Número hexagonal centrado

En matemáticas y combinatoria , un número hexagonal centrado , o número de hexágono centrado , ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un número figurado centrado que representa un hexágono con un punto en el centro y todos los demás puntos rodeando el punto central en una red hexagonal . Las siguientes figuras ilustran esta disposición para los primeros cuatro números hexagonales centrados:

Los números hexagonales centrados no deben confundirse con los números hexagonales con vértices , que son números figurativos en los que los hexágonos asociados comparten un vértice.

La secuencia de números hexagonales comienza de la siguiente manera (secuencia A003215 en el OEIS ) :

El n -ésimo número hexagonal centrado viene dado por la fórmula ^{[ 2 ].}

${\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}$

Expresando la fórmula como

${\displaystyle H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)}$

muestra que el número hexagonal centrado para n es 1 más que 6 veces el ( n − 1) ésimo número triangular .

En la dirección opuesta, el índice n corresponde al número hexagonal centrado.${\displaystyle H=H(n)}$se puede calcular utilizando la fórmula

${\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.}$

Esto puede utilizarse como prueba para determinar si un número H es hexagonal centrado: lo será si y solo si la expresión anterior es un número entero.

Los números hexagonales centrados${\displaystyle H(n)}$satisfacer la relación de recurrencia ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}$

A partir de esto podemos calcular la función generadora.${\displaystyle F(x)=\sum _{n\geq 0}H(n)x^{n}}$La función generadora satisface

${\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}$

El último término es la serie de Taylor de${\displaystyle {\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x}$, así que obtenemos

${\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}}$

y terminar en

${\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.}$

En base 10 se puede observar que los dígitos más a la derecha (menos significativos) de los números hexagonales siguen el patrón 1–7–9–7–1 (que se repite con un período de 5). Esto se deduce del último dígito de los números triangulares (secuencia A008954 en la OEIS ) que repiten 0-1-3-1-0 cuando se toman módulo 5. En base 6, el dígito más a la derecha es siempre 1: 1 ₆ , 11 ₆ , 31 ₆ , 101 ₆ , 141 ₆ , 231 ₆ , 331 ₆ , 441 ₆ ... Esto se deduce del hecho de que todo número hexagonal centrado módulo 6 (=10 ₆ ) es igual a 1.

La suma de los primeros n números hexagonales centrados es n³ . Es decir, los números piramidales hexagonales centrados y ^los cubos son los mismos números, pero representan formas diferentes. Vistos desde la perspectiva opuesta, los números hexagonales centrados son diferencias de dos cubos consecutivos, de modo que los números hexagonales centrados son el gnomon de los cubos. (Esto se puede ver geométricamente en el diagrama). En particular, los números hexagonales centrados primos son primos cubanos .

La diferencia entre (2 n ) ² y el n th número hexagonal centrado es un número de la forma 3 n ² + 3 n − 1 , mientras que la diferencia entre (2 n − 1) ² y el n th número hexagonal centrado es un número prónico .

• Número hexagonal
• Hexágono mágico
• Número de estrella