secuencia de Euler

En matemáticas , la sucesión de Euler es una secuencia exacta particular de haces en un espacio proyectivo n -dimensional sobre un anillo . Muestra que el haz de diferenciales relativas es isomorfo de manera estable a una suma de pliegues del dual del haz de torsión de Serre . ${\estilo de visualización (n+1)}$

La secuencia de Euler se generaliza a la de un fibrado proyectivo así como a la de un fibrado de Grassmann (véase el último artículo para esta generalización).

Sea el espacio proyectivo n -dimensional sobre un anillo conmutativo A . Sea el haz de 1-diferenciales en este espacio, y así sucesivamente. La sucesión de Euler es la siguiente sucesión exacta de haces en : ${\displaystyle \mathbb {P}_{A}^{n}}$${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P}_{A}^{n}}$

$${\displaystyle 0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.}$$

La secuencia se puede construir definiendo un homomorfismo con y en grado 1, sobreyectivo en grados , y verificando que localmente en los gráficos estándar, el núcleo es isomorfo al módulo diferencial relativo. ^[1]${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}}$${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle e_{i}=1}$${\displaystyle \geq 1}$${\estilo de visualización n+1}$

Suponemos que A es un campo k .

La secuencia exacta anterior es dual a la secuencia

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0}$,

¿Dónde está el haz tangente de ? ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Expliquemos la versión sin coordenadas de esta secuencia, para un espacio vectorial de dimensión V sobre k : ${\displaystyle \mathbb {P}V}$${\estilo de visualización (n+1)}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.}$

Esta secuencia se entiende más fácilmente interpretando las secciones del término central como campos vectoriales 1-homogéneos en V . Una de estas secciones, el campo vectorial de Euler, asocia a cada punto de la variedad el vector tangente . Este campo vectorial es radial en el sentido de que se desvanece uniformemente en funciones 0-homogéneas, es decir, las funciones que son invariantes por reescalamiento homotético, o " independientes de la coordenada radial ". ${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización v}$

Una función (definida en un conjunto abierto) en da lugar por retroceso a una función 0-homogénea en V (de nuevo parcialmente definida). Obtenemos campos vectoriales 1-homogéneos multiplicando el campo vectorial de Euler por dichas funciones. Esta es la definición de la primera función, y su inyectividad es inmediata. ${\displaystyle \mathbb {P}V}$

La segunda función está relacionada con la noción de derivación, equivalente a la de campo vectorial. Recordemos que un campo vectorial sobre un conjunto abierto U del espacio proyectivo puede definirse como una derivación de las funciones definidas sobre este conjunto abierto. Retirada en V , esto es equivalente a una derivación sobre la preimagen de U que preserva funciones 0-homogéneas. Cualquier campo vectorial sobre puede así obtenerse, y el defecto de inyectividad de esta función consiste precisamente en los campos vectoriales radiales. ${\displaystyle \mathbb {P}V}$${\displaystyle \mathbb {P}V}$

Por lo tanto, el núcleo del segundo morfismo es igual a la imagen del primero.

Tomando la potencia exterior más alta , se ve que el haz canónico de un espacio proyectivo está dado por En particular, los espacios proyectivos son variedades de Fano , porque el fibrado canónico es antiamplio y este fibrado lineal no tiene secciones globales distintas de cero, por lo que el género geométrico es 0. Esto se puede encontrar mirando la secuencia de Euler y conectándola a la fórmula determinante ^[2] para cualquier secuencia exacta corta de la forma . $${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).}$$ $${\displaystyle \det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$

La secuencia de Euler se puede utilizar para calcular las clases de Chern del espacio proyectivo. Recordemos que dada una secuencia exacta corta de haces coherentes, podemos calcular la clase de Chern total de con la fórmula . ^[3] Por ejemplo, en encontramos ^[4] donde representa la clase de hiperplano en el anillo de Chow . Usando la secuencia exacta ^[5] podemos usar nuevamente la fórmula de la clase de Chern total para encontrar Dado que necesitamos invertir el polinomio en el denominador, esto es equivalente a encontrar una serie de potencias tal que . $${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})}$ $${\displaystyle 0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots }$${\displaystyle a([H])c(\Omega ^{1})=1}$

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter , ISBN 978-3-11-031622-3