Número pentagonal

Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al pentágono , pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones involucrados en la construcción de números pentagonales no son rotacionalmente simétricos . El n -ésimo número pentagonal p _n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consiste en los contornos de pentágonos regulares con lados de hasta n puntos, cuando los pentágonos se superponen de modo que comparten un vértice . Por ejemplo, el tercero está formado por contornos que comprenden 1, 5 y 10 puntos, pero el 1 y 3 de los 5 coinciden con 3 de los 10, lo que deja 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono y 2 en su interior.

p _n viene dada por la fórmula:

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}$

para n ≥ 1. Los primeros números pentagonales son:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 925, 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (secuencia A000326 en la OEIS ).

El n -ésimo número pentagonal es la suma de n números enteros a partir de n (es decir, de n a 2n-1). También se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los números triangulares. El n -ésimo número pentagonal es un tercio del (3 n − 1) -ésimo número triangular . Además, donde T _n es el n- ésimo número triangular:

${\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}}$

Los números pentagonales generalizados se obtienen a partir de la fórmula dada anteriormente, pero con n tomando valores en la secuencia 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., produciendo la secuencia:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 5, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (secuencia A001318 en la OEIS ).

Los números pentagonales generalizados son importantes para la teoría de particiones enteras de Euler , como se expresa en su teorema del número pentagonal .

El número de puntos dentro del pentágono más externo de un patrón que forma un número pentagonal es en sí mismo un número pentagonal generalizado.

• $estilo de visualización p_{n}}$para n>0 es el número de composiciones diferentes de en n partes que no incluyen 2 o 3.${\estilo de visualización n+8}$
• $estilo de visualización p_{n}}$es la suma de los primeros n números naturales congruentes con 1 mod 3.
• ${\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}}$

Los números pentagonales generalizados están estrechamente relacionados con los números hexagonales centrados . Cuando la matriz correspondiente a un número hexagonal centrado se divide entre su fila central y una fila adyacente, aparece como la suma de dos números pentagonales generalizados, siendo la parte más grande un número pentagonal propiamente dicho:

En general:

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3 (1-n)-1{\bigr)}}$

donde ambos términos de la derecha son números pentagonales generalizados y el primer término es un número pentagonal propiamente dicho ( n ≥ 1). Esta división de matrices hexagonales centradas da como resultado números pentagonales generalizados como matrices trapezoidales, que pueden interpretarse como diagramas de Ferrers para su partición. De esta manera, pueden usarse para demostrar el teorema del número pentagonal mencionado anteriormente.

Dado un entero positivo x , para comprobar si es un número pentagonal (no generalizado) podemos calcular

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

El número x es pentagonal si y solo si n es un número natural . En ese caso x es el n- ésimo número pentagonal.

Para números pentagonales generalizados, es suficiente comprobar si 24 x + 1 es un cuadrado perfecto.

Para los números pentagonales no generalizados, además de la prueba del cuadrado perfecto, también se requiere verificar si

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}$

Las propiedades matemáticas de los números pentagonales garantizan que estas pruebas sean suficientes para probar o refutar la pentagonalidad de un número. ^[1]

El Gnomon del n- ésimo número pentagonal es:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

Un número pentagonal cuadrado es un número pentagonal que también es un cuadrado perfecto. ^[2]

Los primeros son:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... ( Entrada OEIS A036353)

• Número hexagonal
• Número triangular

• Leonhard Euler: Sobre las notables propiedades de los números pentagonales