Dedekind sum

En matemáticas , las sumas de Dedekind son ciertas sumas finitas de productos de una función diente de sierra . Dedekind las introdujo en la década de 1880 para expresar la ecuación funcional de la función eta de Dedekind , en un comentario a los trabajos recopilados de Bernhard Riemann . ^{[ 1 ]} Posteriormente, han sido muy estudiadas en teoría de números , pero también aparecen en algunos resultados de topología , ^{[ 2 ]} combinatoria geométrica , ^{[ 3 ]} geometría algebraica , ^{[ 4 ]} y complejidad computacional . ^{[ 5 ]} Las sumas de Dedekind se han generalizado en varias direcciones, satisfaciendo un gran número de ecuaciones funcionales; este artículo enumera solo una pequeña fracción de ellas.

Defina la función de diente de sierra.${\displaystyle (\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$como

${\displaystyle (\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{si }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ ;\\0,&{\mbox{si }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}

A continuación, definimos la suma de Dedekind.

${\displaystyle D:\mathbb {Z} ^{2}\times \mathbb {Z} _{>0}\to \mathbb {Q} }$

por

${\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {an}{c}}\right)\!\!\right)\!\left(\!\!\left({\frac {bn}{c}}\right)\!\!\right).}$

Para el caso a  = 1, a menudo se escribe

s ( b , c ) = D (1, b ; c ).

Nótese que D es simétrico en a y b , es decir,

${\displaystyle D(a,b;c)=D(b,a;c),}$

y que, por la rareza de (( )),

D (− a , b ; c ) = − D ( a , b ; c ).

Por la periodicidad de D en sus dos primeros argumentos, siendo el tercer argumento la duración del período para ambos,

D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ), para todos los enteros k , l .

Si d es un entero positivo, entonces

D ( ad , bd ; cd ) = dD ( a , b ; c ),

D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ), si ( d , c ) = 1,

D ( ad , b ; cd ) = D ( a , b ; c ), si ( d , b ) = 1.

Existe una prueba para la última igualdad que utiliza

${\displaystyle \sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {n+x}{c}}\right)\!\!\right)=(\!(x)\!),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .}$

Además, az = 1 (mod c ) implica D ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ).

Si b y c son coprimos , podemos escribir s ( b , c ) como

${\displaystyle s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},}$

donde la suma se extiende sobre las raíces c -ésimas de la unidad distintas de 1, es decir, sobre todas${\displaystyle \omega }$de tal manera que${\displaystyle \omega ^{c}=1}$y${\displaystyle \omega \not =1}$. ^{[ 6 ]}

De forma equivalente, si b y c son coprimos, entonces

${\displaystyle s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).}$

Esta reformulación refleja el hecho de que la función cotangente anterior es la transformada discreta de Fourier de la función diente de sierra. ^{[ 6 ]}

Dedekind ^{[ 1 ]} demostró que, si b y c son enteros positivos coprimos, entonces

${\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.}$

Existen varias demostraciones a partir de primeros principios, y la ley de reciprocidad de Dedekind es equivalente a la reciprocidad cuadrática . ^{[ 7 ]}

Reescribiendo la ley de reciprocidad como

${\displaystyle 12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,}$

De ello se deduce que el número 6 c s ( b , c ) es un número entero. 

Si k = (3, c ) entonces

${\displaystyle 12bc\,s(c,b)=0\mod kc}$

y

${\displaystyle 12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.}$

Una relación prominente en la teoría de la función eta de Dedekind es la siguiente. Sea q = 3, 5, 7 o 13 y sea n = 24/( q  − 1). Entonces, dados los enteros a , b , c , d con ad  − bc = 1 (pertenecientes, por lo tanto, al grupo modular ), con c elegido de modo que c = kq para algún entero k > 0, definimos     

${\displaystyle \delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}.}$

Entonces${\displaystyle n\delta }$es un número entero par .

Hans Rademacher encontró la siguiente generalización de la ley de reciprocidad para sumas de Dedekind: ^{[ 8 ]} Si a , b , y c son enteros positivos coprimos entre sí, entonces

${\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.}$

Por lo tanto, la suma triple anterior se anula si y solo si ( a , b , c ) es una terna de Markov, es decir, una solución de la ecuación de Markov.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc.}$

• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (1990), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97127-0(Véase el capítulo 3.)