Matriz definida

Un${\displaystyle n\times n}$matriz real simétrica${\displaystyle M}$Se dice que es definida positiva si${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$para todos los valores distintos de cero${\displaystyle \mathbf {x} }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz real simétrica${\displaystyle M}$Se dice que es semidefinida positiva o definida no negativa si${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {x} }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz real simétrica${\displaystyle M}$Se dice que es definida negativa si${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$para todos los valores distintos de cero${\displaystyle \mathbf {x} }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz real simétrica${\displaystyle M}$Se dice que es semidefinida negativa o no definida positiva si${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {x} }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

Un${\displaystyle n\times n}$Una matriz real simétrica que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina indefinida .

Las siguientes definiciones involucran el término${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$Nótese que este es siempre un número real para cualquier matriz cuadrada hermitiana.${\displaystyle M.}$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz compleja hermitiana${\displaystyle M}$Se dice que es definida positiva si${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$para todos los valores distintos de cero${\displaystyle \mathbf {z} }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Formalmente,

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz compleja hermitiana${\displaystyle M}$Se dice que es semidefinida positiva o definida no negativa si${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {z} }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Formalmente,

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz compleja hermitiana${\displaystyle M}$Se dice que es definida negativa si${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$para todos los valores distintos de cero${\displaystyle \mathbf {z} }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Formalmente,

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz compleja hermitiana${\displaystyle M}$Se dice que es semidefinida negativa o no definida positiva si${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {z} }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Formalmente,

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

Un${\displaystyle n\times n}$Una matriz compleja hermitiana que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina indefinida .

Dado que toda matriz real es también una matriz compleja, las definiciones de "definición" para ambas clases deben coincidir.

Para matrices complejas, la definición más común dice que${\displaystyle M}$es definida positiva si y solo si${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$es real y positivo para todos los vectores columna complejos distintos de cero.${\displaystyle \mathbf {z} .}$ Esta condición implica que${\displaystyle M}$es hermitiana (es decir, su transpuesta es igual a su conjugada), ya que${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$Al ser real, es igual a su transpuesta conjugada.${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$por cada${\displaystyle \mathbf {z} ,}$lo cual implica${\displaystyle M=M^{*}.}$

Según esta definición, una matriz real definida positiva${\displaystyle M}$es hermitiana, por lo tanto simétrica; y${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$es positivo para todos los vectores columna reales distintos de cero.${\displaystyle \mathbf {z} .}$ Sin embargo, la última condición por sí sola no es suficiente para${\displaystyle M}$ser definida positiva. Por ejemplo, si $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$

entonces para cualquier vector real${\displaystyle \mathbf {z} }$con entradas${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$tenemos${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$lo cual siempre es positivo si${\displaystyle \mathbf {z} }$no es cero. Sin embargo, si${\displaystyle \mathbf {z} }$es el vector complejo con entradas 1 y ⁠${\displaystyle i}$⁠ , uno obtiene

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$

lo cual no es real. Por lo tanto,${\displaystyle M}$no es definida positiva.

Por otro lado, para una matriz real simétrica${\displaystyle M,}$la condición "${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$para todos los vectores reales distintos de cero${\displaystyle \mathbf {z} }$" implica que${\displaystyle M}$es definida positiva en el sentido complejo.

Si una matriz hermitiana${\displaystyle M}$es semidefinido positivo, a veces se escribe${\displaystyle M\succeq 0}$y si${\displaystyle M}$es definido positivo uno escribe${\displaystyle M\succ 0.}$Para indicar que${\displaystyle M}$es semidefinido negativo uno escribe${\displaystyle M\preceq 0}$y para indicar que${\displaystyle M}$es definido negativo uno escribe${\displaystyle M\prec 0.}$

La notación proviene del análisis funcional donde las matrices semidefinidas positivas definen operadores positivos . Si dos matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$satisfacer${\displaystyle B-A\succeq 0,}$podemos definir un orden parcial no estricto${\displaystyle B\succeq A}$que es reflexivo , antisimétrico y transitivo ; sin embargo, no es un orden total , ya que${\displaystyle B-A,}$En general, puede ser indefinido. Tenga en cuenta también que${\displaystyle \succeq }$y${\displaystyle \succ }$no satisfacen la correspondencia habitual de relaciones de orden parcial no estrictas y estrictas , porque${\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}$no implica${\displaystyle B\succ A}$.

Una notación alternativa común es${\displaystyle M\geq 0,}$${\displaystyle M>0,}$${\displaystyle M\leq 0,}$y${\displaystyle M<0}$para matrices semidefinidas positivas y definidas positivas, semidefinidas negativas y definidas negativas, respectivamente. Esto puede resultar confuso, ya que a veces las matrices no negativas (o matrices no positivas) también se denotan de esta manera.

La descomposición no es única: si${\displaystyle M=B^{*}B}$para algunos${\displaystyle k\times n}$matriz${\displaystyle B}$y si${\displaystyle Q}$es cualquier unidad${\displaystyle k\times k}$matriz (significado${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$), entonces${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$para${\displaystyle A=QB.}$

Sin embargo, esta es la única forma en que dos descomposiciones pueden diferir: La descomposición es única salvo transformaciones unitarias . Más formalmente, si${\displaystyle A}$es un${\displaystyle k\times n}$matriz y${\displaystyle B}$es un${\displaystyle \ell \times n}$matriz tal que${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$ entonces hay un${\displaystyle \ell \times k}$matriz${\displaystyle Q}$con columnas ortonormales (lo que significa${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$) tal que${\displaystyle B=QA.}$^{[ 5 ]} Cuando${\displaystyle \ell =k}$esto significa${\displaystyle Q}$es unitario .

Esta afirmación tiene una interpretación geométrica intuitiva en el caso real: sean las columnas de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sean los vectores${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$y${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ Una matriz unitaria real es una matriz ortogonal , que describe una transformación rígida (una isometría del espacio euclidiano).${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$) preservando el punto 0 (es decir, rotaciones y reflexiones , sin traslaciones). Por lo tanto, los productos escalares${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$y${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$son iguales si y solo si alguna transformación rígida de${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$transforma los vectores${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$a${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$(y de 0 a 0).

Una matriz hermitiana${\displaystyle M}$es semidefinida positiva si y solo si existe una matriz semidefinida positiva.${\displaystyle B}$ (En particular${\displaystyle B}$es hermitiano, así que${\displaystyle B^{*}=B}$) satisfactorio${\displaystyle M=BB.}$Esta matriz${\displaystyle B}$es único, ^{[ 6 ]} se llama la raíz cuadrada no negativa de${\displaystyle M,}$y se denota con${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$ Cuando${\displaystyle M}$es definido positivo, por lo tanto es${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$por lo tanto también se le llama raíz cuadrada positiva de${\displaystyle M.}$

La raíz cuadrada no negativa no debe confundirse con otras descomposiciones.${\displaystyle M=B^{*}B.}$ Algunos autores utilizan el nombre raíz cuadrada y${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$para cualquier descomposición de este tipo, o específicamente para la descomposición de Cholesky , o cualquier descomposición de la forma${\displaystyle M=BB;}$ Otros solo lo utilizan para la raíz cuadrada no negativa.

Si${\displaystyle M\succ N\succ 0}$entonces${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}$

Una matriz semidefinida positiva hermitiana${\displaystyle M}$se puede escribir como${\displaystyle M=LL^{*},}$dónde${\displaystyle L}$es triangular inferior con diagonal no negativa (equivalentemente${\displaystyle M=B^{*}B}$dónde${\displaystyle B=L^{*}}$es triangular superior); esta es la descomposición de Cholesky . Si${\displaystyle M}$es definida positiva, entonces la diagonal de${\displaystyle L}$es positivo y la descomposición de Cholesky es única. Por el contrario, si${\displaystyle L}$es triangular inferior con diagonal no negativa entonces${\displaystyle LL^{*}}$es semidefinida positiva. La descomposición de Cholesky es especialmente útil para cálculos numéricos eficientes. Una descomposición estrechamente relacionada es la descomposición LDL .${\displaystyle M=LDL^{*},}$dónde${\displaystyle D}$es diagonal y${\displaystyle L}$es unitriangular inferior .

Cualquier${\displaystyle 2n\times 2n}$matriz real hermitiana definida positiva${\displaystyle M}$se puede diagonalizar mediante matrices simplécticas (reales). Más precisamente, el teorema de Williamson garantiza la existencia de matrices simplécticas.${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$y diagonal real positiva${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$de tal manera que${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$.

Para matrices cuadradas arbitrarias${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$escribimos${\displaystyle M\geq N}$si${\displaystyle M-N\geq 0}$es decir,${\displaystyle M-N}$es semidefinida positiva. Esto define un orden parcial en el conjunto de todas las matrices cuadradas. De manera similar, se puede definir un orden parcial estricto.${\displaystyle M>N.}$Este ordenamiento se denomina orden de Loewner .

Toda matriz definida positiva es invertible y su inversa también es definida positiva. ^{[ 9 ]} Si${\displaystyle M\geq N>0}$entonces${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$^{[ 10 ]} Además, por elteorema min-max, elk-ésimo autovalor más grande de${\displaystyle M}$es mayor o igual que el k -ésimo valor propio más grande de${\displaystyle N.}$

Si${\displaystyle M}$es definido positivo y${\displaystyle r>0}$es un número real, entonces${\displaystyle rM}$es definida positiva. ^{[ 11 ]}

• Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son definidas positivas, entonces la suma${\displaystyle M+N}$También es definida positiva. ^{[ 11 ]}
• Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son semidefinidas positivas, entonces la suma${\displaystyle M+N}$También es semidefinido positivo.
• Si${\displaystyle M}$es definido positivo y${\displaystyle N}$es semidefinida positiva, entonces la suma${\displaystyle M+N}$También es definida positiva.

• Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son definidos positivos, entonces los productos${\displaystyle MNM}$y${\displaystyle NMN}$también son definidos positivos. Si${\displaystyle MN=NM,}$entonces${\displaystyle MN}$También es positivo definido.
• Si${\displaystyle M}$es semidefinida positiva, entonces${\displaystyle A^{*}MA}$es semidefinida positiva para cualquier matriz (posiblemente rectangular)${\displaystyle A.}$Si${\displaystyle M}$es definido positivo y${\displaystyle A}$tiene rango de columna completo, entonces${\displaystyle A^{*}MA}$es definida positiva. ^{[ 12 ]}

Las entradas diagonales${\displaystyle m_{ii}}$de una matriz semidefinida positiva son reales y no negativos. Como consecuencia, la traza ,${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$Además, ^{[ 13 ]} dado que cada submatriz principal (en particular, de 2x2) es semidefinida positiva, $${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$ y por lo tanto, cuando${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

Un${\displaystyle n\times n}$matriz hermitiana${\displaystyle M}$es definida positiva si satisface las siguientes desigualdades de traza: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

Otro resultado importante es que para cualquier${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$matrices semidefinidas positivas,${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$A continuación se escribe${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$La matriz${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$es semidefinida positiva y, por lo tanto, tiene valores propios no negativos, cuya suma, la traza, también es no negativa.

Si${\displaystyle M,N\geq 0,}$a pesar de${\displaystyle MN}$no es necesariamente semidefinido positivo, el producto de Hadamard sí lo es.${\displaystyle M\circ N\geq 0}$(Este resultado se suele denominar teorema del producto de Schur ). ^{[ 15 ]}

Respecto al producto de Hadamard de dos matrices semidefinidas positivas${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$${\displaystyle N\geq 0,}$Existen dos desigualdades notables:

• La desigualdad de Oppenheim:${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$^{[ 17 ]}

Si${\displaystyle M,N\geq 0,}$a pesar de${\displaystyle MN}$no es necesariamente semidefinido positivo, el producto de Kronecker${\displaystyle M\otimes N\geq 0.}$

Si${\displaystyle M,N\geq 0,}$a pesar de${\displaystyle MN}$no es necesariamente semidefinido positivo, el producto interno de Frobenius${\displaystyle M:N\geq 0}$(Lancaster–Tismenetsky, La teoría de las matrices , pág.  218).

El conjunto de matrices simétricas semidefinidas positivas es convexo . Es decir, si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son semidefinidas positivas, entonces para cualquier${\displaystyle \alpha }$entre 0 y 1 ,${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$También es semidefinida positiva. Para cualquier vector${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

Esta propiedad garantiza que los problemas de programación semidefinida converjan a una solución globalmente óptima.

La positividad definida de una matriz${\displaystyle A}$expresa que el ángulo${\displaystyle \theta }$entre cualquier vector${\displaystyle \mathbf {x} }$y su imagen${\displaystyle A\mathbf {x} }$siempre es${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }$$el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle A\mathbf {x} .}$

1. Si${\displaystyle M}$es una matriz de Toeplitz simétrica , es decir, las entradas${\displaystyle m_{ij}}$se dan como una función de sus diferencias de índices absolutos:${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}$y la estricta desigualdad${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$sostiene, entonces${\displaystyle M}$es estrictamente definido positivo.
2. Dejar${\displaystyle M>0}$y${\displaystyle N}$Hermitiano. Si${\displaystyle MN+NM\geq 0}$(resp.,${\displaystyle MN+NM>0}$) entonces${\displaystyle N\geq 0}$(resp.,${\displaystyle N>0}$). ^{[ 18 ]}
3. Si${\displaystyle M>0}$es real, entonces hay una${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle M>\delta I,}$dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad .
4. Si${\displaystyle M_{k}}$denota el líder${\displaystyle k\times k}$menor,${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$es el k -ésimo pivote durante la descomposición LU .
5. Una matriz es definida negativa si su menor principal de orden k es negativo cuando${\displaystyle k}$es extraño y positivo cuando${\displaystyle k}$es par.
6. Si${\displaystyle M}$Si es una matriz real definida positiva, entonces existe un número real positivo.${\displaystyle m}$de tal manera que para cada vector${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$
7. Una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y solo si todos sus menores principales son no negativos. Sin embargo, no basta con considerar únicamente los menores principales principales, como se comprueba en la matriz diagonal con entradas 0 y −1  .

Un positivo${\displaystyle 2n\times 2n}$La matriz también puede definirse por bloques : $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$

donde cada bloque está${\displaystyle n\times n,}$Al aplicar la condición de positividad, se deduce inmediatamente que${\displaystyle A}$y${\displaystyle D}$son ermitaños y${\displaystyle C=B^{*}.}$