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Articulo de referencia

Número Pell

Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral de plata son los números de Pell. En matemáticas , los números de Pell son una secuencia infinita de enteros , c...

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Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral de plata son los números de Pell.

En matemáticas , los números de Pell son una secuencia infinita de enteros , conocida desde la antigüedad, que comprende los denominadores de las aproximaciones racionales más cercanas a la raíz cuadrada de 2. Esta secuencia de aproximaciones comienza con 1/1 , 3/2 , 7/5 , 17/12 y 41/29 , por lo que la secuencia de números de Pell comienza con 1 , 2 , 5 , 12 y 29. Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son la mitad de los números de Pell complementarios o números de Pell -Lucas ; estos números forman una segunda secuencia infinita que comienza con 2 , 6 , 14 , 34 y 82 .

Tanto los números de Pell como sus números complementarios pueden calcularse mediante una relación de recurrencia similar a la de los números de Fibonacci , y ambas secuencias de números crecen exponencialmente , proporcionalmente a potencias de la razón de plata 1  + √2 . Además de utilizarse para aproximar la raíz cuadrada de dos , los números de Pell pueden emplearse para hallar números triangulares cuadrados , construir aproximaciones enteras del triángulo isósceles recto y resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria . [ 1 ] 

Al igual que con la ecuación de Pell , el nombre de los números de Pell proviene de la atribución errónea que Leonhard Euler hizo de la ecuación y los números derivados de ella a John Pell . Los números de Pell-Lucas también reciben su nombre de Édouard Lucas , quien estudió secuencias definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y los números de Pell asociados son secuencias de Lucas .

Números Pell

Los números de Pell se definen mediante la relación de recurrencia :

PAGnorte={0si norte=0;1si norte=1;2PAGnorte−1+PAGnorte−2de lo contrario.{\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}n=0;\\1&{\mbox{si }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{en otro caso.}}\end{cases}}}

En otras palabras, la secuencia de números de Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número de Pell es la suma del doble del número de Pell anterior, más el número de Pell anterior a ese. Los primeros términos de la secuencia son:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (secuencia A000129 en el OEIS ) .

De forma análoga a la fórmula de Binet , los números de Pell también pueden expresarse mediante la fórmula de forma cerrada.

PAGnorte=(1+2)norte−(1−2)norte22.{\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}

Para valores grandes de n , el término (1 + √ 2 ) n domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a potencias de la razón plateada 1 + √ 2 , análogo a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias de la razón áurea .

Es posible una tercera definición, a partir de la fórmula matricial .

(PAGnorte+1PAGnortePAGnortePAGnorte−1)=(2110)norte.{\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}

Muchas identidades pueden derivarse o probarse a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci,

PAGnorte+1PAGnorte−1−PAGnorte2=(−1)norte,{\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}

es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se obtiene al considerar los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula matricial). [ 2 ]

Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Aproximaciones racionales a octógonos regulares , con coordenadas derivadas de los números de Pell.

Los números de Pell surgen históricamente y, sobre todo, en la aproximación racional a2{\displaystyle {\sqrt {2}}}Si dos números enteros grandes x e yforman una solución a la ecuación de Pell

incógnita2−2y2=±1,{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}

entonces su proporciónincógnita/y{\displaystyle x/y}⁠ proporciona una aproximación cercana a ⁠2{\displaystyle {\sqrt {2}}}⁠ . La secuencia de aproximaciones de esta forma es

11,32,75,1712,4129,9970,…{\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }

donde el denominador de cada fracción es un número de Pell y el numerador es la suma de un número de Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma

PAGnorte−1+PAGnortePAGnorte.{\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}

La aproximación

2≈577408{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}

Este tipo de aproximaciones era conocido por los matemáticos indios en el siglo III o IV a. C. [ 3 ] Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones: [ 4 ] Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales . [ 5 ] En el siglo II d. C., Teón de Esmirna utilizó el término números de lado y diámetro para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia. [ 6 ]

Estas aproximaciones pueden derivarse de la expansión en fracción continua de2{\displaystyle {\sqrt {2}}}:

2=[1;2,2,2,…]=1+12+12+12+incógnita⋱.{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\ldots {}]=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}

Truncar esta expansión a cualquier número de términos produce una de las aproximaciones basadas en el número de Pell en esta secuencia; por ejemplo, con siete ⁠2{\displaystyle 2}s ,

[1;2,2,2,2,2,2,2]=577408.{\displaystyle [1;2,2,2,2,2,2,2]={\frac {577}{408}}.}

Como describe Knuth (1994), el hecho de que los números de Pell se aproximen a2{\displaystyle {\sqrt {2}}}Esto permite utilizarlos para obtener aproximaciones racionales precisas a un octágono regular con coordenadas de vértice (± P i , ± P i +1 ) y (± P i +1 , ± P i ) . Todos los vértices están a la misma distancia del origen y forman ángulos casi uniformes alrededor del origen. Alternativamente, los puntos (±(PAGi+PAGi−1),0){\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)},(0,±(PAGi+PAGi−1)){\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}, y(±PAGi,±PAGi){\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}Forman octágonos aproximados en los que los vértices están casi a la misma distancia del origen y forman ángulos uniformes.

Números primos y cuadrados

Un número primo de Pell es un número de Pell que es primo . Los primeros números primos de Pell son:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (secuencia A086383 en el OEIS ) .

Los índices de estos números primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ... (secuencia A096650 en el OEIS )

Estos índices son todos primos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número de Pell P n solo puede ser primo si n mismo es primo, porque si d es un divisor de n, entonces P d es un divisor de P n .

Los únicos números de Pell que son cuadrados , cubos o cualquier potencia superior de un entero son 0, 1 y 169 = 13² . [ 7 ]

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una estrecha relación con los números triangulares cuadrados . [ 8 ] Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números de Pell:

((PAGk−1+PAGk)⋅PAGk)2=(PAGk−1+PAGk)2⋅((PAGk−1+PAGk)2−(−1)k)2.{\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}

El lado izquierdo de esta identidad describe un número cuadrado, mientras que el lado derecho describe un número triangular , por lo que el resultado es un número triangular cuadrado.

Falcón y Díaz-Barrero (2006) demostraron otra identidad que relaciona los números de Pell con los cuadrados y muestran que la suma de los números de Pell hasta P 4 n +1 es siempre un cuadrado:

∑i=04norte+1PAGi=(∑r=0norte2r(2norte+12r))2=(PAG2norte+PAG2norte+1)2.{\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta P 5 , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , es el cuadrado de P 2 + P 3 = 2 + 5 = 7 . Los números P 2 n + P 2 n +1 forman las raíces cuadradas de estas sumas,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (secuencia A002315 en el OEIS ) ,

se conocen como los números de Newman–Shanks–Williams (NSW) .

ternas pitagóricas

Triángulos rectángulos enteros con catetos casi iguales, derivados de los números de Pell.

Si un triángulo rectángulo tiene lados de longitud entera a , b , c ( que necesariamente satisfacen el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ), entonces ( a , b , c ) se conoce como una terna pitagórica . Como describe Martin (1875), los números de Pell se pueden usar para formar ternas pitagóricas en las que a y b están separadas por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos casi isósceles . Cada una de estas ternas tiene la forma

(2PAGnortePAGnorte+1,PAGnorte+12−PAGnorte2,PAGnorte+12+PAGnorte2=PAG2norte+1).{\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}

La secuencia de ternas pitagóricas formada de esta manera es

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), …

Números de Pell-Lucas

Los números de Pell asociados o números de Pell-Lucas se definen mediante la relación de recurrencia.

Qnorte={2si norte=0;2si norte=1;2Qnorte−1+Qnorte−2de lo contrario.{\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0;\\2&{\mbox{si }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{en otro caso.}}\end{cases}}}

En palabras: los dos primeros números de la secuencia son ambos 2, y cada número sucesivo se forma sumando el doble del número de Pell-Lucas anterior al número de Pell-Lucas anterior a ese, o equivalentemente, sumando el siguiente número de Pell al número de Pell anterior: así, 82 es el compañero de 29, y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (secuencia A002203 en la OEIS ) : 2 , 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198, 478 , …

Al igual que la relación entre los números de Fibonacci y los números de Lucas ,

Qnorte=PAG2nortePAGnorte{\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}

para todos los números naturales n .

Los números de Pell correspondientes se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada.

Qnorte=(1+2)norte+(1−2)norte.{\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}

Todos estos números son pares ; cada uno de estos números es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales a2{\displaystyle {\sqrt {2}}}comentado anteriormente.

Al igual que la secuencia de Lucas, si un número de Pell-Lucas ⁠ 1 / 2 ⁠ Q n es primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2. Los números primos de Pell-Lucas son

3, 7, 17, 41, 239, 577, … (secuencia A086395 en el OEIS ) .

Para estos n son

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (secuencia A099088 en el OEIS ) .

Cálculos y conexiones

La siguiente tabla muestra las primeras potencias de la razón de plata δ = δ S = 1  + √ 2 y su conjugado δ = 1 − √ 2 .   

Los coeficientes son los números de Pell compañeros H n y los números de Pell P n que son las soluciones (no negativas) de H 2 − 2 P 2 = ±1 . Un número triangular cuadrado es un número

norte=t(t+1)2=s2,{\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}

que es a la vez el t - ésimo número triangular y el s -ésimo número cuadrado. Una terna pitagórica casi isósceles es una solución entera de a² + b² = c² donde a + 1 = b .

La siguiente tabla muestra que al dividir el número impar H n en dos mitades casi iguales se obtiene un número triangular cuadrado cuando n es par y una terna pitagórica casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta manera.

Definiciones

Los números de Pell de medio compañero H n y los números de Pell P n se pueden derivar de varias maneras fácilmente equivalentes.

Elevación a poderes

(1+2)norte=Hnorte+PAGnorte2{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}
(1−2)norte=Hnorte−PAGnorte2.{\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}

De esto se deduce que existen formas cerradas :

Hnorte=(1+2)norte+(1−2)norte2.{\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}

y

PAGnorte2=(1+2)norte−(1−2)norte2.{\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}

Recurrencias pareadas

Hnorte={1si norte=0;Hnorte−1+2PAGnorte−1de lo contrario.{\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
PAGnorte={0si norte=0;Hnorte−1+PAGnorte−1de lo contrario.{\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}

Fórmulas de recurrencia recíproca

Sea n al menos 2.

Hnorte=(3PAGnorte−PAGnorte−2)/2=3PAGnorte−1+PAGnorte−2;{\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}
PAGnorte=(3Hnorte−Hnorte−2)/4=(3Hnorte−1+Hnorte−2)/2.{\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}

Formulaciones matriciales

(HnortePAGnorte)=(1211)(Hnorte−1PAGnorte−1)=(1211)norte(10).{\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}

Entonces

(Hnorte2PAGnortePAGnorteHnorte)=(1211)norte.{\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}

Aproximaciones

La diferencia entre H n y P n √ 2 es

(1−2)norte≈(−0,41421)norte,{\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}

que se reduce rápidamente a cero. Así que

(1+2)norte=Hnorte+PAGnorte2{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}

es extremadamente cercano a 2 H n .

De esta última observación se deduce que las razones enteras ⁠ H n / P n ⁠ se aproximan rápidamente a √ 2 ; y ⁠ H n / H n −1 ⁠ y ⁠ P n / P n −1 ⁠ se aproximan rápidamente a 1 + √ 2 .  

H 2  −  2 P 2  =  ±1

Dado que √ 2 es irracional, no podemos tener ⁠ H / P ⁠ = √ 2 , es decir,  

H2PAG2=2PAG2PAG2.{\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}

Lo mejor que podemos lograr es:

H2PAG2=2PAG2−1PAG2oH2PAG2=2PAG2+1PAG2.{\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}

Las soluciones (no negativas) de H 2 − 2 P 2 = 1 son exactamente los pares ( H n , P n ) con n par, y las soluciones de H 2 − 2 P 2 = −1 son exactamente los pares ( H n , P n ) con n impar. Para ver esto, observe primero que

Hnorte+12−2PAGnorte+12=(Hnorte+2PAGnorte)2−2(Hnorte+PAGnorte)2=−(Hnorte2−2PAGnorte2),{\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}

de modo que estas diferencias, comenzando con H 2 0 − 2 P 2 0 = 1 , son alternativamente 1 y −1. Luego observe que toda solución positiva proviene de esta manera de una solución con enteros más pequeños ya que

(2PAG−H)2−2(H−PAG)2=−(H2−2PAG2).{\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}

La solución más pequeña también tiene enteros positivos, con una excepción: H = P = 1 que proviene de H 0  =  1 y P 0  =  0.

números triangulares cuadrados

La ecuación requerida

t(t+1)2=s2{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}

es equivalente a4t2+4t+1=8s2+1,{\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,} que se convierte en H 2 = 2 P 2 + 1 con las sustituciones H  =  2 t  + 1 y P  =  2 s . Por lo tanto, la n -ésima solución es

tnorte=H2norte−12ysnorte=PAG2norte2.{\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}

Observe que t y t  + 1 son primos relativos, de modo que ⁠ t ( t + 1) / 2 ⁠ = s 2 ocurre exactamente cuando son enteros adyacentes, uno un cuadrado H 2 y el otro dos cuadrados 2 P 2 . Como conocemos todas las soluciones de esa ecuación, también tenemos   

tnorte={2PAGnorte2si norte es incluso;Hnorte2si norte es extraño.{\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}

ysnorte=HnortePAGnorte.{\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}

Esta expresión alternativa se puede ver en la siguiente tabla.

ternas pitagóricas

La igualdad c 2 = a 2 + ( a + 1) 2 = 2 a 2 + 2 a + 1 ocurre exactamente cuando 2 c 2 = 4 a 2 + 4 a + 2 que se convierte en 2 P 2 = H 2 + 1 con las sustituciones H = 2 a + 1 y P = c . Por lo tanto, la n -ésima solución es a n = ⁠ H 2 n +1 − 1 / 2 ⁠ y c n = P 2 n +1 .

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, a n y b n = a n + 1 son H n H n +1 y 2 P n P n +1 mientras que c n = H n +1 P n + P n +1 H n .

Notas

  1. ↑ Por ejemplo, Sellers (2002) demuestra que el número de emparejamientos perfectos en el producto cartesiano de un grafo de caminos y el grafo K 4  − e se puede calcular como el producto de un número de Pell con el número de Fibonacci correspondiente. 
  2. ↑ Para la fórmula matricial y sus consecuencias, véanse Ercolano (1979) y Kilic y Tasci (2005). Horadam (1971) y Bicknell (1975) enumeran identidades adicionales para los números de Pell.
  3. ↑ Como se registra en los Shulba Sutras ; véase, por ejemplo, Dutka (1986), quien cita a Thibaut (1875) para esta información.
  4. ↑ Véase Knorr (1976) para la fecha del siglo V, que coincide con la afirmación de Proclo de que los pitagóricos descubrieron los números del lado y del diámetro. Para un análisis más detallado del conocimiento griego posterior sobre estos números, véanse Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) y Filep (1999).
  5. ↑ Por ejemplo, como observan varias de las referencias de la nota anterior, en la República de Platón hay una referencia al "diámetro racional de 5", con lo que Platón quiere decir 7, el numerador de la aproximación ⁠ 7 / 5 ⁠ cuyo denominador es 5.
  6. ↑ Heath, Thomas Little (1921), Historia de las matemáticas griegas , vol.  I, De Tales a Euclides, Oxford University Press, pág.  112Reimpresión de Dover, ISBN 9780486240732.
  7. ↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Si bien los números de Fibonacci se definen mediante una recurrencia muy similar a la de los números de Pell, Cohn escribe que un resultado análogo para los números de Fibonacci parece mucho más difícil de demostrar. (Sin embargo, esto fue demostrado en 2006 por Bugeaud et al.).
  8. ↑ Sesskin (1962). Véase el artículo sobre números triangulares cuadrados para una derivación más detallada.

Referencias

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