Silla de montar de mono

En matemáticas , la silla de montar del mono es la superficie definida por la ecuación

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2},\,}$

o en coordenadas cilíndricas

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi).}$

Pertenece a la clase de superficies de silla de montar , y su nombre deriva de la observación de que una silla de montar utilizada por un mono requeriría dos hendiduras para sus patas y una para su cola. El punto${\displaystyle (0,0,0)}$En el punto de silla de mono corresponde a un punto crítico degenerado de la función .${\displaystyle z(x,y)}$en​​${\displaystyle (0,0)}$⁠ . La silla de montar del mono tiene un punto umbilical aislado con curvatura gaussiana cero en el origen, mientras que la curvatura es estrictamente negativa en todos los demás puntos.

Se pueden relacionar las ecuaciones rectangulares y cilíndricas utilizando números complejos.${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi}:}$

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

Sustituyendo el 3 en la ecuación cilíndrica por cualquier número entero${\displaystyle k\geq 1,}$⁠ se puede crear una silla de montar con ⁠${\displaystyle k}$depresiones . ^{[ 1 ]}

Otra orientación de la silla de montar del mono es el pétalo Smelt definido por${\displaystyle x+y+z+xyz=0,}$de modo que el eje z de la silla de montar del mono corresponda a la dirección${\displaystyle (1,1,1)}$en el pétalo de Smelt. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Otra función, que no tiene tres sino cuatro áreas, en cada cuadrante del${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, en la que la función tiende a menos infinito, viene dada por${\displaystyle z=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$.

El término silla de montar, en contraposición a silla de montar de mono, se utiliza para designar una superficie de silla de montar ordinaria en la que z ( x , y ) presenta un punto de silla , es decir, un mínimo o máximo local en cada dirección del plano xy . En cambio, la silla de montar de mono presenta un punto de inflexión fijo en cada dirección.

• Weisstein, Eric W. "Monkey Saddle" . MathWorld .