Llegar a tiempo

En el estudio de los procesos estocásticos en matemáticas , un tiempo de llegada (o primer tiempo de llegada ) es el primer instante en que un proceso determinado "llega" a un subconjunto específico del espacio de estados . Los tiempos de salida y los tiempos de retorno también son ejemplos de tiempos de llegada.

Sea T un conjunto de índices ordenados como los números naturales ,${\displaystyle \mathbb {N} ,}$⁠ los números reales no negativos, [0, +∞) , o un subconjunto de estos; elementos ⁠${\displaystyle t\in T}$⁠ puede pensarse como "veces". Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr) y un espacio de estados medible S , sea${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$Sea un proceso estocástico , y sea A un subconjunto medible del espacio de estados S. Entonces, el tiempo de primer impacto${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$es la variable aleatoria definida por

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

El primer tiempo de salida (desde A ) se define como el primer tiempo de llegada para ^S \ A , el complemento de A en S. Curiosamente, esto también se suele denotar por τ _A. ^{[ 1} ]

El primer tiempo de retorno se define como el primer tiempo de llegada para el conjunto unitario { X ₀ ( ω )}, que suele ser un elemento determinista dado del espacio de estados, como el origen del sistema de coordenadas.

• Cualquier tiempo de parada es un tiempo de impacto para un proceso y un conjunto de objetivos elegidos adecuadamente. Esto se deduce del recíproco del teorema de Début (Fischer, 2013).
• Sea B el movimiento browniano estándar en la recta real .${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ partiendo del origen. Entonces, el tiempo de llegada τ _A satisface los requisitos de mensurabilidad para ser un tiempo de parada para cada conjunto medible de Borel .${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$⁠
• Para B como se indicó anteriormente, sea τ _r ( r > 0 ) el primer tiempo de salida para el intervalo ( − r , r ) , es decir, el primer tiempo de llegada para${\displaystyle (-\infty,-r]\cup [r,+\infty).}$Entonces, el valor esperado y la varianza de τ _r satisfacen

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• Para B como se indicó anteriormente, el tiempo de alcanzar un solo punto (distinto del punto de partida 0) tiene la distribución de Lévy .

• El problema del escape por poco margen considera el tiempo que tarda una partícula confinada, que experimenta movimiento browniano, en escapar a través de una pequeña abertura.

El tiempo de llegada de un conjunto F también se conoce como el début de F. El teorema del Début establece que el tiempo de llegada de un conjunto medible F , para un proceso progresivamente medible con respecto a una filtración continua por la derecha y completa, es un tiempo de parada. Los procesos progresivamente medibles incluyen, en particular, todos los procesos adaptados continuos por la derecha y por la izquierda . La demostración de que el début es medible es bastante compleja e involucra propiedades de conjuntos analíticos . El teorema requiere que el espacio de probabilidad subyacente sea completo o, al menos, universalmente completo.

El recíproco del teorema de Début establece que todo tiempo de parada definido con respecto a una filtración sobre un índice de tiempo de valor real puede representarse mediante un tiempo de llegada. En particular, para prácticamente cualquier tiempo de parada de este tipo existe un proceso adaptado no creciente con trayectorias càdlàg (RCLL) que toma únicamente los valores 0 y 1, de modo que el tiempo de llegada al conjunto {0} por este proceso es el tiempo de parada considerado. La demostración es muy sencilla. ^{[ 2 ]}

Si una cadena de Markov es irreducible y recurrente positiva, entonces la distribución estacionaria es única y viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (i)={\frac {1}{\operatorname {E} \left[\tau _{i}\right]}}\end{aligned}}}$$

donde τ _i es el tiempo de llegada para un estado i . ^{[ 3 ]}

Esto puede considerarse un caso especial del lema de Kac .

• Tiempo de cobertura , el momento en que se han alcanzado todos los estados.
• Detener el tiempo