Semicontinuidad

Una función${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$se denomina semicontinuo superior en un punto${\displaystyle x_{0}\in X}$si para cada real${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$existe un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle f(x)<y}$a pesar de${\displaystyle x\in U}$. ^{[ 2 ]} De manera equivalente,${\displaystyle f}$es semicontinuo superior en${\displaystyle x_{0}}$si y solo si $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ donde lim sup es el límite superior de la función${\displaystyle f}$en ese punto${\displaystyle x_{0}}$, definido como $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{x_{0}\in U}\sup _{x\in U}f(x)}$$ donde el ínfimo se encuentra sobre todos los vecindarios del punto${\displaystyle x_{0}}$. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio métrico con función de distancia${\displaystyle d}$y${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$Esto también se puede reformular usando un${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$formulación, similar a la definición de función continua . Es decir, para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$hay un${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$cuando sea${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Una función${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$Se denomina semicontinua superior si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 2 ]}

(1) La función es semicontinua superiormente en cada punto de su dominio .

(2) Por cada${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, el conjunto${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$está abierto en${\displaystyle X}$, dónde${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$.

(3) Por cada${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, el${\displaystyle y}$- conjunto de supernivel${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$está cerrado en${\displaystyle X}$.

(4) El hipógrafo${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$está cerrado en${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$.

(5) La función${\displaystyle f}$es continuo cuando el codominio${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$se le da la topología de orden izquierdo . Esto es solo una reformulación de la condición (2) ya que la topología de orden izquierdo es generada por todos los intervalos.${\displaystyle [-\infty ,y)}$.

Una función${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$se denomina semicontinuo inferior en un punto${\displaystyle x_{0}\in X}$si para cada real${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$existe un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle f(x)>y}$a pesar de${\displaystyle x\in U}$. De forma equivalente,${\displaystyle f}$es semicontinuo inferior en${\displaystyle x_{0}}$si y solo si $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ dónde${\displaystyle \liminf }$es el límite inferior de la función${\displaystyle f}$en el punto${\displaystyle x_{0}.}$

Si${\displaystyle X}$es un espacio métrico con función de distancia${\displaystyle d}$y${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$Esto también se puede reformular de la siguiente manera: Para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$hay un${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$cuando sea${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Una función${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$Se denomina semicontinua inferior si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(1) La función es semicontinua inferiormente en cada punto de su dominio .

(2) Por cada${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, el conjunto${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$está abierto en${\displaystyle X}$, dónde${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$.

(3) Por cada${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, el${\displaystyle y}$- conjunto de subniveles${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$está cerrado en${\displaystyle X}$.

(4) El epígrafe${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$está cerrado en${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$. ^{[ 6 ] : 207}

(5) La función${\displaystyle f}$es continuo cuando el codominio${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$se le da la topología de orden correcto . Esto es solo una reformulación de la condición (2) ya que la topología de orden correcto es generada por todos los intervalos.${\displaystyle (y,\infty ]}$.

Dejar${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$.

• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son semicontinuos inferiores, entonces la suma${\displaystyle f+g}$es semicontinua inferior ^{[ 9 ]} (siempre que la suma esté bien definida, es decir,${\displaystyle f(x)+g(x)}$no es la forma indeterminada${\displaystyle -\infty +\infty }$). Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores.
• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son semicontinuos inferiores y no negativos, entonces la función producto${\displaystyle fg}$es semicontinua inferiormente. El resultado correspondiente se cumple para funciones semicontinuas superiores.
• La función${\displaystyle f}$es semicontinua inferior si y solo si${\displaystyle -f}$es semicontinua superior.
• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son semicontinuos superiores y${\displaystyle f}$es no decreciente , entonces la composición${\displaystyle f\circ g}$es semicontinua superior. Por otro lado, si${\displaystyle f}$no es no decreciente, entonces${\displaystyle f\circ g}$puede que no sea semicontinuo superior. Por ejemplo, tomemos${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido como${\displaystyle f(x)=-x}$. Entonces${\displaystyle f}$es continuo y ${\displaystyle f\circ g=-g}$, que no es semicontinuo superior a menos que${\displaystyle g}$es continuo.
• Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son semicontinuos inferiores, su máximo y mínimo (puntual) (definidos por${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$y${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$) también son semicontinuas inferiores. En consecuencia, el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores de${\displaystyle X}$a${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$(o a${\displaystyle \mathbb {R} }$) forma una red . Las afirmaciones correspondientes también son válidas para funciones semicontinuas superiores.

• El supremo (puntual) de una familia arbitraria${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$de funciones semicontinuas inferiores${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$(definido por${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$) es semicontinua inferiormente. ^{[ 10 ]}

En particular, el límite de una secuencia monótona creciente${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$de funciones continuas es semicontinua inferiormente. (El teorema de Baire que se presenta a continuación proporciona un recíproco parcial). La función límite solo será semicontinua inferiormente en general, no continua. Un ejemplo lo proporcionan las funciones${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$definido para${\displaystyle x\in [0,1]}$para${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

Asimismo, el ínfimo de una familia arbitraria de funciones semicontinuas superiores también es semicontinuo superior. Y el límite de una sucesión monótona decreciente de funciones continuas también es semicontinuo superior.

• Si${\displaystyle C}$es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado y acotado)${\displaystyle [a,b]}$) y${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$es semicontinuo superior, entonces${\displaystyle f}$alcanza un máximo en${\displaystyle C.}$Si${\displaystyle f}$es semicontinuo inferior en${\displaystyle C,}$alcanza un mínimo en${\displaystyle C.}$

( Prueba para el caso semicontinuo superior : Por la condición (5) en la definición,${\displaystyle f}$es continuo cuando${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$Se le da la topología de orden izquierdo. Entonces su imagen${\displaystyle f(C)}$es compacto en esa topología. Y los conjuntos compactos en esa topología son precisamente los conjuntos con un máximo. (Para una demostración alternativa, véase el artículo sobre el teorema del valor extremo ).

• ( Teorema de Baire ) ^{[ nota 1 ]} Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio métrico . Toda función semicontinua inferior${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$es el límite de una sucesión creciente punto a punto de funciones continuas extendidas de valor real en${\displaystyle X.}$En particular, existe una secuencia${\displaystyle \{f_{i}\}}$de funciones continuas${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$de tal manera que

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$y

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

Si${\displaystyle f}$no toma el valor${\displaystyle -\infty }$, las funciones continuas pueden tomarse como de valor real. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Además, cada función semicontinua superior${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$es el límite de una sucesión monótona decreciente de funciones continuas de valor real extendidas en${\displaystyle X;}$si${\displaystyle f}$no toma el valor${\displaystyle \infty ,}$Las funciones continuas pueden considerarse de valor real.

• Cualquier función semicontinua superior${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$en un espacio topológico arbitrario${\displaystyle X}$es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de${\displaystyle X.}$

• Si el espacio topológico${\displaystyle X}$es secuencial , entonces${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es semicontinua superior si y solo si es semicontinua superior secuencialmente, es decir, si para cualquier${\displaystyle x\in X}$y cualquier secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$que converge hacia${\displaystyle x}$, allí se sostiene${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$. De forma equivalente, en un espacio secuencial,${\displaystyle f}$es semicontinua superiormente si y solo si sus conjuntos de supernivel${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$se cierran secuencialmente para todos${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$En general, las funciones semicontinuas superiores son secuencialmente semicontinuas superiores, pero lo contrario puede ser falso.

Un mapa con valores de conjunto${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$es semicontinuo superior en${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$si para cada conjunto abierto${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que${\displaystyle F(x)\subset U}$, existe un vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle F(V)\subset U.}$^{[ 13 ] : Def. 2.1}

Un mapa con valores de conjunto${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$es semicontinuo inferior en${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$si para cada conjunto abierto${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$existe un vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$^{[ 13 ] : Def. 2.2}

La semicontinuidad multivaluada superior e inferior también se define de manera más general para aplicaciones multivaluadas entre espacios topológicos mediante la sustitución${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$en las definiciones anteriores con espacios topológicos arbitrarios. ^{[ 13 ]}

Nótese que no existe una correspondencia directa entre la semicontinuidad inferior y superior de valores únicos y la semicontinuidad inferior y superior de valores de conjunto. Una función de valores únicos semicontinua superiormente no es necesariamente semicontinua superiormente cuando se considera como una aplicación de valores de conjunto. ^{[ 13 ] : 18} Por ejemplo, la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ es semicontinua superiormente en el sentido univaluado, pero el mapa multivaluado${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$no es semicontinua superiormente en el sentido de conjunto.

Una función con valores de conjunto${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$se denomina semicontinuo interno en${\displaystyle x}$si por cada${\displaystyle y\in F(x)}$y cada secuencia convergente${\displaystyle (x_{i})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}\to x}$, existe una secuencia${\displaystyle (y_{i})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que${\displaystyle y_{i}\to y}$y${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$para todos suficientemente grandes${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[ 14 ] [ nota 2 ]}

Una función con valores de conjunto${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$se denomina semicontinuo exterior en${\displaystyle x}$si para cada secuencia de convergencia${\displaystyle (x_{i})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}\to x}$y cada secuencia convergente${\displaystyle (y_{i})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$para cada${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$la secuencia${\displaystyle (y_{i})}$converge a un punto en${\displaystyle F(x)}$(eso es,${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$). ^{[ 14 ]}

Una aplicación importante de la semicontinuidad es el cálculo de variaciones . Su significado en este contexto se deriva del siguiente teorema. ^{[ 19 ]} Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico, y${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$Una secuencia minimizadora es una secuencia${\displaystyle x_{k}}$en${\displaystyle X}$de tal manera que $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$ El teorema es que si${\displaystyle F}$es secuencialmente semicontinuo inferior y${\displaystyle x_{k}}$es una secuencia minimizadora que converge a${\displaystyle x_{0}}$, entonces$${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$ Eso es,${\displaystyle x_{0}}$es un mínimo absoluto de${\displaystyle F}$.

Esto se combina a menudo con resultados como el teorema de Tonelli en análisis funcional , que caracteriza la semicontinuidad inferior débil de funcionales no lineales en espacios L ^p en términos de la convexidad de otra función. Resultados más especializados de este tipo son útiles en formulaciones variacionales de problemas en ecuaciones diferenciales parciales , que relacionan la semicontinuidad de funcionales dados por integración con las propiedades de convexidad del integrando, a menudo definido en algún espacio de Sobolev . El ejemplo prototípico es el problema de Dirichlet para el operador de Laplace , que puede formularse como un problema de minimización de la energía , sujeto a condiciones de contorno . $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$ Es decir, la integral de la norma al cuadrado del gradiente de una función sobre un dominio acotado en el espacio euclidiano. El integrando es convexo en un espacio de Sobolev apropiado, por lo que el límite de una sucesión minimizadora es una solución del problema de Dirichlet. Esto tiene implicaciones, por ejemplo, para las soluciones de elementos finitos , lo que proporciona una forma de construir una sucesión minimizadora.

Junto con las hipótesis de convexidad, tanto la semicontinuidad superior como la inferior desempeñan un papel en los teoremas que garantizan la existencia de puntos de silla de funciones en espacios vectoriales topológicos localmente convexos . Un ejemplo de ello es el teorema minimax de Fan y Sion . ^{[ 20 ]} Este teorema establece que si${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$es una función de un par de conjuntos cerrados, convexos y no vacíos${\displaystyle X,Y}$pertenecientes a espacios de Banach reflexivos , tales que

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$es cóncava y semicontinua superior para cada${\displaystyle x\in X}$y
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$es convexa y semicontinua inferiormente para cada${\displaystyle y\in Y}$,

entonces el conjunto de puntos de silla de${\displaystyle f}$es convexo. Si tanto la convexidad como la concavidad son estrictas, entonces hay como máximo un punto de silla. Si los conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si están acotados, entonces el conjunto de puntos de silla no está vacío. Un punto de silla es por definición un punto${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$en el cual $${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

Muchas funciones de importancia con valores enteros también son semicontinuas. Por ejemplo, supongamos que tenemos un poliedro.${\displaystyle K}$(o, más generalmente, un conjunto convexo cerrado) en un${\displaystyle n}$Espacio vectorial de dimensión . Una cara de${\displaystyle K}$es por definición el conjunto de máximos de algún funcional lineal en${\displaystyle K}$. Definir la función $${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$ Entonces${\displaystyle f}$es semicontinua inferiormente. Esto se debe intuitivamente a que, bajo cualquier pequeña perturbación, se puede pasar de una cara de menor dimensión, como una arista o un vértice, a una de mayor dimensión, pero ningún punto de una cara de mayor dimensión puede moverse a una de menor dimensión si la perturbación es lo suficientemente pequeña.

Otro ejemplo de un carácter similar es que el rango de una matriz es una función semicontinua inferior en el espacio de${\displaystyle n\times m}$matrices. Esto se debe a que el rango puede subir en matrices cercanas, pero no bajar. Como resultado de esto, junto con el teorema de la función implícita , cuando un grupo de Lie actúa suavemente sobre una variedad suave , la dimensión de la órbita que pasa por un punto es semicontinua inferiormente (es decir, la función${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$). ^{[ 21 ]}

Versiones más sofisticadas de esta misma idea desempeñan un papel fundamental en la geometría algebraica , donde se sabe que muchas aplicaciones dimensionales con codominio en los números enteros son semicontinuas. (Por ejemplo, aplicadas a un cuerpo de Newton-Okounkov ).

En general, dejemos${\displaystyle X}$y${\displaystyle S}$ser planes y${\displaystyle f:X\to S}$un morfismo plano y propio de presentación finita. Sea${\displaystyle {\mathcal {F}}}$frijol${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo plano y de presentación finita sobre${\displaystyle S}$. Entonces, para cualquier${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$la función $${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$ es semicontinua superiormente. ^{[ 22 ]} Un caso especial importante de este teorema cuando además${\displaystyle X,S}$son noetherianos,${\displaystyle f}$es proyectivo y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es coherente se puede encontrar en el libro de texto estándar de Hartshorne . ^{[ 23 ] : 288} El trabajo original en el lenguaje de la hipercohomología se puede encontrar en EGA III ^{[ 24 ]} Théorème (7.7.5), citando también trabajos anteriores, en particular Grauert para el entorno analítico complejo.

Dejar${\displaystyle X,Y}$ser planes y${\displaystyle f:X\to Y}$un morfismo de tipo finito. La función $${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$ asociados a cualquier${\displaystyle y\in Y}$la dimensión de la fibra${\displaystyle X_{y}}$. Si${\displaystyle f}$es un morfismo plano de esquemas de presentación finita, entonces${\displaystyle n_{X/Y}}$es semicontinua inferior. ^{[ 25 ]} Si${\displaystyle f}$es un morfismo propio de esquemas, entonces${\displaystyle n_{X/Y}}$es semicontinua superior. ^{[ 26 ]}

Vakil recopiló una lista de otros resultados de semicontinuidad en geometría algebraica. ^{[ 27 ]}

Las funciones semicontinuas se utilizan en la teoría descriptiva de conjuntos para definir estratificaciones de espacios topológicos mediante medidas de complejidad como la dimensión , el rango o la altura ordinal . ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} Dichas funciones a menudo toman valores en un ordinal , y su semicontinuidad asegura que los conjuntos${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$están cerrados (y por lo tanto Borel en un espacio polaco ).

Un ejemplo central es la función de rango en árboles bien fundados. Sea${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$ser un árbol codificado por un punto en el espacio de Baire${\displaystyle \omega ^{\omega }}$. El rango${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$se define como el supremo de las longitudes de secuencias descendentes en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. La función que asigna el rango${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$Cada árbol es semicontinuo inferior con respecto a la topología natural en los códigos de árbol. Este rango estratifica el espacio de árboles en conjuntos cerrados.${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$, análogo a cómo se estratifica el rango de la matriz${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$.

En términos más generales, las funciones semicontinuas inferiores con valores ordinales se utilizan para medir la complejidad de puntos o estructuras en un espacio polaco , como los rangos de Scott de estructuras numerables, los rangos proyectivos de conjuntos o las complejidades de Lusin-Novikov de relaciones de equivalencia. Estas funciones permiten una clasificación precisa y son cruciales para definir conjuntos universales y parametrizaciones efectivas en niveles superiores de la jerarquía proyectiva .

Porque la preimagen de un intervalo${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$Bajo una función semicontinua inferior, el espacio topológico es cerrado. Dichas funciones generan estratificaciones canónicas de espacios topológicos en partes cerradas (y por lo tanto, de Borel) de complejidad creciente. Esta propiedad se utiliza frecuentemente en demostraciones de principios de reflexión , teoremas de separación y en la clasificación efectiva de relaciones de equivalencia de Borel .

En la teoría ergódica y la dinámica topológica , la semicontinuidad surge de forma natural al estudiar funcionales en el espacio de medidas invariantes de un sistema dinámico . El ejemplo más importante es la función de entropía , que asigna a cada medida invariante su entropía teórica de la medida . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

Dejar${\displaystyle (X,T)}$ser un sistema dinámico topológico con${\displaystyle X}$compacto y${\displaystyle T:X\to X}$continuo. El espacio${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$de${\displaystyle T}$-Las medidas de probabilidad de Borel invariantes son un subconjunto convexo compacto del dual de${\displaystyle C(X)}$bajo la topología débil-*. El mapa de entropía${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$es una función semicontinua superior en${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$: $${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

Esta propiedad juega un papel clave en el principio variacional , que afirma que la entropía topológica${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$es el supremo de${\displaystyle h_{\mu }(T)}$sobre todas las medidas invariantes. La semicontinuidad superior garantiza que este supremo se alcanza cuando el espacio de medidas es compacto.

En términos más generales, muchos funcionales de interés —como los exponentes de Lyapunov , los espectros de dimensión o las estadísticas de tiempo de retorno— son semicontinuos en el espacio de medidas invariantes. En algunos casos, estas propiedades de semicontinuidad se utilizan para demostrar la existencia de medidas que maximizan o minimizan una cantidad dada, o para establecer propiedades estructurales del simplex.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$(por ejemplo, que las medidas ergódicas forman un residuo—denso${\displaystyle G_{\delta }}$-colocar).

Ideas similares aparecen en la teoría de las uniones , donde se estudian los acoplamientos invariantes entre sistemas. El conjunto de uniones es compacto en la topología débil-*, y la semicontinuidad se utiliza para analizar la disyunción y la unicidad de los acoplamientos invariantes.