Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind ( / ˈ d eɪ d ɪ k ɪ n d / ; ^{[ 1 ]} Alemán: [ ˈdeːdəˌkɪnt ] ; 6 de octubre de 1831 – 12 de febrero de 1916) fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones a la teoría de números , el álgebra abstracta (en particular la teoría de anillos ) y los fundamentos axiomáticos de la aritmética . Su contribución más conocida es la definición de números reales mediante la noción de corte de Dedekind . También se le considera un pionero en el desarrollo de la teoría moderna de conjuntos y de la filosofía de las matemáticas conocida como logicismo .

El padre de Dedekind era Julius Levin Ulrich Dedekind, administrador del Collegium Carolinum en Braunschweig . Su madre era Caroline Henriette Dedekind (de soltera Emperius), hija de un profesor del Collegium. ^{[ 2 ]} Richard Dedekind tenía tres hermanos mayores. De adulto, nunca usó los nombres de Julius Wilhelm. Nació en Braunschweig (a menudo llamada "Brunswick" en inglés), donde vivió la mayor parte de su vida y donde falleció. Sus restos descansan en el cementerio principal de Braunschweig .

Primero asistió al Collegium Carolinum en 1848, antes de trasladarse a la Universidad de Gotinga en 1850. Allí, Dedekind recibió clases de teoría de números del profesor Moritz Stern . Gauss seguía impartiendo clases, aunque principalmente a nivel elemental, y Dedekind se convirtió en su último alumno. Dedekind se doctoró en 1852 con una tesis titulada Über die Theorie der Eulerschen Integrale («Sobre la teoría de las integrales eulerianas »). Esta tesis no reflejaba el talento que Dedekind demostraría en sus publicaciones posteriores.

En aquel entonces, la Universidad de Berlín , y no la de Gotinga , era el principal centro de investigación matemática en Alemania. Así, Dedekind se trasladó a Berlín para estudiar durante dos años, donde coincidió con Bernhard Riemann ; ambos obtuvieron la habilitación en 1854. Dedekind regresó a Gotinga para impartir clases como profesor adjunto , dando cursos de probabilidad y geometría . Estudió durante un tiempo con Peter Gustav Lejeune Dirichlet , con quien entabló una gran amistad. Debido a ciertas deficiencias en sus conocimientos matemáticos, estudió funciones elípticas y abelianas . Sin embargo, también fue el primero en Gotinga en impartir clases sobre la teoría de Galois . Por esta época, se convirtió en uno de los primeros en comprender la importancia del concepto de grupos para el álgebra y la aritmética .

En 1858, comenzó a impartir clases en la Escuela Politécnica de Zúrich (actualmente ETH Zúrich). Cuando el Collegium Carolinum se convirtió en una Technische Hochschule (Instituto de Tecnología) en 1862, Dedekind regresó a su Braunschweig natal, donde pasó el resto de su vida enseñando en el Instituto. Se jubiló en 1894, pero continuó dando clases ocasionalmente y publicando. Nunca se casó, sino que vivió con su hermana Julia.

Dedekind fue elegido miembro de las Academias de Berlín (1880) y Roma, y ​​de la Academia Francesa de Ciencias (1900). Recibió doctorados honoris causa de las universidades de Oslo , Zúrich y Braunschweig .

Mientras impartía cálculo por primera vez en la escuela politécnica , Dedekind desarrolló la noción ahora conocida como corte de Dedekind (en alemán: Schnitt ), que hoy es una definición estándar de los números reales. La idea de un corte es que un número irracional divide los números racionales en dos clases ( conjuntos ), donde todos los números de una clase (mayor) son estrictamente mayores que todos los números de la otra clase (menor). Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 define a todos los números no negativos cuyos cuadrados son menores que 2 y a los números negativos en la clase menor, y a los números positivos cuyos cuadrados son mayores que 2 en la clase mayor. Cada punto en el continuo de la recta numérica contiene un número racional o irracional. Por lo tanto, no hay puntos vacíos, huecos ni discontinuidades. Dedekind publicó sus reflexiones sobre los números irracionales y los cortes de Dedekind en su folleto "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Continuidad y números irracionales"). ^{[ 3 ]} en terminología moderna, Vollständigkeit , integridad .

Dedekind definió dos conjuntos como "similares" cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos. ^{[ 4 ]} Invocó la semejanza para dar la primera ^{[ 5 ]} definición precisa de un conjunto infinito : un conjunto es infinito cuando es "similar a una parte propia de sí mismo", ^{[ 6 ]} en terminología moderna, es equinumérico a uno de sus subconjuntos propios . Así, se puede demostrar que el conjunto N de números naturales es similar al subconjunto de N cuyos miembros son los cuadrados de cada miembro de N , ( N → N ² ):

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ↓ N 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...                         

El trabajo de Dedekind en este campo anticipó el de Georg Cantor , considerado comúnmente el fundador de la teoría de conjuntos . Asimismo, sus contribuciones a los fundamentos de las matemáticas anticiparon trabajos posteriores de importantes defensores del logicismo , como Gottlob Frege y Bertrand Russell .

Dedekind editó las obras completas de Lejeune Dirichlet , Gauss y Riemann . El estudio que Dedekind hizo de la obra de Lejeune Dirichlet lo llevó a su posterior estudio de los cuerpos numéricos algebraicos y los ideales . En 1863, publicó las lecciones de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Lecciones sobre teoría de números"), sobre las cuales se ha escrito que:

Si bien el libro está indudablemente basado en las conferencias de Dirichlet, y aunque el propio Dedekind se refirió al libro a lo largo de su vida como obra de Dirichlet, el libro en sí fue escrito íntegramente por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet.

Fue en este período que desarrolló el corte de Dedekind en 1872. ^{[ 7 ]} Las ediciones de 1879 y 1894 de las Vorlesungen incluyeron suplementos que introdujeron la noción de un ideal, fundamental para la teoría de anillos . (La palabra "Anillo", introducida posteriormente por Hilbert , no aparece en la obra de Dedekind). Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto por enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros . El concepto fue desarrollado posteriormente por Hilbert y, especialmente, por Emmy Noether . Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer , ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el Último Teorema de Fermat . (Así pues, se puede decir que Dedekind fue el discípulo más importante de Kummer). En un artículo de 1882, Dedekind y Heinrich Martin Weber aplicaron ideales a superficies de Riemann , dando una demostración algebraica del teorema de Riemann-Roch .

En 1888, publicó una breve monografía titulada Was sind und was sollen die Zahlen? («¿Qué son los números y para qué sirven?» Ewald 1996: 790), ^{[ 8 ]} que incluía su definición de conjunto infinito . También propuso un fundamento axiomático para los números naturales, cuyas nociones primitivas eran el número uno y la función sucesora . Al año siguiente, Giuseppe Peano , citando a Dedekind, formuló un conjunto de axiomas equivalente pero más simple , que ahora son los estándar.

Dedekind realizó otras contribuciones al álgebra . Por ejemplo, alrededor de 1900, escribió los primeros artículos sobre retículos modulares . En 1872, durante unas vacaciones en Interlaken , Dedekind conoció a Georg Cantor . Dedekind ayudó a Cantor en sus disputas con Leopold Kronecker , quien se oponía filosóficamente a los números transfinitos de Cantor . ^{[ 9 ]} Hallazgos recientes de correspondencias pasadas indican que Cantor plagió la demostración de Dedekind sobre el infinito, lo que resultó en una amistad fracturada. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Literatura primaria en inglés:

• 1890. «Carta a Keferstein» en Jean van Heijenoort , 1967. Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 . Harvard Univ. Press: 98-103.
• 1963 (1901). Ensayos sobre la teoría de los números . Beman, WW, ed. y trad. Dover. Contiene traducciones al inglés de Stetigkeit und irrationale Zahlen y Was sind und was sollen die Zahlen?
• 1996. Teoría de los Enteros Algebraicos . Stillwell, John , ed. y trad. Universidad de Cambridge. Prensa. Una traducción de Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen .
• Ewald, William B., ed., 1996. De Kant a Hilbert: Un libro de referencia sobre los fundamentos de las matemáticas , 2 vols. Oxford Uni. Press.
  • 1854. "Sobre la introducción de nuevas funciones en matemáticas", 754-61.
  • 1872. "Continuidad y números irracionales", 765–78. (traducción de Stetigkeit... )
  • 1888. ¿Qué son los números y qué deberían ser?, 787–832. (traducción de Was sind und... )
  • 1872–82, 1899. Correspondencia con Cantor, 843–77, 930–40.

Literatura primaria en alemán:

• Gesammelte mathematische Werke (Obras matemáticas completas, vol. 1-3). ^{[ 12 ]} Consultado el 5 de agosto de 2009.

• Lista de cosas que llevan el nombre de Richard Dedekind.
• Corte de Dedekind
• dominio Dedekind
• Función eta de Dedekind
• Conjunto infinito de Dedekind
• Número de Dedekind
• Función psi de Dedekind
• Dedekind sum
• Función zeta de Dedekind
• Ideal (teoría de anillos)

• Biermann, Kurt-R (2008). «Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard». Diccionario completo de biografía científica . Vol.  4. Detroit: Charles Scribner's Sons. pp. 1–5 . ISBN  978-0-684-31559-1.

• Edwards, Harold M. (1983). "La invención de los ideales de Dedekind" . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 15 (1): 8– 17. doi : 10.1112/blms/15.1.8 .
• William Everdell (1998). Los primeros modernos . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-22480-5.
• Gillies, Donald A., 1982. Frege, Dedekind y Peano sobre los fundamentos de la aritmética . Assen, Países Bajos: Van Gorcum.
• Ferreirós, José, 2007. Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas . Basilea: Birkhäuser, caps. 3, 4 y 7.
• Grattan-Guinness, I. (2000). La búsqueda de las raíces matemáticas: 1870-1940 . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05858-0.

Existe una bibliografía en línea sobre la literatura secundaria acerca de Dedekind. Consulte también la "Introducción" de Stillwell a Dedekind (1996).

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Richard Dedekind" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Obras de Richard Dedekind en el Proyecto Gutenberg.
• Obras de o sobre Richard Dedekind en el Archivo de Internet
• Dedekind, Richard, Ensayos sobre la teoría de los números. Open Court Publishing Company, Chicago, 1901. Disponible en Internet Archive.
• Contribuciones de Dedekind a los fundamentos de las matemáticas http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/ .
• La historia del Robo Infinito narra "el arduo camino para incorporar el concepto de infinito en los fundamentos de las matemáticas", en la que participaron Georg Cantor , Dedekind, Leopold Kronecker y otros.