paquete de Grassmann

En geometría algebraica, el fibrado de Grassmann d -plano de un fibrado vectorial E sobre un esquema algebraico X es un esquema sobre X :

${\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

de tal manera que la fibra es la grassmanniana de los subespacios vectoriales d -dimensionales de . Por ejemplo, es el fibrado proyectivo de E . En la otra dirección, un fibrado de Grassmann es un caso especial de un fibrado de banderas (parcial) . Concretamente, el fibrado de Grassmann puede construirse como un esquema Quot .${\displaystyle p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)}$

El fibrado de Grassmann del fibrado tangente es el fibrado de contacto .

Al igual que el grassmanniano habitual, el fibrado de Grassmann viene con fibrados vectoriales naturales sobre él; es decir, hay un subfibrado universal o tautológico S y un fibrado cociente universal Q que encajan en

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0}$.

Específicamente, si V está en la fibra p ⁻¹ ( x ), entonces la fibra de S sobre V es V mismo; por lo tanto, S tiene rango r = d = dim( V ) y es el fibrado lineal determinante . Ahora, por la propiedad universal de un fibrado proyectivo, la inyección corresponde al morfismo sobre X :${\displaystyle \wedge ^{d}S}$${\displaystyle \wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)}$

${\displaystyle G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)}$,

que no es más que una familia de incrustaciones de Plücker .

El fibrado tangente relativo T _{G d ( E )/ X} de G _d ( E ) viene dado por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

que moralmente viene dada por la segunda forma fundamental . En el caso d = 1, se da de la siguiente manera: si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para cada línea en V que pasa por el origen (un punto de ), existe la identificación natural (véase, por ejemplo , la clase de Chern#Espacio proyectivo complejo ):${\displaystyle l}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)}$

Y lo anterior es la versión familiar de esta identificación. (El cuidado general es una generalización de esto).

En el caso d = 1, la secuencia exacta temprana tensorializada con el dual de S = O (-1) da como resultado:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$,

que es la versión relativa de la secuencia de Euler .

• Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 y Todo eso: Un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol.  2 (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323