paquete tautológico

En matemáticas , el fibrado tautológico es un fibrado vectorial que aparece sobre una grassmanniana de forma tautológica natural: para una grassmanniana de${\displaystyle k}$- subespacios dimensionales de${\displaystyle V}$, dado un punto en la Grassmanniana correspondiente a un${\displaystyle k}$subespacio vectorial de dimensión${\displaystyle W\subseteq V}$, la fibra sobre${\displaystyle W}$es el subespacio${\displaystyle W}$en sí mismo. En el caso del espacio proyectivo, el fibrado tautológico se conoce como fibrado lineal tautológico.

El fibrado tautológico también se denomina fibrado universal, ya que cualquier fibrado vectorial (sobre un espacio compacto ^{[ 1 ]} ) es una imagen inversa del fibrado tautológico; es decir, una grassmanniana es un espacio clasificador para fibrados vectoriales. Por ello, el fibrado tautológico es importante en el estudio de las clases características .

Los haces tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el haz lineal tautológico (como haz invertible ) es

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

el dual del haz hiperplano o haz retorcido de Serre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$. El fibrado hiperplano es el fibrado lineal correspondiente al hiperplano ( divisor )${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$El fibrado de líneas tautológico y el fibrado de hiperplanos son precisamente los dos generadores del grupo de Picard del espacio proyectivo. ^{[ 2 ]}

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el fibrado lineal tautológico sobre un espacio proyectivo complejo se denomina fibrado lineal estándar . El fibrado esférico del fibrado estándar se suele llamar fibrado de Hopf . (Véase también el generador de Bott ).

De forma más general, también existen haces tautológicos en un haz proyectivo de un haz vectorial, así como en un haz de Grassmann .

El término más antiguo "haz canónico" ha caído en desuso, dado que "canónico" es ya un término muy sobrecargado, tanto en la terminología matemática como en la geometría algebraica, donde la confusión con la clase canónica era prácticamente inevitable.

Las grassmannianas, por definición, son los espacios de parámetros para subespacios lineales , de una dimensión dada, en un espacio vectorial dado.${\displaystyle W}$. Si${\displaystyle G}$es un grassmanniano, y${\displaystyle V_{g}}$es el subespacio de${\displaystyle W}$correspondiente a${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$, estos son ya casi los datos necesarios para un haz vectorial: es decir, un espacio vectorial para cada punto${\displaystyle g}$, variando continuamente. Todo lo que puede impedir la definición del haz tautológico a partir de esta indicación es la dificultad que presenta el${\displaystyle V_{g}}$van a intersecarse. Arreglar esto es una aplicación rutinaria del dispositivo de unión disjunta , de modo que la proyección del haz sea de un espacio total formado por copias idénticas de los${\displaystyle V_{g}}$, que ahora no se cruzan. Con esto, tenemos el haz.

Se incluye el caso del espacio proyectivo. Por convención${\displaystyle P(V)}$puede ser útil llevar el haz tautológico en el sentido del espacio dual . Es decir, con${\displaystyle V^{*}}$el espacio dual, puntos de${\displaystyle P(V)}$llevar los subespacios vectoriales de${\displaystyle V^{*}}$que son sus núcleos, cuando se consideran como (rayos de) funcionales lineales en${\displaystyle V^{*}}$. Si${\displaystyle V}$tiene dimensión${\displaystyle n+1}$, el haz de líneas tautológico es un haz tautológico, y el otro, que acabamos de describir, es de rango${\displaystyle n}$.

Dejar${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$sea ​​la grassmanniana de subespacios vectoriales n- dimensionales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$como conjunto es el conjunto de todos los subespacios vectoriales n -dimensionales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$Por ejemplo, si n = 1, se trata del espacio k proyectivo real .

Definimos el fibrado tautológico γ _{n , k} sobre${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$De la siguiente manera: El espacio total del fibrado es el conjunto de todos los pares ( V , v ) que consisten en un punto V de la grassmanniana y un vector v en V ; se le da la topología de subespacio del producto cartesiano.${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$La proyección π viene dada por π( V , v ) = V . Si F es la preimagen de V bajo π, se le da una estructura de espacio vectorial por a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Finalmente, para ver la trivialidad local, dado un punto X en la Grassmanniana, sea U el conjunto de todos los V tales que la proyección ortogonal p sobre X mapea V isomorfamente sobre X , ^{[ 3 ]} y luego defina

${\displaystyle {\begin{cases}\phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}

lo cual es claramente un homeomorfismo . Por lo tanto, el resultado es un fibrado vectorial de rango n .

La definición anterior sigue teniendo sentido si reemplazamos${\displaystyle \mathbb {R} }$con el campo complejo${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Por definición, el grassmanniano infinito${\displaystyle G_{n}}$es el límite directo de${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$como${\displaystyle k\to \infty .}$Tomando el límite directo de los haces γ _{n , k} se obtiene el haz tautológico γ _n de${\displaystyle G_{n}.}$Es un fibrado universal en el sentido de que para cada espacio compacto X , existe una biyección natural.

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

donde a la izquierda el corchete significa clase de homotopía y a la derecha es el conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales reales de rango n . La aplicación inversa se da de la siguiente manera: dado que X es compacto, cualquier haz vectorial E es un subhaz de un haz trivial:${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$para algún k y por lo tanto E determina un mapa

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

único salvo homotopía.

Nota : A su vez, se puede definir un fibrado tautológico como un fibrado universal; supongamos que existe una biyección natural.

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

para cualquier espacio paracompacto X . Dado que${\displaystyle G_{n}}$es el límite directo de los espacios compactos, es paracompacto y por lo tanto existe un único fibrado vectorial sobre${\displaystyle G_{n}}$que corresponde al mapa identidad en${\displaystyle G_{n}.}$Es precisamente el haz tautológico y, por restricción, se obtienen los haces tautológicos sobre todos${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

El fibrado hiperplano H en un espacio k proyectivo real se define de la siguiente manera. El espacio total de H es el conjunto de todos los pares ( L , f ) que consisten en una línea L que pasa por el origen en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$y f un funcional lineal en L. La proyección π viene dada por π( L , f ) = L (de modo que la fibra sobre L es el espacio vectorial dual de L ). El resto es exactamente igual que el fibrado lineal tautológico.

En otras palabras, H es el fibrado dual del fibrado de líneas tautológico.

En geometría algebraica, el fibrado hiperplano es el fibrado lineal (como haz invertible ) correspondiente al divisor hiperplano.

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

dado como, por ejemplo, x ₀ = 0, cuando x _i son las coordenadas homogéneas . Esto se puede ver de la siguiente manera. Si D es un divisor (de Weil) en${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$uno define el fibrado de líneas correspondiente O ( D ) en X mediante

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

donde K es el cuerpo de funciones racionales en X. Tomando D como H , tenemos:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

donde x ₀ se considera, como es habitual, una sección global del haz retorcido O (1). (De hecho, el isomorfismo anterior forma parte de la correspondencia habitual entre divisores de Weil y divisores de Cartier). Finalmente, el dual del haz retorcido corresponde al fibrado lineal tautológico (véase más adelante).

En geometría algebraica, esta noción existe sobre cualquier cuerpo k . La definición concreta es la siguiente. Sea${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$. Tenga en cuenta que tenemos:

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

donde Spec es Spec relativo . Ahora, pongamos:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

donde I es el haz ideal generado por secciones globales${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$. Entonces L es un subesquema cerrado de${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$sobre el mismo esquema base${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$; además, los puntos cerrados de L son exactamente aquellos ( x , y ) de${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$de tal manera que o bien x es cero o la imagen de x en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es y . Por lo tanto, L es el fibrado lineal tautológico como se definió antes si k es el campo de los números reales o complejos.

En términos más concisos, L es la explosión del origen del espacio afín.${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$donde el lugar geométrico x = 0 en L es el divisor excepcional . (cf. Hartshorne, Cap. I, final del § 4.)

En general,${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$es el fibrado vectorial algebraico correspondiente a un haz localmente libre E de rango finito. ^{[ 4 ]} Dado que tenemos la secuencia exacta :

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

El fibrado lineal tautológico L , tal como se definió anteriormente, corresponde al dual${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$del haz retorcido de Serre . En la práctica, ambas nociones (haz de líneas tautológico y dual del haz retorcido) se utilizan indistintamente.

Sobre un cuerpo, su fibrado de líneas dual es el fibrado de líneas asociado al divisor hiperplano H , cuyas secciones globales son las formas lineales . Su clase de Chern es −H . Este es un ejemplo de un fibrado de líneas antiamplio . Sobre${\displaystyle \mathbb {C} ,}$Esto es equivalente a decir que es un fibrado de líneas negativo, lo que significa que menos su clase de Chern es la clase de De Rham de la forma estándar de Kähler .

• El fibrado de líneas tautológico γ _{1, k} es localmente trivial pero no trivial , para k ≥ 1. Esto sigue siendo cierto sobre otros cuerpos.

De hecho, es sencillo demostrar que, para k = 1, el fibrado lineal tautológico real no es otro que el conocido fibrado cuyo espacio total es la cinta de Möbius . Para una demostración completa de lo anterior, véase ^{[ 5 ] .}

• El grupo de paquetes de líneas de Picard en${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$es cíclico infinito , y el fibrado de líneas tautológico es un generador.

• En el caso del espacio proyectivo, donde el fibrado tautológico es un fibrado lineal , el haz invertible de secciones asociado es${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$, el inverso tensorial ( es decir, el fibrado vectorial dual) del fibrado hiperplano o haz de torsión de Serre${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$; en otras palabras, el fibrado hiperplano es el generador del grupo de Picard de grado positivo (como divisor ) y el fibrado tautológico es su opuesto: el generador de grado negativo.

• Paquete Hopf
• Clase Stiefel-Whitney
• secuencia de Euler
• Clase de Chern (las clases de Chern de haces tautológicos son los generadores algebraicamente independientes del anillo de cohomología de la grassmanniana infinita).
• Teorema de Borel
• El espacio de Thom (los espacios de Thom de haces tautológicos γ _n cuando n →∞ se denominan espectro de Thom ).
• paquete de Grassmann

• Atiyah, Michael Francis (1989), Teoría K , Advanced Book Classics (2.ª  ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, MR 1043170 
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica (PDF) , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052  .
• Milnor, John W.; Stasheff , James D. (1974). Clases características . Annals of Mathematics Studies. Vol.  76. Princeton University Press; University of Tokyo Press. ISBN 978-0-691-08122-9. MR 0440554 . 
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica: un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3