Divisor (geometría algebraica)

En geometría algebraica , los divisores son una generalización de las subvariedades de codimensión -1 de las variedades algebraicas . Se utilizan comúnmente dos generalizaciones diferentes: los divisores de Cartier y los divisores de Weil (nombrados en honor a Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan de la noción de divisibilidad en los números enteros y en los cuerpos de números algebraicos .

Globalmente, toda subvariedad de codimensión 1 de un espacio proyectivo se define por la anulación de un polinomio homogéneo ; por el contrario, una subvariedad de codimensión r no tiene por qué ser definible por solo r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no toda subvariedad de un espacio proyectivo es una intersección completa ). Localmente, toda subvariedad de codimensión 1 de una variedad suave puede definirse por una ecuación en un entorno de cada punto. Nuevamente, la afirmación análoga no se cumple para subvariedades de codimensión superior. Como resultado de esta propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria analizando sus subvariedades de codimensión 1 y los correspondientes haces de líneas .

En variedades singulares, esta propiedad también puede fallar, por lo que es necesario distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una sola ecuación. Las primeras son divisores de Weil, mientras que las segundas son divisores de Cartier.

Topológicamente, los divisores de Weil corresponden a ciclos de homología , mientras que los divisores de Cartier corresponden a clases de cohomología definidas por haces de líneas. En una variedad lisa (o, más generalmente, en un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré establece que los divisores de Weil y Cartier son iguales.

El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes demostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . ^{[ 1 ]} El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio de Dedekind.

Un ciclo algebraico es una generalización de mayor codimensión de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.

Una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional , por lo que sus subvariedades de codimensión 1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en una superficie de Riemann compacta X es el grupo abeliano libre en los puntos de X.

De forma equivalente, un divisor en una superficie de Riemann compacta X es una combinación lineal finita de puntos de X con coeficientes enteros . El grado de un divisor en X es la suma de sus coeficientes.

Para cualquier función meromorfa no nula f en X , se puede definir el orden de anulación de f en un punto p en X , ord _p ( f ). Es un número entero, negativo si f tiene un polo en p . El divisor de una función meromorfa no nula f en la superficie de Riemann compacta X se define como

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

que es una suma finita. Los divisores de la forma ( f ) también se llaman divisores principales . Como ( fg ) = ( f ) + ( g ), el conjunto de divisores principales es un subgrupo del grupo de divisores. Dos divisores que difieren en un divisor principal se llaman linealmente equivalentes .

En una superficie de Riemann compacta, el grado de un divisor principal es cero; es decir, el número de ceros de una función meromorfa es igual al número de polos, contados con multiplicidad. Como resultado, el grado está bien definido en clases de equivalencia lineal de divisores.

Dado un divisor D en una superficie de Riemann compacta X, es importante estudiar el espacio vectorial complejo de funciones meromorfas en X con polos como máximo dados por D, llamado H₀( X , O ( D ) ) o el ^espacio de secciones del fibrado de líneas asociado a D. El grado de D dice mucho sobre la dimensión de este espacio vectorial. Por ejemplo, si D tiene grado negativo, entonces este espacio vectorial es cero (porque una función meromorfa no puede tener más ceros que polos). Si D tiene grado positivo, entonces la dimensión de H₀ ( X , O ( mD )) crece linealmente en m para m suficientemente grande. El teorema ^de Riemann-Roch es una formulación más precisa en este sentido. Por otro lado, la dimensión precisa de ^H₀ ( X , O ( D ) ) para divisores D de bajo grado es sutil y no está completamente determinada por el grado de D. Las características distintivas de una superficie de Riemann compacta se reflejan en estas dimensiones.

Un divisor clave en una superficie de Riemann compacta es el divisor canónico . Para definirlo, primero se define el divisor de una 1-forma meromorfa no nula siguiendo las líneas anteriores. Dado que el espacio de 1-formas meromorfas es un espacio vectorial unidimensional sobre el cuerpo de funciones meromorfas, cualesquiera dos 1-formas meromorfas no nulas producen divisores linealmente equivalentes. Cualquier divisor en esta clase de equivalencia lineal se denomina divisor canónico de X , K _X. El género g de X se puede leer a partir del divisor canónico: es decir, K _X tiene grado 2 g − 2. La tricotomía clave entre las superficies de Riemann compactas X es si el divisor canónico tiene grado negativo (por lo que X tiene género cero), grado cero (género uno) o grado positivo (género al menos 2). Por ejemplo, esto determina si X tiene una métrica de Kähler con curvatura positiva , curvatura cero o curvatura negativa. El divisor canónico tiene grado negativo si y solo si X es isomorfo a la esfera de Riemann CP ¹ .

Sea X un esquema integral localmente noetheriano . Un divisor primo o divisor irreducible en X es un subesquema cerrado integral Z de codimensión 1 en X. Un divisor de Weil en X es una suma formal sobre los divisores primos Z de X.

${\displaystyle \sum _ {Z}n_ {Z}Z,}$

donde la colección${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$es localmente finito . Si X es cuasicompacto (es decir, noetheriano), la finitud local es equivalente a${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$siendo finito. El grupo de todos los divisores de Weil se denota Div( X ) . Un divisor de Weil D es efectivo si todos sus coeficientes son no negativos. Se escribe D ≥ D′ si la diferencia D − D′ es efectiva.

Por ejemplo, un divisor en una curva algebraica sobre un cuerpo es una suma formal de un número finito de puntos cerrados . Un divisor en Spec Z es una suma formal de números primos con coeficientes enteros y, por lo tanto, corresponde a un ideal fraccionario no nulo en Q. Una caracterización similar es válida para los divisores en${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$donde K es un campo numérico.

Si Z ⊂ X es un divisor primo, entonces el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$tiene dimensión Krull uno. Si${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$es distinto de cero, entonces el orden de anulación de f a lo largo de Z , escrito ord _Z ( f ) , es la longitud de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$Esta longitud es finita, ^{[ 2 ]} y es aditiva con respecto a la multiplicación, es decir, ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^{[ 3 ]} Si k ( X ) es el cuerpo de funciones racionales en X , entonces cualquier f ∈ k ( X ) no nula puede escribirse como un cociente g / h , donde g y h están en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$y el orden de anulación de f se define como ord _Z ( g ) − ord _Z ( h ) . ^{[ 4 ]} Con esta definición, el orden de anulación es una función ord _Z  : k ( X ) ^× → Z . Si X es normal , entonces el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$es un anillo de valoración discreta , y la función ord _Z es la valoración correspondiente. Para una función racional no nula f en X , el divisor de Weil principal asociado a f se define como el divisor de Weil

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _ {Z}\operatorname {ord} _ {Z}(f)Z.}$

Se puede demostrar que esta suma es localmente finita y, por lo tanto, que define un divisor de Weil. El divisor principal de Weil asociado a f también se denota ( f ) . Si f es una función regular, entonces su divisor principal de Weil es efectivo, pero en general esto no es cierto. La aditividad del orden de la función evanescente implica que

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

Por consiguiente, div es un homomorfismo, y en particular su imagen es un subgrupo del grupo de todos los divisores de Weil.

Sea X un esquema noetheriano integral normal. Cada divisor de Weil D determina un haz coherente.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$en X. Concretamente, puede definirse como un subhaz del haz de funciones racionales ^{[ 5 ].}

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ o }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ en }}U\}.}$

Es decir, una función racional no nula f es una sección de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$sobre U si y solo si para cualquier divisor primo Z que interseca a U ,

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

donde n _Z es el coeficiente de Z en D. Si D es principal, es decir, D es el divisor de una función racional g , entonces existe un isomorfismo.

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

desde${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$es un divisor efectivo y por lo tanto${\displaystyle fg}$es regular gracias a la normalidad de X. Por el contrario, si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es isomorfo a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$como un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo, entonces D es principal. De ello se deduce que D es localmente principal si y solo si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es invertible; es decir, un fibrado de líneas.

Si D es un divisor efectivo que corresponde a un subesquema de X (por ejemplo, D puede ser un divisor reducido o un divisor primo), entonces el haz ideal del subesquema D es igual a${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$Esto conduce a una secuencia exacta corta de uso frecuente ,

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

La cohomología de haces de esta secuencia muestra que${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$contiene información sobre si las funciones regulares en D son restricciones de las funciones regulares en X.

También se incluyen gavillas.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Esto proporciona un elemento canónico de${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$es decir, la imagen de la sección global 1. Esta se llama sección canónica y puede denotarse s _D . Mientras que la sección canónica es la imagen de una función racional que no se desvanece en ninguna parte, su imagen en${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$se anula a lo largo de D porque las funciones de transición se anulan a lo largo de D. Cuando D es un divisor de Cartier suave, se puede identificar el conúcleo de la inclusión anterior; véase #Divisores de Cartier más abajo.

Supongamos que X es un esquema normal de separación integral de tipo finito sobre un cuerpo. Sea D un divisor de Weil. Entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es un haz reflexivo de rango uno , y dado que${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$se define como un subhaz de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$Se trata de un haz ideal fraccionario (véase más abajo). Por el contrario, todo haz reflexivo de rango uno corresponde a un divisor de Weil: el haz puede restringirse al lugar regular, donde se vuelve libre y, por lo tanto, corresponde a un divisor de Cartier (véase de nuevo más abajo), y como el lugar singular tiene codimensión al menos dos, la clausura del divisor de Cartier es un divisor de Weil.

El grupo de clases de divisores de Weil Cl( X ) es el cociente de Div( X ) por el subgrupo de todos los divisores principales de Weil. Se dice que dos divisores son linealmente equivalentes si su diferencia es principal, por lo que el grupo de clases de divisores es el grupo de divisores módulo equivalencia lineal. Para una variedad _X de dimensión n sobre un cuerpo, el grupo de clases de divisores es un grupo de Chow ; es decir, Cl( X ) es el grupo de Chow CHₙ₋₁ ₍ X ) de ciclos de dimensión ( n₋₁ ).

Sea Z un subconjunto cerrado de X. Si Z es irreducible de codimensión uno, entonces Cl( X − Z ) es isomorfo al grupo cociente de Cl( X ) por la clase de Z. Si Z tiene codimensión al menos 2 en X , entonces la restricción Cl( X ) → Cl( X − Z ) es un isomorfismo. ^{[ 6 ]} (Estos hechos son casos especiales de la secuencia de localización para grupos de Chow).

En un esquema noetheriano integral normal X , dos divisores de Weil D y E son linealmente equivalentes si y solo si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$son isomorfos como${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Las clases de isomorfismo de haces reflexivos en X forman un monoide cuyo producto se da como la envoltura reflexiva de un producto tensorial. Entonces${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$define un isomorfismo monoide del grupo de clases divisorias de Weil de X al monoide de clases de isomorfismo de haces reflexivos de rango uno en X.

Sea X un esquema noetheriano integral. Entonces X tiene un haz de funciones racionales.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$Todas las funciones regulares son funciones racionales, lo que da lugar a una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Un divisor de Cartier en X es una sección global de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$Una descripción equivalente es que un divisor de Cartier es una colección${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$dónde${\displaystyle \{U_{i}\}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle X,f_{i}}$es una sección de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$en${\displaystyle U_{i},}$y${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$en${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$hasta la multiplicación por una sección de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Los divisores de Cartier también tienen una descripción teórica de haces. Un haz ideal fraccionario es un sub-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$Un haz ideal fraccionario J es invertible si, para cada x en X , existe un entorno abierto U de x en el cual la restricción de J a U es igual a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$dónde${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$y el producto se toma en${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$Cada divisor de Cartier define un haz ideal fraccionario invertible utilizando la descripción del divisor de Cartier como una colección.${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$y, a la inversa, los haces ideales fraccionarios invertibles definen divisores de Cartier. Si el divisor de Cartier se denota D , entonces el haz ideal fraccionario correspondiente se denota${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$o L ( D ).

Según la secuencia exacta anterior, existe una secuencia exacta de grupos de cohomología de haces :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Se dice que un divisor de Cartier es principal si está en la imagen del homomorfismo.${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$Es decir, si es el divisor de una función racional en X. Dos divisores de Cartier son linealmente equivalentes si su diferencia es principal. Todo fibrado de líneas L en un esquema noetheriano integral X es la clase de algún divisor de Cartier. Como resultado, la secuencia exacta anterior identifica el grupo de Picard de fibrados de líneas en un esquema noetheriano integral X con el grupo de divisores de Cartier módulo equivalencia lineal. Esto se cumple de forma más general para esquemas noetherianos reducidos, o para esquemas cuasiproyectivos sobre un anillo noetheriano, ^{[ 12 ]} pero puede fallar en general (incluso para esquemas propios sobre C ), lo que disminuye el interés de los divisores de Cartier en su totalidad. ^{[ 13 ]}

Supongamos que D es un divisor de Cartier efectivo. Entonces existe una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Esta secuencia se deriva de la secuencia exacta corta que relaciona los haces estructurales de X y D y el haz ideal de D. Debido a que D es un divisor de Cartier,${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es localmente libre y, por lo tanto, tensorializando esa secuencia por${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$produce otra secuencia exacta corta, la anterior. Cuando D es suave,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(D)}$es el fibrado normal de D en X.

Como resultado básico del divisor de Cartier (grande), existe un resultado llamado lema de Kodaira: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Sea X una variedad proyectiva irreducible , sea D un divisor de Cartier grande en X y sea H un divisor de Cartier efectivo arbitrario en X. Entonces

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

para todos suficientemente grandes${\displaystyle m\in N(X,D)}$.

El lema de Kodaira proporciona algunos resultados sobre el divisor grande.

Sea φ  : X → Y un morfismo de esquemas noetherianos locales integrales. A menudo, aunque no siempre, es posible usar φ para transferir un divisor D de un esquema a otro. La posibilidad de hacerlo depende de si el divisor es de Weil o de Cartier, de si se va a transferir de X a Y o viceversa, y de las propiedades adicionales que pueda tener φ.

Si Z es un divisor primo de Weil en X , entonces${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$es un subesquema irreducible cerrado de Y. Dependiendo de φ, puede o no ser un divisor de Weil primo. Por ejemplo, si φ es la explosión de un punto en el plano y Z es el divisor excepcional, entonces su imagen no es un divisor de Weil. Por lo tanto, φ _* Z se define como${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$Si ese subesquema es un divisor primo, se define como el divisor cero en caso contrario. Extendiendo esto mediante linealidad, suponiendo que X es cuasicompacto, se define un homomorfismo Div( X ) → Div( Y ) llamado pushforward . (Si X no es cuasicompacto, entonces el pushforward puede no ser una suma localmente finita). Este es un caso especial del pushforward en grupos de Chow.

Si Z es un divisor de Cartier, entonces bajo hipótesis suaves sobre φ, hay un retroceso.${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$Desde el punto de vista de la teoría de haces, cuando hay un mapa de retroceso${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$, entonces este retroceso se puede utilizar para definir el retroceso de los divisores de Cartier. En términos de secciones locales, el retroceso de${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$se define como${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$La operación de retroceso siempre está definida si φ es dominante, pero no puede definirse en general. Por ejemplo, si X = Z y φ es la inclusión de Z en Y , entonces φ ^* Z no está definida porque las secciones locales correspondientes serían cero en todas partes. (Sin embargo, la operación de retroceso del fibrado de líneas correspondiente sí está definida).

Si φ es plano, entonces se define el retroceso de los divisores de Weil. En este caso, el retroceso de Z es φ ^* Z = φ ^{− 1} ( Z ) . La planitud de φ asegura que la imagen inversa de Z siga teniendo codimensión uno. Esto puede fallar para morfismos que no son planos, por ejemplo, para una contracción pequeña .

Para un esquema noetheriano integral X , el homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier al de divisores de Weil da un homomorfismo

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

conocida como la primera clase de Chern . ^{[ 17 ] [ 18 ]} La primera clase de Chern es inyectiva si X es normal, y es un isomorfismo si X es factorial (como se definió anteriormente). En particular, los divisores de Cartier pueden identificarse con los divisores de Weil en cualquier esquema regular, por lo que la primera clase de Chern es un isomorfismo para X regular.

Explícitamente, la primera clase de Chern se puede definir como sigue. Para un fibrado de líneas L en un esquema noetheriano integral X , sea s una sección racional no nula de L (es decir, una sección en algún subconjunto abierto no vacío de L ), que existe por trivialidad local de L. Definimos el divisor de Weil ( s ) en X por analogía con el divisor de una función racional. Entonces, la primera clase de Chern de L se puede definir como el divisor ( s ). Cambiar la sección racional s cambia este divisor por equivalencia lineal, ya que ( fs ) = ( f ) + ( s ) para una función racional no nula f y una sección racional no nula s de L. Por lo tanto _, el elemento c1 ( L ) en Cl( X ) está bien definido.

Para una variedad compleja X de dimensión n , no necesariamente lisa o propia sobre C , existe un homomorfismo natural, el mapa de ciclos , del grupo de clases divisoras a la homología de Borel-Moore :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

Este último grupo se define utilizando el espacio X ( C ) de puntos complejos de X , con su topología clásica (euclidiana). Asimismo, el grupo de Picard se corresponde con la cohomología integral , mediante la primera clase de Chern en el sentido topológico:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Los dos homomorfismos están relacionados por un diagrama conmutativo , donde la aplicación vertical derecha es el producto de gorra con la clase fundamental de X en la homología de Borel-Moore:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Para X suave sobre C , ambos mapas verticales son isomorfismos.

Un divisor de Cartier es efectivo si sus funciones definitorias locales f _i son regulares (no solo funciones racionales). En ese caso, el divisor de Cartier puede identificarse con un subesquema cerrado de codimensión 1 en X , el subesquema definido localmente por f _i = 0. Un divisor de Cartier D es linealmente equivalente a un divisor efectivo si y solo si su fibrado lineal asociado es${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$tiene una sección global s distinta de cero ; entonces D es linealmente equivalente al lugar geométrico cero de s .

Sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo k . Entonces, multiplicando una sección global de${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$La adición de un escalar distinto de cero en k no cambia su lugar geométrico de ceros. Como resultado, el espacio proyectivo de líneas en el espacio vectorial k de secciones globales H ⁰ ( X , O ( D )) puede identificarse con el conjunto de divisores efectivos linealmente equivalentes a D , llamado el sistema lineal completo de D . Un subespacio lineal proyectivo de este espacio proyectivo se llama un sistema lineal de divisores .

Una razón para estudiar el espacio de secciones globales de un fibrado lineal es comprender las posibles aplicaciones de una variedad dada al espacio proyectivo. Esto es esencial para la clasificación de variedades algebraicas. Explícitamente, un morfismo de una variedad X al espacio proyectivo P ⁿ sobre un cuerpo k determina un fibrado lineal L sobre X , la imagen inversa del fibrado lineal estándar.${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$en P ⁿ . Además, L tiene n +1 secciones cuyo lugar base (la intersección de sus conjuntos cero) es vacío. Recíprocamente, cualquier fibrado de líneas L con n +1 secciones globales cuyo lugar base común es vacío determina un morfismo X → P ⁿ . ^{[ 19 ]} Estas observaciones conducen a varias nociones de positividad para divisores de Cartier (o fibrados de líneas), como divisores amplios y divisores nef . ^{[ 20 ]}

Para un divisor D en una variedad proyectiva X sobre un cuerpo k , el espacio vectorial k -dimensional H ⁰ ( X , O ( D )) tiene dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch es una herramienta fundamental para calcular la dimensión de este espacio vectorial cuando X es una curva proyectiva. Generalizaciones sucesivas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , proporcionan información sobre la dimensión de H ⁰ ( X , O ( D )) para una variedad proyectiva X de cualquier dimensión sobre un cuerpo.

Dado que el divisor canónico está intrínsecamente asociado a una variedad, los mapas al espacio proyectivo dados por K _X y sus múltiplos positivos desempeñan un papel fundamental en la clasificación de las variedades. La dimensión de Kodaira de X es un invariante birracional clave que mide el crecimiento de los espacios vectoriales H ⁰ ( X , mK _X ) (es decir, H ⁰ ( X , O ( mK _X ))) a medida que m aumenta. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades n -dimensionales en n + 2 clases, que (aproximadamente) van desde la curvatura positiva hasta la negativa.

Sea X una variedad normal. Un divisor Q (de Weil) es una combinación lineal formal finita de subvariedades irreducibles de codimensión 1 de X con coeficientes racionales. (Un divisor R se define de forma similar). Un divisor Q es efectivo si los coeficientes son no negativos. Un divisor Q D es Q-Cartier si mD es un divisor de Cartier para algún entero positivo m . Si X es lisa, entonces todo divisor Q es Q -Cartier.

Si

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

es un divisor Q , entonces su redondeo hacia abajo es el divisor

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

dónde${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$es el mayor entero menor o igual que a . El haz${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$entonces se define como${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

El teorema del hiperplano de Lefschetz implica que, para una variedad proyectiva compleja lisa X de dimensión al menos 4 y un divisor amplio liso Y en X , la restricción Pic( X ) → Pic( Y ) es un isomorfismo. Por ejemplo, si Y es una variedad de intersección completa lisa de dimensión al menos 3 en el espacio proyectivo complejo, entonces el grupo de Picard de Y es isomorfo a Z , generado por la restricción del fibrado de líneas O (1) en el espacio proyectivo.

Grothendieck generalizó el teorema de Lefschetz en varias direcciones, involucrando cuerpos base arbitrarios, variedades singulares y resultados sobre anillos locales en lugar de variedades proyectivas. En particular, si R es un anillo local de intersección completa que es factorial en codimensión como máximo 3 (por ejemplo, si el lugar no regular de R tiene codimensión al menos 4), entonces R es un dominio de factorización único (y por lo tanto todo divisor de Weil en Spec( R ) es Cartier). ^{[ 21 ]} La cota de dimensión aquí es óptima, como se muestra en el ejemplo del cono cuádrico tridimensional, arriba.

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• Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks