Función eta de Dedekind

En matemáticas , la función eta de Dedekind , que recibe su nombre de Richard Dedekind , es una forma modular de peso 1/2 y es una función definida en el semiplano superior de los números complejos , donde la parte imaginaria es positiva. También aparece en la teoría de cuerdas bosónicas .

Para cualquier número complejo τ con Im( τ ) > 0 , sea q = e ^{2 πiτ} ; entonces la función eta se define por,

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).}$

Elevando la ecuación eta a la potencia 24 y multiplicando por (2 π ) ¹² se obtiene

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

donde Δ es el discriminante modular . La presencia de 24 puede entenderse por conexión con otras ocurrencias, como en la red de Leech de 24 dimensiones .

La función eta es holomorfa en el semiplano superior, pero no puede continuarse analíticamente más allá de él.

La función eta satisface las ecuaciones funcionales ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}}$

En la segunda ecuación, la rama de la raíz cuadrada se elige de tal manera que √ − iτ = 1 cuando τ = i .

De forma más general, supongamos que a , b , c , d son enteros con ad − bc = 1 , de modo que

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

es una transformación perteneciente al grupo modular . Podemos suponer que c > 0 , o bien c = 0 y d = 1. Entonces

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}$

dónde

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}}$

Aquí s ( h , k ) es la suma de Dedekind

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Debido a estas ecuaciones funcionales, la función eta es una forma modular de peso 1/2 y nivel 1 para un cierto carácter de orden 24 del recubrimiento doble metapléctico del grupo modular, y puede usarse para definir otras formas modulares. En particular, el discriminante modular de la función elíptica de Weierstrass con

${\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}}$

puede definirse como

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,}$

y es una forma modular de peso 12. Algunos autores omiten el factor de (2 π ) ¹² , de modo que el desarrollo en serie tiene coeficientes enteros.

El triple producto de Jacobi implica que eta es (salvo un factor) una función theta de Jacobi para valores especiales de los argumentos: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),}$

donde χ ( n ) es "el" carácter de Dirichlet módulo 12 con χ (±1) = 1 y χ (±5) = −1 . Explícitamente,

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).}$

La función de Euler

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}}$

tiene una serie de potencias según el teorema de los números pentagonales de Euler :

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Tenga en cuenta que al usar este teorema para${\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}$, la función eta se puede expresar como

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _ {n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n-{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.}$

Esto se puede demostrar utilizando${\displaystyle x=2\pi i\tau }$en el teorema de los números pentagonales de Euler con la definición de la función eta.

Otra forma de ver la función Eta es a través del siguiente límite.

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\vartheta _{1}(z|\tau )}{z}}=2\pi \eta ^{3}(\tau )}$

Lo cual, alternativamente, es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac {(2n+1)^{2}}{8}}=\eta ^{3}(\tau )}$

Dónde${\displaystyle \vartheta _ {1}(z|\tau)}$es la función Theta de Jacobi y${\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau )}$

Dado que la función eta es fácil de calcular numéricamente a partir de series de potencias , a menudo resulta útil en los cálculos expresar otras funciones en términos de ella cuando sea posible, y los productos y cocientes de funciones eta, llamados cocientes eta, pueden utilizarse para expresar una gran variedad de formas modulares.

La imagen de esta página muestra el módulo de la función de Euler: el factor adicional de q ^{⁠ 1 / 24 ⁠} entre esta y eta prácticamente no produce ninguna diferencia visual. Por lo tanto, esta imagen puede considerarse como una representación de eta en función de q .

La teoría de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines da lugar a una gran clase de identidades previamente desconocidas para la función eta. Estas identidades se derivan de la fórmula de caracteres de Weyl-Kac y, más específicamente, de las llamadas "identidades del denominador". Los propios caracteres permiten la construcción de generalizaciones de la función theta de Jacobi que se transforman bajo el grupo modular ; esto es lo que conduce a las identidades. Un ejemplo de una de estas nuevas identidades ^{[ 3 ]} es

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}}$

donde q = e ^{2 πiτ} es el análogo q o "deformación" del peso más alto de un módulo.

De la conexión anterior con la función de Euler junto con los valores especiales de esta última, se puede deducir fácilmente que

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}$

Los cocientes eta se definen mediante cocientes de la forma

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

donde d es un entero no negativo y r _d es cualquier entero. Las combinaciones lineales de cocientes eta en argumentos cuadráticos imaginarios pueden ser algebraicas , mientras que las combinaciones de cocientes eta pueden incluso ser enteras . Por ejemplo, definimos,

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}$

con la potencia 24 de la función modular de Weber 𝔣( τ ) . Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}}$

y así sucesivamente, valores que aparecen en la serie de Ramanujan-Sato .

Los cocientes eta también pueden ser una herramienta útil para describir bases de formas modulares , que son difíciles de calcular y expresar directamente. En 1959, Morris Newman demostró que si un cociente eta η _g de la forma dada anteriormente, es decir,${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$Satisface

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},}$

entonces η _g es una forma modular de peso k para el subgrupo de congruencia Γ ₀ ( N ) (salvo holomorfismo ) donde ^{[ 4 ]}

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.}$

Este resultado se extendió en 2019 de modo que el recíproco se cumple para los casos en que N es coprimo con 6, y sigue abierto que el teorema original sea exacto para todos los enteros N. ^{[ 5 ]} Esto también se extiende para afirmar que cualquier cociente eta modular para cualquier subgrupo de congruencia de nivel n también debe ser una forma modular para el grupo Γ( N ) . Si bien estos teoremas caracterizan los cocientes eta modulares , la condición de holomorfía debe verificarse por separado utilizando un teorema que surgió del trabajo de Gérard Ligozat ^{[ 6 ]} e Yves Martin: ^{[ 7 ]}

Si η _g es un cociente eta que satisface las condiciones anteriores para el entero N y c y d son enteros coprimos, entonces el orden de anulación en la cúspide ⁠ c / d ⁠ con respecto a Γ ₀ ( N ) es

${\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{d}}\right)d\delta }}.}$

Estos teoremas proporcionan un medio eficaz para crear cocientes eta modulares holomorfos; sin embargo, esto puede no ser suficiente para construir una base para un espacio vectorial de formas modulares y formas cúspide . Un teorema útil para limitar el número de cocientes eta modulares a considerar establece que un cociente eta modular de peso k holomorfo en Γ ₀ ( N ) debe satisfacer

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},}$

donde ord _p ( N ) denota el mayor entero m tal que p ^m divide a N . ^{[ 8 ]} Estos resultados conducen a varias caracterizaciones de espacios de formas modulares que pueden ser generados por cocientes eta modulares. ^{[ 8 ]} Usando la estructura de anillo graduado en el anillo de formas modulares, podemos calcular bases de espacios vectoriales de formas modulares compuestas por${\displaystyle \mathbb {C} }$-combinaciones lineales de cocientes eta. Por ejemplo, si asumimos que N = pq es un semiprimo , entonces se puede utilizar el siguiente proceso para calcular una base de cocientes eta de M _k (Γ ₀ ( N )) . ^{[ 5 ]}

Una colección de más de 6300 identidades de productos para la función eta de Dedekind en un formato canónico y estandarizado está disponible en la máquina Wayback ^{[ 9 ]} del sitio web de Michael Somos.

• Fórmula de Chowla-Selberg
• Serie Ramanujan-Sato
• serie q
• función elíptica de Weierstrass
• Función de partición
• Fórmula del límite de Kronecker
• Álgebra de Lie afín

• Apostol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  41 (2.ª  ed.). Springer-Verlag. Cap. 3. ISBN 3-540-97127-0.
• Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  97 (2.ª  ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-97966-2.