Funciones de Weierstrass

En matemáticas , las funciones de Weierstrass son funciones especiales de variable compleja que son auxiliares de la función elíptica de Weierstrass . Reciben su nombre de Karl Weierstrass . La relación entre las funciones sigma, zeta y es análoga a la que existe entre las funciones seno, cotangente y cosecante al cuadrado: la derivada logarítmica del seno es la cotangente, cuya derivada es menos la cosecante al cuadrado. ${\estilo de visualización \wp}$

La función sigma de Weierstrass asociada a una red bidimensional se define como el producto ${\displaystyle \Lambda \subconjunto \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{alineado}}}$

donde denota o son un par fundamental de períodos . ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}$

Mediante una cuidadosa manipulación del teorema de factorización de Weierstrass en relación también con la función seno, otra definición de producto infinito potencialmente más manejable es

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

para cualquier con y donde hemos utilizado la notación (ver la función zeta a continuación). ${\displaystyle \{i,j\}\en \{1,2,3\}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$

La función zeta de Weierstrass se define por la suma

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1} {z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z} {w^{2}}}\derecha).}$

La función zeta de Weierstrass es la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede reescribirse como:

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_ {2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}}$

¿Dónde está la serie de Eisenstein de peso 2 k  + 2? ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$

La derivada de la función zeta es , donde es la función elíptica de Weierstrass . ${\displaystyle -\wp (z)}$${\displaystyle \wp (z)}$

La función zeta de Weierstrass no debe confundirse con la función zeta de Riemann en la teoría de números.

La función eta de Weierstrass se define como

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ para cualquier }}z\in \mathbb {C} }$y cualquier w en la red${\estilo de visualización \Lambda}$

Esto está bien definido, es decir, depende únicamente del vector de red w . La función eta de Weierstrass no debe confundirse con la función eta de Dedekind ni con la función eta de Dirichlet . ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$

La función p de Weierstrass está relacionada con la función zeta por

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ para cualquier }}z\in \mathbb {C} }$

La función ℘ de Weierstrass es una función elíptica par de orden N=2 con un polo doble en cada punto reticular y ningún otro polo.

Consideremos la situación en la que un período es real, que podemos escalar a y el otro se lleva al límite de de modo que las funciones son solo uniperiódicas. Los invariantes correspondientes son de discriminante . Entonces tenemos y, por lo tanto, de la definición de producto infinito anterior la siguiente igualdad: ${\displaystyle \omega _ {1}=2\pi}$${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$${\displaystyle \Delta = 0}$${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

Una generalización para otras funciones de tipo seno en otras redes doblemente periódicas es

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}} \operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$

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