Función Theta

{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}} — Función theta de Jacobi $θ 1$ con nomo $q = e i π τ = 0,1 e 0,1 i π$ : ${\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}$

En matemáticas , las funciones theta son funciones especiales de varias variables complejas . Fundamentalmente, son una familia de funciones continuas que codifican el comportamiento de sistemas periódicos multidimensionales discretos , como redes cristalinas o puntos en un toroide . Debido a su suavidad, permiten el estudio y la manipulación de sistemas combinatorios discretos mediante las herramientas del análisis .

Por esta razón, las funciones theta tienen aplicaciones útiles en temas como

Teoría de números : "¿De cuántas maneras se puede escribir un número como suma de cuadrados?"
Física : "¿Cómo fluye el calor en un anillo toroidal?", "¿Cómo se comportan las partículas cuánticas cuando se disponen en una red?"
geometría : "¿Cuáles son las propiedades de forma de las curvas elípticas ?"

y otras, incluidas las variedades abelianas , los espacios de módulos , las formas cuadráticas y los solitones .

Las funciones theta en dos dimensiones son funciones de dos argumentos complejos. En una elección de parámetros, por ejemplo, $z$ codifica la posición en una red bidimensional y $\tau$ o $q$ codifica la forma de la red. En dimensiones superiores, la forma de la red está dictada por una matriz; en general, las funciones theta están parametrizadas por puntos en un dominio de tubo dentro de una Grassmanniana lagrangiana compleja , ^{[ 1 ]} es decir, el semiespacio superior de Siegel .

Ejemplo básico

Un ejemplo de función theta es

\theta (z,q)\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp {(2\pi inz)}

,

dónde $z$ y $q$ son números complejos y $|q|<1$ para que la suma converja.

Esta función analítica se puede utilizar para resolver un problema de combinatoria : ¿de cuántas maneras diferentes se puede escribir un número entero como la suma de dos cuadrados? Cuando $z=0$ , tenemos

\theta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+\ldots +2q^{n^{2}}+\ldots

Esta es una función generadora donde el coeficiente de $q^{k}$ representa cuántas maneras hay de escribir $k$ como un cuadrado perfecto: cuando $k=0$ , solo hay una manera. Cuando $k$ Si se trata de cualquier otro cuadrado perfecto, hay dos maneras: $n^{2}=(-n)^{2}$ . Cuando $k$ no es un cuadrado perfecto, no hay formas.

Elevando al cuadrado esta función generadora, obtenemos

\theta (0,q)^{2}={\Bigl (}\sum _{m}q^{m^{2}}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{n}q^{n^{2}}{\Bigr )}=\sum _{m,n}q^{m^{2}+n^{2}}

.

Agrupando los términos por exponente, encontramos que $\theta (0,q)^{2}$ es una función generadora donde el coeficiente de $q^{k}$ cuenta cuántas formas hay de escribir $k$ como la suma de dos cuadrados cualesquiera. Este conteo incluye enteros negativos y orden, de tal manera que $(3,4)$ , $(4,3)$ , y $(-3,4)$ : cada uno cuenta como formas separadas de hacer $3^{2}+4^{2}=25$ .

Aplicación a funciones elípticas

Las funciones theta aparecen con mayor frecuencia en la teoría de las funciones elípticas . Con respecto a una de las variables complejas $z$ Una función theta posee una propiedad que expresa su comportamiento con respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociadas, lo que la convierte en una función cuasiperiódica . En abstracto, esta cuasiperiodicidad proviene de la clase de cohomología de un fibrado de líneas en un toro complejo , una condición de descenso .

Una interpretación de las funciones theta al tratar con la ecuación del calor es que "una función theta es una función especial que describe la evolución de la temperatura en un dominio segmentado sujeto a ciertas condiciones de contorno". ^{[ 2 ]}

A lo largo de este artículo, $(e^{\pi i\tau })^{\alpha }$ debe interpretarse como $e^{\alpha \pi i\tau }$ (para resolver problemas de elección de rama ). ^{[ nota 1 ]}

función theta de Jacobi

Existen varias funciones estrechamente relacionadas llamadas funciones theta de Jacobi, y muchos sistemas de notación diferentes e incompatibles para ellas. Una función theta de Jacobi (nombrada en honor a Carl Gustav Jacob Jacobi ) es una función definida para dos variables complejas $z$ y $τ$ , donde $z$ puede ser cualquier número complejo y $τ$ es la razón de semiperíodos , confinada al semiplano superior , lo que significa que tiene una parte imaginaria positiva. Está dada por la fórmula

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}

donde $q = exp(πiτ)$ es el nome y $η = exp(2 πiz)$ . Es una forma jacobiana . La restricción asegura que sea una serie absolutamente convergente . Para un $τ$ fijo , esta es una serie de Fourier para una función entera 1-periódica de $z$ . En consecuencia, la función theta es 1-periódica en $z$ :

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Al completar el cuadrado , también es $τ$ -cuasiperiódico en $z$ , con

{\displaystyle \vartheta (z+\tau

Así, en general,

{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau

para cualesquiera enteros $a$ y $b$ .

Para cualquier fijo $\tau$ , la función es una función entera en el plano complejo, por lo que, según el teorema de Liouville , no puede ser doblemente periódica en $1,\tau$ a menos que sea constante, y por lo tanto lo mejor que podemos hacer es hacerlo periódico en $1$ y cuasiperiódica en $\tau$ . En efecto, desde ${\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau)$ y $\Im (\tau )>0$ , la función $\vartheta (z,\tau)$ es ilimitada, como lo exige el teorema de Liouville.

De hecho, es la función entera más general con 2 cuasiperíodos, en el siguiente sentido: ^{[ 3 ]}

Teorema — Si $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ es entera y no constante, y satisface las ecuaciones funcionales ${\begin{cases}f(z+1)=f(z)\\f(z+\tau )=e^{az+2\pi ib}f(z)\end{cases}}$ por alguna constante $a,b\in \mathbb {C}$ .

Si $a=0$ , entonces $b=\tau$ y $f(z)=e^{2\pi iz}$ . Si $a=-2\pi i$ , entonces $f(z)=C\vartheta (z+{\frac {1}{2}}\tau +b,\tau )$ para algún valor distinto de cero $C\in \mathbb {C}$ .

Función theta $θ 1$ con diferentes nombres $q = e iπτ$ . El punto negro en la imagen de la derecha indica cómo cambia $q$ con $τ$ .

Funciones auxiliares

La función theta de Jacobi definida anteriormente a veces se considera junto con tres funciones theta auxiliares, en cuyo caso se escribe con un subíndice doble 0:

\vartheta _ {00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

Las funciones auxiliares (o de medio período) se definen por

{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau

Esta notación sigue a Riemann y Mumford ; la formulación original de Jacobi se basaba en el nomo $q = e iπτ$ en lugar de $τ$ . En la notación de Jacobi, las funciones $θ se escriben de la siguiente manera:$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}

Las definiciones anteriores de las funciones theta de Jacobi no son, en absoluto, únicas. Consulte Funciones theta de Jacobi (variaciones de notación) para obtener más información.

Si establecemos $z = 0$ en las funciones theta anteriores, obtenemos cuatro funciones de $τ$ únicamente, definidas en el semiplano superior. Estas funciones se denominan funciones nulas Theta , basadas en el término alemán para valor cero debido a la anulación del término de la izquierda en la expresión de la función theta. Alternativamente, obtenemos cuatro funciones de $q$ únicamente, definidas en el disco unitario. $|q|<1$ . A veces se las denomina constantes theta : ^{[ nota 2 ]}

{\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}

con el nombre $q = e iπτ$ . Observe que $\theta _{1}(q)=0$ . Estas pueden usarse para definir una variedad de formas modulares y para parametrizar ciertas curvas; en particular, la identidad de Jacobi es

\theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}

o equivalentemente,

\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}

que es la curva de Fermat de grado cuatro.

Identidades jacobinas

Las identidades de Jacobi describen cómo se transforman las funciones theta bajo el grupo modular , que se genera mediante $τ \mapsto τ + 1$ y $τ \mapsto - ⁠ 1 / τ ⁠$ . Las ecuaciones para la primera transformación se encuentran fácilmente ya que sumar uno a $τ$ en el exponente tiene el mismo efecto que sumar ⁠ 1 / 2 ⁠ a $z$ ( $n$ $\equiv$ $n$ $2$ $mod$ $2$ ). Para la segunda, sea

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Entonces

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}

Theta funciona en términos del nome

En lugar de expresar las funciones Theta en términos de $z$ y $τ$ , podemos expresarlas en términos de los argumentos $w$ y el nomo $q$ , donde $w = e πiz$ y $q = e πiτ$ . De esta forma, las funciones se convierten en:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Observamos que las funciones theta también pueden definirse en términos de $w$ y $q$ , sin una referencia directa a la función exponencial . Por lo tanto, estas fórmulas pueden utilizarse para definir las funciones theta sobre otros campos donde la función exponencial podría no estar definida en todas partes, como por ejemplo, campos de números $p$ -ádicos .

Representaciones de productos

El triple producto de Jacobi (un caso especial de las identidades de Macdonald ) nos dice que para números complejos $w$ y $q$ con $| q | < 1$ y $w \neq 0$ tenemos

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Se puede demostrar mediante métodos elementales, como por ejemplo en " Una introducción a la teoría de los números" de Hardy y Wright .

Si expresamos la función theta en términos del nome $q = e πiτ$ (observando que algunos autores en su lugar establecen $q = e 2 πiτ$ ) y tomamos $w = e πiz$ entonces

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Por lo tanto, obtenemos una fórmula de producto para la función theta en la forma

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

En términos de $w$ y $q$ :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}

donde $( ; ) \infty$ es el símbolo $q$ -Pochhammer y $θ ( ; )$ es la función $q$ -theta . Al expandir los términos, el triple producto de Jacobi también se puede escribir

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

que también podemos escribir como

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).

Esta forma es válida en general, pero claramente es de particular interés cuando $z$ es real. Fórmulas de producto similares para las funciones theta auxiliares son:

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

En particular, $\lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\sin(\pi z)$ por lo que podemos interpretarlas como deformaciones de un parámetro de las funciones periódicas. $\sin ,\cos$ , lo que valida una vez más la interpretación de la función theta como la función cuasiperiódica 2 más general.

Representaciones integrales

Las funciones theta de Jacobi tienen las siguientes representaciones integrales:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

La función de valor nulo Theta $\theta _{3}(q)$ como esta identidad integral:

\theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x

Esta fórmula fue analizada en el ensayo " Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas" del matemático Maxie Schmidt, originario de Georgia y residente en Atlanta.

Basándonos en esta fórmula, a continuación se presentan tres ejemplos destacados:

{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x

{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x

{\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x

Además, los ejemplos de theta $\theta _{3}({\tfrac {1}{2}})$ y $\theta _{3}({\tfrac {1}{3}})$ se mostrará:

\theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x

\theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=2.128936827211877158669\ldots

\theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x

\theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1.691459681681715341348\ldots

Valores explícitos

Valores lemniscáticos

El mérito de la mayoría de estos resultados corresponde a Ramanujan. Véase el cuaderno perdido de Ramanujan y una referencia relevante en la función de Euler . Los resultados de Ramanujan citados en la función de Euler, junto con algunas operaciones elementales, dan los resultados que se muestran a continuación, por lo que se encuentran en el cuaderno perdido de Ramanujan o se derivan directamente de él. Véase también Yi (2004). ^{[ 4 ]} Definir,

\quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}

con el nombre $q=e^{\pi i\tau },$ $\tau =n{\sqrt {-1}},$ y la función eta de Dedekind $\eta (\tau ).$ Entonces para $n=1,2,3,\dots$

{\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}

Si el recíproco de la constante de Gelfond se eleva a la potencia del recíproco de un número impar, entonces el correspondiente $\vartheta _{00}$ valores o $\phi$ Los valores se pueden representar de forma simplificada utilizando el seno lemniscático hiperbólico :

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

Con la carta $\varpi$ Se representa la constante de la lemniscata .

Tenga en cuenta que se cumplen las siguientes identidades modulares:

{\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}

dónde $s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)$ es la fracción continua de Rogers-Ramanujan :

{\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}

Valores equianarmónicos

El matemático Bruce Berndt descubrió otros valores ^{[ 5 ]} de la función theta:

{\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}

Valores adicionales

Muchos valores de la función theta ^{[ 6 ]} y especialmente de la función phi mostrada pueden representarse en términos de la función gamma:

{\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}

Teoremas de poder de Nome

Teoremas de potencia directa

Para la transformación del nome ^{[ 7 ]} en las funciones theta se pueden utilizar estas fórmulas:

\theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}

\theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}

\theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}

Los cuadrados de las tres funciones theta de valor cero con la función cuadrática como función interna también se forman en el patrón de las ternas pitagóricas según la identidad de Jacobi . Además, esas transformaciones son válidas:

\theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)

Estas fórmulas se pueden utilizar para calcular los valores theta del cubo del nome:

27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]

27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

Y las siguientes fórmulas se pueden utilizar para calcular los valores theta de la quinta potencia del nome:

[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

[\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

Transformación en la raíz cúbica del nomo

Las fórmulas para los valores de la función theta Nullwert a partir de la raíz cúbica del nomo elíptico se obtienen contrastando las dos soluciones reales de las ecuaciones cuárticas correspondientes:

{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}

{\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}

Transformación en la quinta raíz del nomo

La fracción continua de Rogers-Ramanujan se puede definir en términos de la función theta de Jacobi de la siguiente manera:

R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

La función de fracción continua alternada de Rogers-Ramanujan S(q) tiene las dos identidades siguientes:

S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

Los valores de la función theta de la raíz quinta del nomo se pueden representar como una combinación racional de las fracciones continuas R y S, los valores de la función theta de la quinta potencia del nomo y el nomo mismo. Las siguientes cuatro ecuaciones son válidas para todos los valores q entre 0 y 1:

{\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}

1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}

\theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}

\theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}

Teoremas dependientes del módulo

En combinación con el módulo elíptico, se pueden mostrar las siguientes fórmulas:

Estas son las fórmulas para el cuadrado del nomo elíptico:

\theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}

\theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}

\theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]

Y esta es una fórmula eficiente para el cubo del nomo:

\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}

Para todos los valores reales $t\in \mathbb {R}$ La fórmula ahora mencionada es válida.

Y para esta fórmula se darán dos ejemplos:

Primer ejemplo de cálculo con el valor $t=1$ insertado:

Segundo ejemplo de cálculo con el valor $t=\Phi ^{-2}$ insertado:

La constante $\Phi$ representa el número de la proporción áurea $\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ exactamente.

Algunas identidades de series

Sumas con función theta en el resultado

La suma infinita ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} de los recíprocos de los números de Fibonacci con índices impares tiene la identidad:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=

={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}

Al no utilizar la expresión de la función theta, se puede formular la siguiente identidad entre dos sumas:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots

También en este caso $\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ Es de nuevo el número de la proporción áurea .

Suma infinita de los recíprocos de los cuadrados de los números de Fibonacci:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}

Suma infinita de los recíprocos de los números de Pell con índices impares:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}

Sumas con función theta en el sumando

Las siguientes dos identidades de serie fueron probadas por István Mező : ^{[ 10 ]}

{\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}

Estas relaciones se cumplen para todo $0 < q < 1.$ Especializando los valores de $q$ , tenemos las siguientes sumas libres de parámetros.

{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)

{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}

Ceros de las funciones theta de Jacobi

Todos los ceros de las funciones theta de Jacobi son ceros simples y vienen dados por lo siguiente:

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}

donde $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios.

Relación con la función zeta de Riemann

La relación

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

Riemann utilizó este método para demostrar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann , mediante la transformada de Mellin.

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}

que se puede demostrar que es invariante bajo la sustitución de $s$ por $1 - s$ . La integral correspondiente para $z \neq 0$ se da en el artículo sobre la función zeta de Hurwitz .

Relación con la función elíptica de Weierstrass

Jacobi utilizó la función theta para construir (en una forma adaptada para facilitar el cálculo) sus funciones elípticas como cocientes de las cuatro funciones theta anteriores, y también podría haberla utilizado para construir las funciones elípticas de Weierstrass , ya que

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

donde la segunda derivada es con respecto a $z$ y la constante $c$ se define de manera que la expansión de Laurent de $℘(z)$ en $z = 0 tenga$ un término constante cero .

Relación con la función q -gamma

La cuarta función theta –y por lo tanto también las demás– está íntimamente conectada con la función $q$ -gamma de Jackson a través de la relación ^{[ 11 ].}

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Relación con la función eta de Dedekind

Sea $η (τ)$ la función eta de Dedekind , y el argumento de la función theta como el nome $q = e πiτ$ . Entonces,

{\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

y,

\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).

Véase también las funciones modulares de Weber .

Módulo elíptico

El módulo elíptico es

k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}

y el módulo elíptico complementario es

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}

Derivadas de las funciones theta

Estas son dos definiciones idénticas de la integral elíptica completa de segundo tipo:

E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}

Las derivadas de las funciones Theta Nullwert tienen estas series de MacLaurin:

\theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}

\theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}

\theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}

Las derivadas de las funciones de valor cero de theta ^{[ 12 ]} son las siguientes:

\theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}

\theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}

\theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}

Las dos últimas fórmulas mencionadas son válidas para todos los números reales del intervalo de definición real: $-1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R}$

Y estas dos últimas funciones derivadas de theta están relacionadas entre sí de la siguiente manera:

\vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}

Las derivadas de los cocientes de dos de las tres funciones theta mencionadas aquí siempre tienen una relación racional con esas tres funciones:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}

Para la derivación de estas fórmulas, consulte los artículos Nome (matemáticas) y Función lambda modular .

Integrales de funciones theta

Para las funciones theta, estas integrales ^{[ 13 ]} son válidas:

\int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881

\int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348

\int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029

Los resultados finales que se muestran a continuación se basan en las fórmulas generales de la suma de Cauchy.

Una solución a la ecuación del calor

La función theta de Jacobi es la solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional con condiciones de contorno espacialmente periódicas . ^{[ 14 ]} Tomando $z = x$ como real y $τ = it$ con $t$ real y positivo, podemos escribir

\vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

que resuelve la ecuación del calor

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).

Esta solución de función theta es 1-periódica en $x$ , y cuando $t \to 0$ se aproxima a la función delta periódica , o peine de Dirac , en el sentido de las distribuciones.

\lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)

.

Las soluciones generales del problema de valor inicial espacialmente periódico para la ecuación del calor se pueden obtener mediante la convolución de los datos iniciales en $t = 0$ con la función theta.

Relación con el grupo de Heisenberg

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg . Esta invariancia se presenta en el artículo sobre la representación theta del grupo de Heisenberg.

Generalizaciones

Si $F$ es una forma cuadrática definida positiva en $n$ variables, entonces la función theta asociada con $F$ es

\theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{-\pi zF(m)}

con la suma extendiéndose sobre la red de números enteros $\mathbb {Z} ^{n}$ . Esta función theta es una forma modular de peso $⁠$ $n$ $/$ $2$ $⁠$ (en un subgrupo definido apropiadamente) del grupo modular . En la expansión de Fourier,

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

Los números $R F (k)$ se denominan números de representación de la forma.

Serie theta de un personaje de Dirichlet

Para $χ un$ carácter primitivo de Dirichlet módulo $q$ y $ν = ⁠ 1 - χ (-1) / 2 ⁠$ entonces

\theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}

es un peso $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $+$ $ν$ forma modular de nivel $4$ $q$ $2$ y carácter

\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },

lo que significa ^{[ 15 ]}

\theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)

cuando sea

a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.

Función theta de Ramanujan

función theta de Riemann

Dejar

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}

Sea el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es definida positiva . $\mathbb {H} _{n}$ Se denomina semiplano superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior . El análogo $n$ -dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico. $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ ; para $n = 1$ , $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ . El análogo $n -dimensional de los$ subgrupos de congruencia es interpretado por

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.

Entonces, dado $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ , la función theta de Riemann se define como

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).

Aquí, $z\in \mathbb {C} ^{n}$ es un vector complejo $n -dimensional, y el superíndice$ T denota la transpuesta . La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con $n = 1$ y $\tau \in \mathbb {H}$ dónde $\mathbb {H}$ es el semiplano superior . Una aplicación importante de la función theta de Riemann es que permite dar fórmulas explícitas para funciones meromorfas en superficies de Riemann compactas , así como otros objetos auxiliares que figuran prominentemente en su teoría de funciones, tomando $τ$ como la matriz de período con respecto a una base canónica para su primer grupo de homología .

El theta de Riemann converge de forma absoluta y uniforme en subconjuntos compactos de $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}$ .

La ecuación funcional es

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )

lo cual es válido para todos los vectores. $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ y para todos $z\in \mathbb {C} ^{n}$ y $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ .

Serie Poincaré

La serie de Poincaré generaliza la serie theta a formas automorfas con respecto a grupos fuchsianos arbitrarios .

Derivación de los valores theta

Identidad de la función beta de Euler

A continuación, se derivarán tres valores importantes de la función theta a modo de ejemplo:

Así es como se define la función beta de Euler en su forma reducida:

\beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}

En general, para todos los números naturales $n\in \mathbb {N}$ Esta fórmula de la función beta de Euler es válida:

{\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x

Integrales elípticas ejemplares

A continuación se derivan algunos valores singulares de integrales elípticas ^{[ 16 ] :}

Combinación de las identidades integrales con el nomo

La función elíptica del nomo tiene estos valores importantes:

q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )

q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )

q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )

Para la demostración de la corrección de estos valores de nome, consulte el artículo Nome (matemáticas) .

Sobre la base de estas identidades integrales y la definición e identidades de las funciones theta mencionadas anteriormente en la misma sección de este artículo, se determinarán ahora valores cero de theta ejemplares:

\theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}

\theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}

\theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}

\theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}

Secuencias de partición y productos de Pochhammer

secuencia regular de números de partición

La secuencia de partición regular $P(n)$ en sí mismo indica el número de maneras en que un número entero positivo $n$ se puede dividir en sumandos enteros positivos. Para los números $n=1$ a $n=5$ , los números de partición asociados $P$ Todas las particiones numéricas asociadas se enumeran en la siguiente tabla:

La función generadora de la secuencia regular de números de partición se puede representar mediante el producto de Pochhammer de la siguiente manera:

\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}

La suma del producto de Pochhammer mencionado anteriormente se describe mediante el teorema de los números pentagonales de esta manera:

(x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}

Las siguientes definiciones básicas se aplican a los números pentagonales y a los números de la casa de naipes:

{\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)

{\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)

Como aplicación adicional ^{[ 17 ]} se obtiene una fórmula para la tercera potencia del producto de Euler :

(x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}

Secuencia de números de partición estricta

Y la secuencia de partición estricta $Q(n)$ indica el número de maneras en que dicho número entero positivo $n$ Se puede dividir en sumandos enteros positivos de tal manera que cada sumando aparezca como máximo una vez ^{[ 18 ]} y ningún valor de sumando se repita. La misma secuencia ^{[ 19 ]} se genera también si en la partición solo se incluyen sumandos impares, pero estos sumandos impares pueden aparecer más de una vez. Ambas representaciones para la secuencia de números de partición estricta se comparan en la siguiente tabla:

La función generadora de la secuencia de números de partición estricta se puede representar utilizando el producto de Pochhammer:

\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}

Secuencia numérica de sobrepartición

La serie de Maclaurin para el recíproco de la función $ϑ 01$ tiene como coeficientes con signo positivo los números de la secuencia de partición : ^{[ 20 ]}

{\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}

{\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots

Si, para un número dado $k$ , todas las particiones se configuran de tal manera que el tamaño del sumando nunca aumenta, y todos aquellos sumandos que no tienen un sumando del mismo tamaño a su izquierda pueden marcarse para cada partición de este tipo, entonces será el número resultante ^{[ 21 ]} de las particiones marcadas dependiendo de $k$ mediante la función de sobrepartición ${\overline {P}}(k)$ .

Primer ejemplo:

{\overline {P}}(4)=14

Estas 14 posibilidades de marcas de partición existen para la suma 4:

Segundo ejemplo:

{\overline {P}}(5)=24

Estas 24 posibilidades de marcas de partición existen para la suma 5:

Relaciones entre las secuencias de números de partición

En la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros (OEIS), la secuencia de números de partición regulares $P(n)$ está bajo el código A000041, la secuencia de particiones estrictas es $Q(n)$ bajo el código A000009 y la secuencia de superparticiones ${\overline {P}}(n)$ bajo el código A015128. Todas las particiones principales del índice $n=1$ son iguales.

La secuencia de superparticiones ${\overline {P}}(n)$ se puede escribir con la secuencia de partición regular P ^{[ 22 ]} y la secuencia de partición estricta Q ^{[ 23 ]} se puede generar de esta manera:

{\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)

En la siguiente tabla de secuencias numéricas, esta fórmula debe usarse como ejemplo:

En relación con esta propiedad, también se puede establecer la siguiente combinación de dos series de sumas mediante la función $ϑ 01$ :

\theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}

Notas

↑ Véase, por ejemplo, https://dlmf.nist.gov/20.1 . Tenga en cuenta que esto, en general, no es equivalente a la interpretación habitual. $(e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}$ cuando $z$ está fuera de la franja $-\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi$ . Aquí, $\operatorname {Log}$ denota la rama principal del logaritmo complejo .
↑ $\theta _{1}(q)=0$ a pesar de $q\in \mathbb {C}$ con $|q|<1$ .

Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

Moiseev Igor. "Funciones elípticas para Matlab y Octave" .

Este artículo incorpora material de Representaciones integrales de funciones theta de Jacobi en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[3] Véase, por ejemplo, https://dlmf.nist.gov/20.1 . Tenga en cuenta que esto, en general, no es equivalente a la interpretación habitual. $(e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}$ cuando $z$ está fuera de la franja $-\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi$ . Aquí, $\operatorname {Log}$ denota la rama principal del logaritmo complejo .

[5] $\theta _{1}(q)=0$ a pesar de $q\in \mathbb {C}$ con $|q|<1$ .

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