Función plurisubarmónica

En matemáticas , las funciones plurisubarmónicas (a veces abreviadas como psh , plsh o plush ) constituyen una clase importante de funciones utilizadas en el análisis complejo . En una variedad de Kähler , las funciones plurisubarmónicas forman un subconjunto de las funciones subarmónicas . Sin embargo, a diferencia de las funciones subarmónicas (que se definen en una variedad riemanniana ), las funciones plurisubarmónicas pueden definirse con total generalidad en espacios analíticos complejos .

Una función${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ con dominio${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$Se denomina plurisubarmónica si es semicontinua superior y para cada línea compleja.

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}$con ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

la función${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$es una función subarmónica en el conjunto

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

En su máxima generalidad, la noción puede definirse en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo.${\displaystyle X}$de la siguiente manera. Una función semicontinua superior${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$Se dice que es plurisubarmónico si para cualquier mapa holomorfo${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$la función${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$es subarmónico , donde${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$denota el disco de la unidad .

Relación con la variedad de Kähler: En el espacio euclidiano complejo n-dimensional${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$,${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$ es plurisubarmónico. De hecho,${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}$ es igual a la forma estándar de Kähler en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$hasta múltiplos constantes. De manera más general, si${\displaystyle g}$Satisface

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

para alguna forma de Kähler${\displaystyle \omega }$, entonces${\displaystyle g}$es plurisubarmónico, lo que se denomina potencial de Kähler. Estos se pueden generar fácilmente aplicando el lema ddbar a formas de Kähler en una variedad de Kähler.

Relación con la delta de Dirac: En el espacio euclidiano complejo unidimensional${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$,${\displaystyle u(z)=\log |z|}$es plurisubarmónico. Si${\displaystyle f}$es una función de clase C ^{∞ con} soporte compacto , entonces la fórmula integral de Cauchy dice

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

que se puede modificar para

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

No es más que la medida de Dirac en el origen 0.

Más ejemplos

• Si${\displaystyle f}$es una función analítica en un conjunto abierto , entonces${\displaystyle \log |f|}$es plurisubarmónico en ese conjunto abierto.
• Las funciones convexas son plurisubarmónicas.
• Si${\displaystyle \Omega }$entonces es un dominio de holomorfía${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$es plurisubarmónico.

Las funciones plurisubarmónicas fueron definidas en 1942 por Kiyoshi Oka ^{[ 1 ]} y Pierre Lelong . ^{[ 2 ]}

• El conjunto de funciones plurisubarmónicas tiene las siguientes propiedades, como un cono convexo :

• si${\displaystyle f}$es una función plurisubarmónica y${\displaystyle c>0}$un número real positivo, entonces la función${\displaystyle c\cdot f}$es plurisubarmónico,
• si${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$son funciones plurisubarmónicas, entonces la suma${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$es una función plurisubarmónica.

• La plurisubarmónica es una propiedad local, es decir, una función es plurisubarmónica si y solo si es plurisubarmónica en un entorno de cada punto.
• Si${\displaystyle f}$es plurisubarmónico y${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } una función convexa creciente entonces${\displaystyle \varphi \circ f}$es plurisubarmónico. (${\displaystyle \varphi (-\infty)}$se interpreta como${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)}$.)
• Si${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$son funciones plurisubarmónicas, entonces la función${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$es plurisubarmónico.
• El límite puntual de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas es plurisubarmónico.
• Toda función plurisubarmónica continua puede obtenerse como el límite de una sucesión decreciente de funciones plurisubarmónicas suaves. Además, esta sucesión puede elegirse uniformemente convergente. ^{[ 3 ]}
• La desigualdad en la condición de semicontinuidad usual se cumple como igualdad, es decir, si${\displaystyle f}$entonces es plurisubarmónico${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$.
• Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas para cualquier métrica de Kähler .
• Por lo tanto, las funciones plurisubarmónicas satisfacen el principio del máximo , es decir, si${\displaystyle f}$es plurisubarmónico en el dominio${\displaystyle D}$y${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$por algún momento${\displaystyle x_{0}\in D}$entonces${\displaystyle f}$es constante.

En varias variables complejas , las funciones plurisubarmónicas se utilizan para describir dominios pseudoconvexos , dominios de holomorfía y variedades de Stein .

La principal aplicación geométrica de la teoría de las funciones plurisubarmónicas es el famoso teorema demostrado por Kiyoshi Oka en 1942. ^{[ 1 ]}

Una función continua${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$ Se denomina exhaustivo si la preimagen${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$ es compacto para todos${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$Una función plurisubarmónica f se denomina fuertemente plurisubarmónica si tiene la forma${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f-\omega }$ es positivo , para alguna forma de Kähler${\displaystyle \omega }$en M.​

Teorema de Oka: Sea M una variedad compleja que admite una función plurisubarmónica fuerte, suave y exhaustiva. Entonces M es una variedad de Stein . Recíprocamente, cualquier variedad de Stein admite dicha función.

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja" . Transactions of the American Mathematical Society . 82 (1): 17– 51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 . 
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introducción a las funciones holomorfas en varias variables, Wadsworth & Brooks/Cole.
• Klimek, Teoría pluripotencial, Clarendon Press 1992.

• "Función plurisubarmónica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]