Paquete de contactos

En geometría diferencial , un fibrado de contacto es un tipo particular de fibrado construido a partir de una variedad diferenciable . Al igual que el fibrado tangente es la variedad que describe el comportamiento local de curvas parametrizadas, un fibrado de contacto (de orden 1) es la variedad que describe el comportamiento local de curvas no parametrizadas. De forma más general, un fibrado de contacto de orden k es la variedad que describe el comportamiento local de subvariedades k -dimensionales .

Dado que el fibrado de contacto se obtiene combinando las grassmannianas de los espacios tangentes en cada punto, es un caso especial del fibrado de Grassmann y del fibrado proyectivo .

${\displaystyle M}$es un${\displaystyle n}$-variedad lisa dimensional .${\displaystyle TM}$es su fibrado tangente .${\displaystyle T^{*}M}$es su fibrado cotangente .

Un elemento de contacto de orden k en${\displaystyle p\in M}$es un${\displaystyle k}$avión${\displaystyle E\subset T_{p}M}$. Para${\displaystyle k=n-1}$Estos son hiperplanos.

Dado un espacio vectorial${\displaystyle V}$, el espacio de todos los subespacios k -dimensionales del mismo es${\displaystyle \mathrm {Gr} _ {k}(V)}$Es la Grassmanniana .

El${\displaystyle k}$El haz de contacto -ésimo es la variedad de todos los elementos de contacto de orden k :$${\displaystyle C_{k}(M)=\bigsqcup _{p\in M}\mathrm {Gr} _{k}(T_{p}M)}$$con la proyección${\displaystyle \pi :C_{k}(M)\to M}$. Este es un haz de fibras liso con fibras típicas${\displaystyle \mathrm {Gr} _ {k}(\mathbb {R} ^{n})}$. Para${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$esto produce${\displaystyle n-1}$paquetes distintos. En cada punto de${\displaystyle M}$, la fibra es el espacio de todos los elementos de contacto de orden k que pasan por el punto.${\displaystyle C_{k}(M)}$tiene dimensión${\displaystyle n+(nk)\times k}$.

${\displaystyle C_{k}(M)}$También se puede construir como un paquete asociado del paquete de marcos :$${\displaystyle \operatorname {Fr} (TM)\times _{GL(n,\mathbb {R} )}\operatorname {Gr} _{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$$mediante la acción estándar de${\textstyle GL(n,\mathbb {R} )}$en${\textstyle \operatorname {Gr} _{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$. El subgrupo escalar${\textstyle \mathbb {R} \times I_{n\times n}}$actúa trivialmente, por lo que su grupo de estructura (efectiva) es el grupo lineal proyectivo.${\textstyle PGL(n,\mathbb {R} )}$Nótese que todos están asociados al mismo principio.${\textstyle GL(n,\mathbb {R} )}$-manojo.

Cuando${\displaystyle k=1}$Existe una identificación canónica con el fibrado tangente proyectivizado.${\displaystyle \mathbb {P} (TM)}$También se le llama haz de elementos lineales . Cada fibra${\displaystyle \mathrm {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})}$se identifica naturalmente con${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\,n-1}}$. Si${\displaystyle M}$Si tiene una métrica riemanniana , entonces su fibrado tangente unitario${\displaystyle UT(M)}$es una doble cubierta de${\displaystyle C_{1}(M)}$olvidando la señal.

Cuando${\displaystyle k=n-1}$Existe una identificación natural con el haz cotangente proyectivizado.${\displaystyle \mathbb {P} (T^{*}M)}$En este caso, el espacio total posee una estructura de contacto natural inducida por la 1-forma tautológica en${\displaystyle T^{*}M}$. En detalle, un hiperplano${\displaystyle H\subset T_{p}M}$corresponde a una línea de covectores en${\displaystyle T_{p}^{*}M}$, cada uno de cuyos núcleos es${\displaystyle H}$, donación${\displaystyle C_{n-1}(M)\cong \mathbb {P} (T^{*}M)}$También se le denomina haz de elementos hiperplanos .

Alrededor de cada punto de${\displaystyle M}$construir un sistema de coordenadas local${\displaystyle q^{1},\dots ,q^{n}}$. Cada elemento de contacto induce entonces un atlas local de${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$sistemas de coordenadas. El primer sistema es de forma${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{(n-k)\times (n-k)}|A\end{bmatrix}}}$, dónde${\displaystyle A}$es una matriz de forma${\displaystyle (n-k)\times k}$Los demás se obtienen permutando sus columnas.

Cada subvariedad k -dimensional de${\displaystyle M}$Eleva de forma única a una subvariedad k -dimensional de${\displaystyle C_{k}(M)}$. Esta es una generalización del mapa de Gauss . Sin embargo, no todas las subvariedades k -dimensionales de${\displaystyle C_{k}(M)}$es un levantamiento de una subvariedad k -dimensional de${\displaystyle M}$. De hecho, una subvariedad k -dimensional de${\displaystyle C_{k}(M)}$es un levantamiento de una subvariedad k -dimensional de${\displaystyle M}$si y solo si es una variedad integral de una cierta distribución en${\displaystyle C_{k}(M)}$Esta distribución se denomina estructura de contacto de${\displaystyle C_{k}(M)}$.

En el caso especial donde${\displaystyle k=n-1}$, la estructura de contacto es una distribución de hiperplanos con dimensión${\displaystyle (2n-2)}$en el${\displaystyle (2n-1)}$variedad dimensional${\displaystyle C_{n-1}(M)}$y es máximamente no integrable. De hecho, "estructura de contacto" generalmente se refiere solo a distribuciones que son localmente contactomorfas a este caso de máxima no integrabilidad.

• Grassmanniano
• paquete de Grassmann
• Paquete Jet
• Proyeccionamiento
• Geometría de contacto

• Blair, David E. (2010). Geometría riemanniana de variedades de contacto y simplécticas . Progress in Mathematics. Vol.  203 (2.ª  ed.). Boston, MA: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-4959-3 . ISBN 978-0-8176-4958-6.
• Burke, William L. (1985). Geometría diferencial aplicada (  Edición reimpresa). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-26317-7.