función de Euler

En matemáticas , la función de Euler viene dada por

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.}$

Bautizada en honor a Leonhard Euler , es un ejemplo modelo de una serie q y proporciona el ejemplo prototípico de una relación entre la combinatoria y el análisis complejo .

El coeficiente${\displaystyle p(k)}$en la expansión formal de la serie de potencias para${\displaystyle 1/\phi (q)}$da el número de particiones de k . Es decir,

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

dónde${\displaystyle p}$es la función de partición .

La identidad de Euler , también conocida como el teorema del número pentagonal , es

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$es un número pentagonal .

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind como

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).}$

La función de Euler puede expresarse como un símbolo q -Pochhammer :

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

El logaritmo de la función de Euler es la suma de los logaritmos en la expresión del producto, cada uno de los cuales puede expandirse alrededor de q = 0, obteniendo

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

que es una serie de Lambert con coeficientes -1/ n . Por lo tanto, el logaritmo de la función de Euler puede expresarse como

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

dónde${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$-[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )

Debido a la identidad${\displaystyle \sigma (n)=\sum _ {d|n}d=\sum _ {d|n}{\frac {n}{d}}}$, dónde${\displaystyle \sigma (n)}$es la función suma de divisores , esto también se puede escribir como

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$.

También si${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$y${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$, entonces ^{[ 1 ]}

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

Las siguientes identidades provienen de los Cuadernos de Ramanujan : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

Utilizando el teorema del número pentagonal , intercambiando suma e integral , y luego invocando métodos analíticos complejos, se obtiene ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001