Representación theta

En matemáticas , la representación theta es una representación particular del grupo de Heisenberg de la mecánica cuántica . Recibe su nombre del hecho de que la función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg. La representación fue popularizada por David Mumford .

La representación theta es una representación del grupo de Heisenberg continuo sobre el cuerpo de los números reales. En esta representación, los elementos del grupo actúan sobre un espacio de Hilbert particular . La construcción que sigue procede primero definiendo operadores que corresponden a los generadores del grupo de Heisenberg. A continuación, se define el espacio de Hilbert sobre el que actúan, seguido de una demostración del isomorfismo con las representaciones habituales. ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$

Sea f ( z ) una función holomorfa , sean a y b números reales , y sea un número complejo fijo arbitrario en el semiplano superior ; es decir, de modo que la parte imaginaria de sea positiva. Definamos los operadores S _a y T _b de modo que actúen sobre funciones holomorfas como ${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle (S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial _{z})f(z)}$

y

${\displaystyle (T_{b}f)(z)=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+b\tau )=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).}$

Se puede observar que cada operador genera un subgrupo de un parámetro:

${\displaystyle S_{a_{1}}(S_{a_{2}}f\right)=\left(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\right)f=S_{a_{1}+a_{2}}f}$

y

${\displaystyle T_{b_{1}}(T_{b_{2}}f\right)=\left(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}}\right)f=T_{b_{1}+b_{2}}f.}$

Sin embargo, S y T no conmutan:

${\displaystyle S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi iab)T_{b}\circ S_{a}.}$

Así vemos que S y T junto con una fase unitaria forman un grupo de Lie nilpotente , el grupo de Heisenberg (real continuo) , parametrizable como donde U (1) es el grupo unitario . ${\displaystyle H=U(1)\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

Un elemento de grupo general actúa entonces sobre una función holomorfa f ( z ) como ${\displaystyle U_{\tau}(\lambda ,a,b)\in H}$

${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp(i\pi b^ {2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )}$

donde es el centro de H , el subgrupo conmutador . El parámetro on sólo sirve para recordar que cada valor diferente de da lugar a una representación diferente de la acción del grupo. ${\displaystyle \lambda \en U(1).}$ ${\displaystyle U(1)=Z(H)}$ ${\estilo de visualización [H,H]}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle U_{\tau}(\lambda,a,b)}$${\estilo de visualización \tau}$

La acción de los elementos del grupo es unitaria e irreducible en un cierto espacio de Hilbert de funciones. Para un valor fijo de τ, definamos una norma sobre funciones completas del plano complejo como ${\displaystyle U_{\tau}(\lambda,a,b)}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\tau }^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.}$

Aquí, es la parte imaginaria de y el dominio de integración es todo el plano complejo. Sea el conjunto de funciones enteras f con norma finita. El subíndice se utiliza solo para indicar que el espacio depende de la elección del parámetro . Esto forma un espacio de Hilbert . La acción de dada anteriormente es unitaria sobre , es decir, conserva la norma en este espacio. Finalmente, la acción de sobre es irreducible . ${\displaystyle \Im \tau }$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau}}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau}}$${\displaystyle U_{\tau}(\lambda,a,b)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau}}$${\displaystyle U_{\tau}(\lambda,a,b)}$${\displaystyle U_{\tau}(\lambda,a,b)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau}}$

Esta norma está estrechamente relacionada con la utilizada para definir el espacio de Segal-Bargmann ^{[ cita requerida ]} .

La representación theta anterior del grupo de Heisenberg es isomorfa a la representación canónica de Weyl del grupo de Heisenberg. En particular, esto implica que y son isomorfos como H -módulos . Sea ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

representan un elemento de grupo general de En la representación canónica de Weyl, para cada número real h , hay una representación que actúa sobre como ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} ).}$${\displaystyle \rho_{h}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \rho _ {h}(M(a,b,c))\psi (x)=\exp(ibx+ihc)\psi (x+ha)}$

para y${\displaystyle x\in \mathbb {R}}$${\displaystyle \psi \en L^{2}(\mathbb {R} ).}$

Aquí, h es la constante de Planck . Cada una de estas representaciones es unitariamente inequivalente . La representación theta correspondiente es:

${\displaystyle M(a,0,0)\to S_{ah}}$

${\displaystyle M(0,b,0)\to T_{b/2\pi }}$

${\displaystyle M(0,0,c)\to e^{ihc}}$

Defina el subgrupo como ${\displaystyle \Gamma _{\tau }\subconjunto H_{\tau }}$

${\displaystyle \Gamma _{\tau }=\{U_{\tau }(1,a,b)\in H_{\tau }:a,b\in \mathbb {Z} \}.}$

La función theta de Jacobi se define como

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz).}$

Es una función completa de z que es invariante bajo Esto se deduce de las propiedades de la función theta: ${\displaystyle \Gamma _{\tau }.}$

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

y

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )}$

Cuando a y b son números enteros, se puede demostrar que la theta de Jacobi es la única función de este tipo.

• Espacio de Segal-Bargmann
• Espacio resistente

• David Mumford, Conferencias Tata sobre Theta I (1983), Birkhäuser, Boston ISBN  3-7643-3109-7