Función cuasiperiódica

En matemáticas , una función cuasiperiódica es una función que tiene cierta similitud con una función periódica. ^[1] Una función es cuasiperiódica con cuasiperiodo si , donde es una función " más simple " que . Lo que significa ser " más simple " es vago. ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle f(z+\omega )=g(z,f(z))}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$

Un caso simple (a veces llamado cuasiperiódico aritmético) es si la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+C}$

Otro caso (a veces llamado cuasiperiódico geométrico) es si la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z+\omega )=Cf(z)}$

Un ejemplo de esto es la función theta de Jacobi , donde

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}$

muestra que para fijo tiene cuasiperiodo ; también es periódica con periodo uno. Otro ejemplo lo proporciona la función sigma de Weierstrass , que es cuasiperiódica en dos cuasiperiodos independientes, los periodos de la función ℘ de Weierstrass correspondiente . ${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$

Funciones con ecuación funcional aditiva

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+az+b\ }$

También se denominan cuasiperiódicas. Un ejemplo de esto es la función zeta de Weierstrass , donde

${\displaystyle \zeta (z+\omega ,\Lambda )=\zeta (z,\Lambda )+\eta (\omega ,\Lambda )\ }$

para un η independiente de z cuando ω es un período de la función ℘ de Weierstrass correspondiente.

En el caso especial en que decimos que f es periódica con período ω en la red de períodos . ${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)\ }$${\estilo de visualización \Lambda}$

Las señales cuasiperiódicas en el sentido del procesamiento de audio no son funciones cuasiperiódicas en el sentido definido aquí; en cambio, tienen la naturaleza de funciones casi periódicas y se debe consultar ese artículo. La noción más vaga y general de cuasiperiodicidad tiene aún menos que ver con las funciones cuasiperiódicas en el sentido matemático.

Un ejemplo útil es la función:

${\displaystyle f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)}$

Si la relación A / B es racional, ésta tendrá un periodo verdadero, pero si A / B es irracional no hay periodo verdadero, sino una sucesión de periodos “casi” cada vez más precisos.

• Movimiento cuasiperiódico

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