Mapa de Abel-Jacobi

En matemáticas , la aplicación de Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En geometría riemanniana , es una construcción más general que mapea una variedad a su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi que establece que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo la aplicación de Abel-Jacobi.

En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye mediante integración de trayectorias. Es decir, supongamos que C tiene género g , lo que significa topológicamente que

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

Geométricamente, este grupo de homología consta de (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por lo tanto, podemos elegir 2 g bucles.${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$generándolo. Por otro lado, otra forma más algebraico-geométrica de decir que el género de C es g es que

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

donde K es el fibrado canónico en C.

Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomorfas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes.${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$. Dadas las formas y los bucles cerrados podemos integrar, y definimos 2 vectores g

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que la${\displaystyle \Omega _{j}}$generar una red no degenerada${\displaystyle \Lambda }$(es decir, son una base real para${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$), y el jacobiano se define por

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

El mapa de Abel-Jacobi se define entonces de la siguiente manera. Elegimos algún punto base.${\displaystyle p_{0}\in C}$y, casi imitando la definición de${\displaystyle \Lambda ,}$definir el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

Aunque esto aparentemente depende de un camino desde${\displaystyle p_{0}}$a${\displaystyle p,}$cualesquiera dos de esos caminos definen un bucle cerrado en${\displaystyle C}$y, por lo tanto, un elemento de${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$por lo que la integración sobre él da un elemento de${\displaystyle \Lambda .}$Así, la diferencia se borra en el paso al cociente por${\displaystyle \Lambda }$. Cambio de punto base${\displaystyle p_{0}}$Sí, cambia el mapa, pero solo mediante una traslación del toroide.

Dejar${\displaystyle M}$ser un colector liso y compacto .${\displaystyle \pi =\pi _ {1}(M)}$ser su grupo fundamental. Que${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$sea ​​su mapa de abelianización . Que${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$ser el subgrupo de torsión de${\displaystyle \pi ^{ab}}$. Dejar${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$sea ​​el cociente por torsión. Si${\displaystyle M}$es una superficie,${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$es isomorfo de forma no canónica a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$, dónde${\displaystyle g}$es el género; más generalmente,${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$es isomorfo de forma no canónica a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$, dónde${\displaystyle b}$es el primer número de Betti . Sea${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$sea ​​el homomorfismo compuesto.

Definición. La portada${\displaystyle {\bar {M}}}$del colector${\displaystyle M}$correspondiente al subgrupo${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$Se denomina recubrimiento abeliano libre universal (o máximo).

Ahora supongamos que${\displaystyle M}$tiene una métrica riemanniana . Sea${\displaystyle E}$sea ​​el espacio de 1-formas armónicas en${\displaystyle M}$, con doble${\displaystyle E^{*}}$canónicamente identificado con${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$. Integrando una 1-forma armónica integral a lo largo de trayectorias desde un punto base${\displaystyle x_{0}\in M}$obtenemos un mapa del círculo${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$.

De manera similar, para definir un mapa${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$Sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Sea${\displaystyle x}$ser un punto en la cobertura universal${\displaystyle {\tilde {M}}}$de${\displaystyle M}$. De este modo${\displaystyle x}$está representado por un punto de${\displaystyle M}$junto con un camino${\displaystyle c}$de${\displaystyle x_{0}}$a ello. Integrando a lo largo del camino${\displaystyle c}$, obtenemos una forma lineal en${\displaystyle E}$:

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

Esto da lugar a un mapa

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

que, además, desciende a un mapa

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle {\overline {M}}}$es la portada abeliana libre universal.

Definición. La variedad de Jacobi (toro de Jacobi) de${\displaystyle M}$es el toro

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

Definición. El mapa de Abel-Jacobi

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

se obtiene del mapa anterior pasando a cocientes.

El mapa de Abel-Jacobi es único salvo traslaciones del toro de Jacobi. El mapa tiene aplicaciones en geometría sistólica . El mapa de Abel-Jacobi de una variedad riemanniana aparece en la asintótica de tiempo grande del núcleo de calor en una variedad periódica ( Kotani y Sunada (2000) y Sunada (2012) ).

De manera muy similar, se puede definir un análogo en teoría de grafos del mapa de Abel-Jacobi como un mapa lineal a trozos desde un grafo finito a un toro plano (o un grafo de Cayley asociado con un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado con los comportamientos asintóticos de los paseos aleatorios en redes cristalinas y puede utilizarse para el diseño de estructuras cristalinas.

Proporcionamos una construcción analítica del mapa de Abel-Jacobi en superficies de Riemann compactas.

Dejar${\displaystyle M}$denota una superficie de Riemann compacta de género${\displaystyle g>0}$. Dejar${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$ser una base de homología canónica en${\displaystyle M}$, y${\displaystyle \{\zeta _ {1},...,\zeta _ {g}\}}$la base dual para${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$, que es un${\displaystyle g}$Espacio vectorial complejo de dimensión que consta de formas diferenciales holomorfas . Por base dual entendemos${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$, para${\displaystyle j,k=1,...,g}$Podemos formar una matriz simétrica cuyas entradas son${\displaystyle \int _ {b_ {k}} \zeta _ {j}}$, para${\displaystyle j,k=1,...,g}$. Dejar${\displaystyle L}$sea ​​la red generada por el${\displaystyle 2g}$-columnas de la${\displaystyle g\times 2g}$matriz cuyas entradas consisten en${\displaystyle \int _ {c_ {k}} \zeta _ {j}}$para${\displaystyle j,k=1,...,g}$dónde${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$. Nosotros llamamos${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$la variedad jacobiana de${\displaystyle M}$que es un conjunto compacto y conmutativo${\displaystyle g}$Grupo de Lie complejo de -dimensiones.

Podemos definir un mapa${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$eligiendo un punto${\displaystyle P_{0}\in M}$y configuración ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _ {P_ {0}}^{P}\zeta _ {1},...,\int _ {P_ {0}}^{P}\zeta _ {g}\right).}$ que es una aplicación holomorfa bien definida con rango 1 (rango máximo). Entonces podemos extender esto naturalmente a una aplicación de clases divisorias;

Si denotamos${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$el grupo de clases divisor de${\displaystyle M}$luego define un mapa${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {Div} (M)\to J(M)} estableciendo ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

Tenga en cuenta que si${\displaystyle r=s}$Entonces, este mapa es independiente de la elección del punto base, por lo que podemos definir el mapa independiente del punto base. ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$dónde${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$denota los divisores de grado cero de${\displaystyle M}$.

El siguiente teorema de Abel muestra que el núcleo del mapa${\displaystyle \varphi _{0}}$es precisamente el subgrupo de divisores principales. Junto con el problema de inversión de Jacobi, podemos decir que${\displaystyle J(M)}$es isomorfo como grupo al grupo de divisores de grado cero módulo su subgrupo de divisores principales.

El siguiente teorema fue demostrado por Abel (conocido como el teorema de Abel): Supongamos que

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

es un divisor (es decir, una combinación lineal entera formal de puntos de C ). Podemos definir

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

y por lo tanto hablamos del valor del mapa de Abel-Jacobi sobre divisores. El teorema es entonces que si D y E son dos divisores efectivos , lo que significa que el${\displaystyle n_{i}}$son todos enteros positivos, entonces

${\displaystyle u(D)=u(E)}$si y solo si${\displaystyle D}$es linealmente equivalente a${\displaystyle E.}$Esto implica que la aplicación de Abel-Jacobi induce una aplicación inyectiva (de grupos abelianos) del espacio de clases divisorias de grado cero al jacobiano.

Jacobi demostró que esta aplicación también es sobreyectiva (lo que se conoce como el problema de inversión de Jacobi), por lo que los dos grupos son naturalmente isomorfos.

El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad albanesa de una curva compleja compacta (dual de 1-formas holomorfas módulo periodos) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de grado 0 módulo equivalencia). Para variedades proyectivas compactas de dimensiones superiores, la variedad albanesa y la variedad de Picard son duales, pero no necesariamente isomorfas.

• E. Arbarello ; M. Cornalba ; P. Griffiths ; J.Harris (1985). "1.3, Teorema de Abel ". Geometría de curvas algebraicas, vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90997-4.
• Kotani, Motoko ; Sunada, Toshikazu (2000), "Mapas de Albanese y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor", Comm. Math. Phys. , 209 (3): 633–670 , Bibcode : 2000CMaPh.209..633K , doi : 10.1007/s002200050033
• Sunada, Toshikazu (2012), "Conferencia sobre cristalografía topológica", Japan. J. Math. , 7 : 1– 39, doi : 10.1007/s11537-012-1144-4
• Farkas, Hershel M; Kra, Irwin (23 de diciembre de 1991), Superficies de Riemann , Nueva York: Springer, ISBN 978-0387977034