Cubo (álgebra)

A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen un número pequeño de posibilidades para los dos últimos dígitos. Excepto para los cubos divisibles por 5, donde solo 25 , 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con el último dígito impar puede aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con los cubos pares , hay una restricción considerable, ya que solo 00, o2, e4, o6 y e8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde o representa cualquier dígito impar y e cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4) . Esto sucede si y solo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso 26 ⁾ .

Los últimos dígitos de cada tercera potencia son:

Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos, ya que todos los cubos perfectos deben tener raíz digital 1 , 8 o 9. Es decir, sus valores módulo 9 solo pueden ser 0, 1 y 8. Además, la raíz digital del cubo de cualquier número se puede determinar por el resto que da el número al dividirlo por 3.

• Si el número x es divisible por 3, su cubo tiene raíz digital 9; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (en realidad}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• Si tiene un resto de 1 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 1; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• Si tiene un resto de 2 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 8; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

Se conjetura que todo entero (positivo o negativo) que no sea congruente con ±4 módulo 9 puede escribirse como una suma de tres cubos (positivos o negativos) de infinitas maneras. ^{[ 1 ]} Por ejemplo,${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$Los enteros congruentes con ±4 módulo 9 están excluidos porque no se pueden escribir como la suma de tres cubos.

El entero más pequeño para el cual no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se encontró que el entero más pequeño anterior sin suma de 3-cubo conocida, 42, satisfacía esta ecuación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

Una solución para${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$se da en la tabla siguiente para n ≤ 78 y n no congruente con 4 o 5 módulo 9. La solución seleccionada es la que es primitiva ( mcd( x , y , z ) = 1 ), no es de la forma${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$o${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$(ya que son familias infinitas de soluciones), satisface 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | , y tiene valores mínimos para | z | y | y | (probados en este orden). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Solo se seleccionan soluciones primitivas, ya que las no primitivas se pueden deducir trivialmente a partir de soluciones para un valor menor de n . Por ejemplo, para n = 24 , la solución${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$resultados de la solución${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$multiplicando todo por${\displaystyle 8=2^{3}.}$Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. De manera similar, para n = 48 , la solución ( x , y , z ) = (−2, −2, 4) se excluye, y esta es la solución ( x , y , z ) = (−23, −26, 31) que se selecciona.

La ecuación x³ + y³ = ^z³ no tiene soluciones no triviales (es decir, ^{xyz ≠} 0 ) en números enteros. De hecho, no tiene ninguna en números enteros de Eisenstein . ^{[ 6 ]}

Ambas afirmaciones también son ciertas para la ecuación ^{[ 7 ]} x ³ + y ³ = 3 z ³ .

La suma de los primeros n cubos es el n- ésimo número triangular al cuadrado:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Demostraciones. Charles Wheatstone ( 1854 ) ofrece una derivación particularmente sencilla, expandiendo cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad. 

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ números impares consecutivos}}}.}$

Esa identidad está relacionada con los números triangulares.${\displaystyle T_{n}}$De la siguiente manera:

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

y por lo tanto los sumandos que forman${\displaystyle n^{3}}$comienza justo después de que formen todos los valores anteriores${\displaystyle 1^{3}}$arriba a${\displaystyle (n-1)^{3}}$Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad bien conocida:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

Obtenemos la siguiente derivación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación de conteo de rectángulos de estos números para formular una demostración geométrica de la identidad (véase también Benjamin, Quinn y Wurtz, 2006 ); observa que también puede demostrarse fácilmente (aunque sin aportar mucha información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante demostración árabe antigua". Kanim (2004) ofrece una demostración puramente visual, Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos demostraciones adicionales, y Nelsen (1993) ofrece siete demostraciones geométricas.

Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

Se puede dar un resultado similar para la suma de los primeros y cubos impares ,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

pero x , y deben satisfacer la ecuación de Pell ^negativa x² − 2y² = −1 . Por ejemplo, para y = 5 y ²⁹ , entonces ,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

y así sucesivamente. Además, todo número par perfecto , excepto el más bajo, es la suma de los primeros 2 ^{⁠ p −1 / 2 ⁠}cubos impares ( p = 3, 5, 7, ...):

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

Existen ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

con el primero a veces identificado como el misterioso número de Platón . La fórmula F para hallar la suma de n cubos de números en progresión aritmética con diferencia común d y cubo inicial a ³ ,

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

es dado por

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

Una solución paramétrica para

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

es conocido por el caso especial de d = 1 , o cubos consecutivos, como lo encontró Pagliani en 1829. ^{[ 8 ]}

En la secuencia de enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., el primero es un cubo ( 1 = 1 ³ ); la suma de los dos siguientes es el siguiente cubo ( 3 + 5 = 2 ³ ); la suma de los tres siguientes es el siguiente cubo ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); y así sucesivamente.

Todo entero positivo puede escribirse como la suma de nueve (o menos) cubos positivos. Este límite superior de nueve cubos no se puede reducir porque, por ejemplo, 23 no puede escribirse como la suma de menos de nueve cubos positivos:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .