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Articulo de referencia

Elementos de matemáticas

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Éléments de mathématique ( Elementos de Matemáticas ) es una serie delibros de matemáticas escritos por el colectivo francés seudónimo Nicolas Bourbaki . Iniciada en 1939, la serie se ha publicado en varios volúmenes y aún continúa. Se la reconoce como un tratamiento formal, completo y a gran escala de las matemáticas. [ 1 ] [ 2 ]

Los miembros del grupo Bourbaki concibieron inicialmente la obra como un libro de texto sobre análisis , con el título provisional de Traité d'analyse ( Tratado de análisis ). Al planificar la estructura de la obra, se volvieron más ambiciosos, ampliando su alcance para abarcar diversas ramas de las matemáticas modernas. Una vez ampliado el plan de la obra para tratar otros campos en profundidad, se adoptó el título Éléments de mathématique . Entre los temas tratados en la serie se incluyen la teoría de conjuntos , el álgebra abstracta , la topología , el análisis, los grupos de Lie y las álgebras de Lie .

El singular inusual «mathématique» (matemático) del título es deliberado y pretende transmitir la creencia de los autores en la unidad de las matemáticas. [ 3 ] [ 4 ] Un volumen complementario, Éléments d'histoire des mathématiques ( Elementos de la historia de las matemáticas ), recopila y reproduce varias de las notas históricas que aparecieron previamente en la obra.

Historia

A finales de 1934, un grupo de matemáticos, entre ellos André Weil, decidió escribir colectivamente un libro de texto sobre análisis matemático . Su intención era que su obra sustituyera al Curso de Análisis Matemático (1902) de Édouard Goursat , y también llenar el vacío en el material didáctico provocado por la muerte de una generación de estudiantes de matemáticas en la Primera Guerra Mundial . El grupo adoptó el seudónimo colectivo de Nicolas Bourbaki, en honor al general francés Charles-Denis Bourbaki . A finales de la década de 1930 y principios de la de 1940, el grupo Bourbaki amplió su trabajo más allá del análisis y comenzó a publicar textos bajo el título Éléments de mathématique . [ 5 ]

Los volúmenes de los Éléments han aparecido periódicamente desde la publicación del primer Fascicule ("Installment") en 1939 por Éditions Hermann , y varios se publicaron durante las décadas de 1950 y 1960, el período más productivo de Bourbaki y el de mayor influencia. [ 6 ] A veces han transcurrido varios años antes de la publicación de un nuevo volumen, y diversos factores han contribuido a un ritmo de publicación lento. El estilo de trabajo del grupo es lento y riguroso, y un producto final no se considera aceptable a menos que sea aprobado unánimemente por el grupo. [ 7 ] Además, la Segunda Guerra Mundial interrumpió las actividades de Bourbaki durante sus primeros años. En la década de 1970 surgió una disputa legal con Hermann, la editorial original del grupo, en relación con los derechos de autor y el pago de regalías. El grupo Bourbaki ganó el litigio en cuestión, conservando los derechos de autor sobre la obra escrita bajo el seudónimo, pero a un precio: la batalla legal había acaparado la atención del grupo durante la década de 1970, impidiéndoles realizar un trabajo matemático productivo bajo el nombre de Bourbaki. [ 8 ] [ 9 ] Tras el litigio y durante la década de 1980, se reanudó la publicación de nuevos volúmenes a través de Éditions Masson . Desde la década de 1980 hasta la de 2000, Bourbaki publicó con muy poca frecuencia, lo que provocó que en 1998 Le Monde declarara al colectivo "muerto". [ 10 ] Sin embargo, en 2012 Bourbaki reanudó la publicación de los Éléments con una edición revisada y ampliada del octavo capítulo de Álgebra , seguida del primero de nuevos libros sobre topología algebraica (que también abarca material que originalmente se había planeado como el undécimo capítulo del libro del grupo sobre topología general ) [ 11 ] , un libro significativamente ampliado sobre teoría espectral en dos volúmenes, y en 2026 dos nuevos capítulos sobre espacios vectoriales topológicos. Además, se afirma que dos libros completamente nuevos (sobre teoría de categorías y formas modulares ) están en preparación. [ 12 ] [ 13 ]

Springer Verlag se convirtió en la editorial actual de Bourbaki durante el siglo XXI, reimprimiendo los Éléments y publicando también nuevos volúmenes. Algunas versiones tempranas de los Éléments pueden consultarse en un archivo en línea, [ 14 ] y la historiadora matemática Liliane Beaulieu ha documentado la secuencia de publicación. [ 15 ]

Los Éléments han tenido una historia de publicación compleja. Desde la década de 1940 hasta la de 1960, Bourbaki publicó los Éléments en forma de folleto como pequeñas entregas de capítulos individuales, conocidos en francés como fascículos . [ 15 ] A pesar de haber acordado una secuencia lógica para la obra (véase más adelante), Bourbaki no publicó los Éléments en el orden de su estructura lógica. [ 3 ] Más bien, el grupo planificó el arco de la obra a grandes rasgos y publicó capítulos dispares dondequiera que pudieran ponerse de acuerdo en un producto final, con el entendimiento de que los capítulos (lógicamente) posteriores publicados (cronológicamente) primero tendrían que estar fundamentados en la publicación posterior de capítulos lógicamente anteriores. La primera entrega de los Éléments que se publicó fue el Resumen de resultados para la teoría de conjuntos en 1939; El primer capítulo propiamente dicho sobre teoría de conjuntos —con demostraciones y teoremas— no apareció hasta 1954. Independientemente de la estructura lógica de la obra, el editor Hermann asignó numeración cronológica a los primeros fascículos para referencia histórica. [ 15 ] Gradualmente, los pequeños fascículos se recopilaron y reimprimieron en volúmenes mayores, formando la base de la edición moderna de la obra.

La gran mayoría de los Éléments se ha traducido a una edición inglesa, aunque esta traducción es incompleta. Actualmente, la edición francesa completa de la obra consta de 12 libros impresos en 29 volúmenes, con 73 capítulos. La edición inglesa reproduce completamente siete libros y reproduce parcialmente dos, con tres no disponibles; comprende 14 volúmenes, reproduciendo 58 de los 73 capítulos del original. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ a ] ​​Sin embargo, la Topología General inglesa no se basa en la última edición francesa revisada (de 1971 y 1974) y omite parte del material añadido en ella (por ejemplo, sobre cuaterniones y grupos de rotación en el Capítulo VIII).

Estructura

Éléments de mathématique se divide en libros , volúmenes y capítulos . Un libro se refiere a un área amplia de investigación o rama de las matemáticas ( Álgebra , Integración ); un libro determinado se publica a veces en varios volúmenes (libros físicos) o en un solo volumen. La obra se subdivide a su vez en capítulos , y algunos volúmenes constan de un solo capítulo.

Como es habitual en los libros de texto de matemáticas, los capítulos de Éléments presentan definiciones, notación matemática, demostraciones de teoremas y ejercicios, conformando así el contenido matemático central de la obra. Estos capítulos se complementan con notas históricas y resúmenes de resultados. Las primeras suelen aparecer después de cada capítulo para contextualizar el desarrollo de sus temas, mientras que los segundos se utilizan ocasionalmente en secciones donde se recopilan y exponen los resultados más importantes del libro sin demostración. Eléments d'histoire des mathématiques es un volumen recopilatorio de varias de las secciones de notas históricas publicadas previamente en Éléments propiamente dicho, hasta el libro sobre grupos de Lie y álgebras de Lie .

Cuando los fundadores de Bourbaki planificaron originalmente el Tratado de Análisis , concibieron una sección introductoria y fundamental del texto que describiría todos los conceptos prerrequisito desde cero. Esta área propuesta del texto se denominó «Paquete Abstracto» (Paquet Abstrait). Durante las primeras etapas de planificación, los fundadores ampliaron considerablemente el alcance del paquete abstracto, de modo que requeriría varios volúmenes para su expresión en lugar de una sección o capítulo en un solo volumen. Esta parte de los Éléments se fue materializando gradualmente en sus tres primeros libros, que tratan sobre teoría de conjuntos, álgebra abstracta y topología general. [ 5 ] [ 19 ]

Hoy, los Éléments se dividen en dos partes. Bourbaki estructuró la primera parte de la obra en seis libros numerados secuencialmente: I. Teoría de conjuntos , II. Álgebra , III. Topología general , IV. Funciones de una variable real , V. Espacios vectoriales topológicos y VI. Integración . Los primeros seis libros reciben el subtítulo unificador Les structures fondamentales de l'analyse ( Estructuras fundamentales del análisis ), [ 15 ] [ 20 ] cumpliendo así la intención original de Bourbaki de escribir un tratado riguroso sobre análisis, junto con una presentación exhaustiva de la teoría de conjuntos, el álgebra y la topología general.

A lo largo de las Estructuras Fundamentales del Análisis , cualquier afirmación o demostración presentada en un capítulo determinado da por sentados los resultados establecidos en capítulos anteriores, o previamente en el mismo capítulo. En detalle, la estructura lógica de los primeros seis libros es la siguiente, donde cada sección parte de todo el material precedente:

  • I: Teoría de conjuntos
  • II (1): Álgebra , capítulos 1-3
  • III (1): Topología general , capítulos 1-3
  • II (2): Álgebra , desde el capítulo 4 en adelante
  • III (2): Topología general , desde el capítulo 4 en adelante
  • IV: Funciones de una variable real
  • V: Espacios vectoriales topológicos
  • VI: Integración [ b ]

Así pues, los seis libros también están "ordenados lógicamente", con la salvedad de que parte del material presentado en los últimos capítulos de Álgebra , el segundo libro, recurre a resultados de los primeros capítulos de Topología General , el tercer libro. [ c ]

Tras las Estructuras Fundamentales del Análisis , la segunda parte de los Éléments consta de libros que tratan temas de investigación más modernos: Grupos de Lie y Álgebras de Lie , Álgebra Conmutativa , Teoría Espectral , Variedades Diferenciales y Analíticas y Topología Algebraica . Mientras que los primeros seis libros de los Éléments seguían una estructura lógica estricta y secuencial, cada libro de la segunda parte depende de los resultados establecidos en los primeros seis libros, pero no de los demás libros de la segunda parte. [ 3 ] La segunda parte de la obra también carece de un subtítulo unificador comparable al de las Estructuras Fundamentales del Análisis .

Volúmenes

Los Éléments se publican en volúmenes en francés e inglés, que se detallan a continuación.

Véase también

Notas

  1. ↑ En ambos casos, el recuento de libros y volúmenes de cada edición incluye la compilación histórica Elementos de la historia de las matemáticas . Sin embargo, el recuento de capítulos se refiere a los capítulos de contenido matemático en los Éléments propiamente dichos, excluyendo las secciones (o capítulos) de notas históricas reproducidas en Elementos de la historia de las matemáticas .
  2. ↑ Esta estructura lógica precisa se indica en la sección «Al lector» de la introducción en una minoría de los volúmenes en inglés. Véanse las páginas v-vi de cualquiera de los cinco volúmenes siguientes: Álgebra II , Funciones de una variable real , Espacios vectoriales topológicos , Integración I e Integración II . Consulte la tabla a continuación para obtener información bibliográfica detallada de cada volumen.
  3. ↑ Un ejemplo de este "orden inverso" entre los primeros capítulos fundamentales de los Éléments es el siguiente. En el cuarto capítulo de Álgebra , un objeto denotadoA[[I]]{\displaystyle A[[I]]}se describe en términos de sus propiedades algebraicas, y se cita una definición dada en el tercer capítulo de (el libro posterior) Topología general para establecer que el objetoA[[I]]{\displaystyle A[[I]]}También es un anillo topológico . [ 21 ]
  4. ↑ El Resumen de Resultados era una sección que recogía los principales resultados de la Teoría de Conjuntos , enunciados sin demostración. Aunque fue el primer elemento publicado en los Éléments , no se considera uno de sus capítulos.
  5. ↑ La obra «Variedades diferenciales y analíticas» se publicó inicialmente como dos volúmenes que recopilaban resultados, posteriormente compilados en un solo volumen. No se han publicado capítulos con demostraciones prácticas relacionadas con el tema del libro.
  6. ↑ Elementos de la Historia de las Matemáticas es un volumen recopilatorio de varias secciones de notas históricas publicadas previamente en los Éléments propiamente dichos. Si bien el volumen está organizado internamente en 26 capítulos, su contenido histórico reproducido no se contabiliza dentro de los capítulos de contenido matemático de los Éléments .

Referencias

  1. ↑ Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki: una sociedad secreta de matemáticos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0821839676.
  2. ↑ Aczel, Amir D. (2006). El artista y el matemático: la historia de Nicolas Bourbaki, el genio matemático que nunca existió . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1560259312.
  3. 1 2 3 Mashaal , pág. 55.
  4. ↑ Aczel , págs. 99–100.
  5. 1 2 Mashaal , pág. 11.
  6. ↑ Aczel , pág. 117.
  7. ↑ Aczel , pág. 92.
  8. ↑ Aczel , págs. 205–206.
  9. ↑ Mashaal , págs. 53–54.
  10. ↑ Mashaal , pág. 146.
  11. ↑ Bourbaki 2016 , pág. xiv.
  12. ↑ Bourbaki 2019 , pág. II.299.
  13. ↑ Bourbaki 2023b , pág. V.416.
  14. ↑ «Archivos de la Asociación de Colaboradores de Nicolas Bourbaki» .
  15. ^ " Éléments de Mathématique " . Archivos Bourbaki .
  16. ↑ Ouvrages de N. Bourbaki en el sitio de Bourbaki
  17. ^ Serie Elementos de Mathématique en Springer
  18. ↑ Serie Elementos de Matemáticas en Springer
  19. ↑ Aczel , pág. 86.
  20. ↑ Asimov, Isaac (20 de marzo de 1991). Prólogo. Historia de las matemáticas . Por Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C. (Segunda edición). Wiley. pág. 629. ISBN   9780471543978.
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  100. ^ Bourbaki, Nicolás (2023b). Teorías espectrales: Capítulos 3 a 5 . Elementos matemáticos. Saltador. ISBN 978-3031195044.
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  108. ↑ Elementos de la historia de las matemáticas . Springer.

Lecturas adicionales

  • Leo Corry Escribiendo el libro de texto de matemáticas definitivo: Éléments de mathématique de Nicholas Bourbaki