. Estudio local de la aplicación de períodos", American Journal of Mathematics , 90 (3): 805–865, doi :10.2307/2373485, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373485, MR  0233825
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523
• Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Jacobiano intermedio", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Weil, André (1952), "Sobre las variedades de Picard", American Journal of Mathematics , 74 (4): 865–894, doi :10.2307/2372230, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372230, MR  0050330