Teorema de Riemann-Roch

El teorema de Riemann-Roch es un teorema importante en matemáticas , específicamente en análisis complejo y geometría algebraica , para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromorfas con ceros prescritos y polos permitidos . Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta y conexa con el género puramente topológico g de dicha superficie , de una manera que puede extenderse a contextos puramente algebraicos.

Inicialmente demostrado como la desigualdad de Riemann por Riemann (1857) , el teorema alcanzó su forma definitiva para superficies de Riemann tras el trabajo de Gustav Roch ( 1865 ) , un alumno suyo de corta duración . Posteriormente se generalizó a curvas algebraicas , a variedades de dimensiones superiores y más allá. 

Una superficie de Riemann${\displaystyle X}$es un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {C} }$, el conjunto de números complejos . Además, se requiere que los mapas de transición entre estos subconjuntos abiertos sean holomorfos . Esta última condición permite transferir las nociones y métodos del análisis complejo que tratan con funciones holomorfas y meromorfas a${\displaystyle \mathbb {C} }$hasta la superficie${\displaystyle X}$. Para los fines del teorema de Riemann-Roch, la superficie${\displaystyle X}$Siempre se asume que es compacto . En lenguaje coloquial, el género${\displaystyle g}$de una superficie de Riemann es su número de asas ; por ejemplo, el género de la superficie de Riemann que se muestra a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti , es decir, la mitad del${\displaystyle \mathbb {C} }$-dimensión del primer grupo de homología singular${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$con coeficientes complejos. El género clasifica las superficies de Riemann compactas salvo homeomorfismo , es decir, dos de estas superficies son homeomorfas si y solo si su género es el mismo. Por lo tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie de Riemann. Por otro lado, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con el${\displaystyle \mathbb {C} }$-dimensión del espacio de formas holomorfas de orden uno en${\displaystyle X}$, por lo que el género también codifica información analítica compleja sobre la superficie de Riemann. ^{[ 1 ]}

Un divisor${\displaystyle D}$es un elemento del grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie. De forma equivalente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros.

Cualquier función meromorfa${\displaystyle f}$da lugar a un divisor denotado${\displaystyle (f)}$definido como

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

dónde${\displaystyle R(f)}$es el conjunto de todos los ceros y polos de${\displaystyle f}$, y${\displaystyle s_{\nu }}$es dado por

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{si }}z_{\nu }{\text{ es un cero de orden }}a\\-a&{\text{si }}z_{\nu }{\text{ es un polo de orden }}a\end{cases}}}$.

El conjunto${\displaystyle R(f)}$Se sabe que es finito; esto es consecuencia de${\displaystyle X}$siendo compacta y el hecho de que los ceros de una función holomorfa (no nula) no tienen un punto de acumulación . Por lo tanto,${\displaystyle (f)}$está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se llama divisor principal . Dos divisores que difieren en un divisor principal se llaman linealmente equivalentes . El divisor de una 1-forma meromorfa se define de manera similar. Un divisor de una 1-forma meromorfa global se llama divisor canónico (generalmente denotado${\displaystyle K}$). Cualquier par de 1-formas meromorfas producirán divisores linealmente equivalentes, por lo que el divisor canónico está determinado de forma única salvo equivalencia lineal (de ahí "el" divisor canónico).

El símbolo${\displaystyle \deg(D)}$denota el grado (ocasionalmente también llamado índice) del divisor${\displaystyle D}$, es decir, la suma de los coeficientes que aparecen en${\displaystyle D}$. Se puede demostrar que el divisor de una función meromorfa global siempre tiene grado 0, por lo que el grado de un divisor depende únicamente de su clase de equivalencia lineal .

El número${\displaystyle \ell (D)}$es la cantidad que es de interés primordial: la dimensión (sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$) del espacio vectorial de funciones meromorfas${\displaystyle h}$en la superficie, de tal manera que todos los coeficientes de${\displaystyle (h)+D}$son no negativos. Intuitivamente, podemos pensar en esto como todas las funciones meromorfas cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en${\displaystyle D}$; si el coeficiente en${\displaystyle D}$en${\displaystyle z}$es negativo, entonces requerimos que${\displaystyle h}$tiene un cero de al menos esa multiplicidad en${\displaystyle z}$– si el coeficiente en${\displaystyle D}$es positivo,${\displaystyle h}$puede tener un polo de como máximo ese orden. Los espacios vectoriales para divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomorfos mediante la multiplicación con la función meromorfa global (que está bien definida salvo un escalar).

El teorema de Riemann-Roch para una superficie de Riemann compacta de género${\displaystyle g}$con divisor canónico${\displaystyle K}$estados

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$.

Normalmente, el número${\displaystyle \ell (D)}$es el de interés, mientras que${\displaystyle \ell (KD)}$se considera un término de corrección (también llamado índice de especialidad ^{[ 2 ] [ 3 ]} ) por lo que el teorema puede parafrasearse aproximadamente diciendo

dimensión − corrección = grado − género + 1.

Debido a que es la dimensión de un espacio vectorial, el término de corrección${\displaystyle \ell (KD)}$siempre es no negativo, de modo que

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$.

Esto se denomina desigualdad de Riemann . La parte de Roch en el enunciado es la descripción de la posible diferencia entre los lados de la desigualdad. En una superficie de Riemann general de género${\displaystyle g}$,${\displaystyle K}$tiene título${\displaystyle 2g-2}$, independientemente de la forma meromorfa elegida para representar el divisor. Esto se deduce de poner${\displaystyle D=K}$en el teorema. En particular, siempre que${\displaystyle D}$tiene al menos un título${\displaystyle 2g-1}$, el término de corrección es 0, de modo que

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1}$.

A continuación, se ilustrará el teorema para superficies de género bajo. También existen otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema utilizando haces de líneas y una generalización del teorema a curvas algebraicas .

Ejemplos

El teorema se ilustrará eligiendo un punto.${\displaystyle P}$en la superficie en cuestión y con respecto a la secuencia de números

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en${\displaystyle P}$donde se permite que la función tenga un polo de orden como máximo${\displaystyle n}$. Para${\displaystyle n=0}$Por lo tanto, se requiere que las funciones sean enteras , es decir, holomorfas en toda la superficie.${\displaystyle X}$Según el teorema de Liouville , dicha función es necesariamente constante. Por lo tanto,${\displaystyle \ell (0)=1}$En general, la secuencia${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$es una secuencia creciente.

Género cero

La esfera de Riemann (también llamada línea proyectiva compleja ) es simplemente conexa y, por lo tanto, su primera homología singular es cero. En particular, su género es cero. La esfera puede ser cubierta por dos copias de${\displaystyle \mathbb {C} }$, con el mapa de transición dado por

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

Por lo tanto, la forma${\displaystyle \omega =dz}$en una copia de${\displaystyle \mathbb {C} }$se extiende a una forma meromorfa en la esfera de Riemann: tiene un polo doble en el infinito, ya que

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

Por lo tanto, su divisor canónico es${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$(dónde${\displaystyle P}$es el punto en el infinito).

Por lo tanto, el teorema dice que la secuencia${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$lecturas

1, 2, 3, ... .

Esta secuencia también se puede leer a partir de la teoría de fracciones parciales . Por el contrario, si esta secuencia comienza de esta manera, entonces${\displaystyle g}$debe ser cero.

Género uno

El siguiente caso es una superficie de Riemann de género${\displaystyle g=1}$como un toroide${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, dónde${\displaystyle \Lambda }$es una red bidimensional (un grupo isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$). Su género es uno: su primer grupo de homología singular se genera libremente mediante dos bucles, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar${\displaystyle z}$en${\displaystyle \mathbb {C} }$produce una forma única${\displaystyle \omega =dz}$en${\displaystyle X}$que es holomorfo en todas partes, es decir, no tiene polos en absoluto. Por lo tanto,${\displaystyle K}$, el divisor de${\displaystyle \omega }$es cero.

En esta superficie, esta secuencia es

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...  ;

y esto caracteriza el caso${\displaystyle g=1}$De hecho, para${\displaystyle D=0}$,${\displaystyle \ell (KD)=\ell (0)=1}$, como se mencionó anteriormente. Para${\displaystyle D=n\cdot P}$con${\displaystyle n>0}$, el grado de${\displaystyle KD}$es estrictamente negativo, por lo que el término de corrección es 0. La secuencia de dimensiones también se puede derivar de la teoría de las funciones elípticas .

Género dos y posteriores

Para${\displaystyle g=2}$, la secuencia mencionada anteriormente es

1, 1,  ?, 2, 3, ... .

De esto se demuestra que el  término ? de grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede probar que en cualquier curva de género 2 hay exactamente seis puntos cuyas secuencias son 1, 1, 2, 2, ... y el resto de los puntos tienen la secuencia genérica 1, 1, 1, 2, ... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperelíptica . Para${\displaystyle g>2}$Siempre es cierto que en la mayoría de los puntos la secuencia comienza con${\displaystyle g+1}$unos y hay un número finito de puntos con otras secuencias (ver puntos de Weierstrass ).

Una versión del teorema aritmético de Riemann-Roch establece que si k es un cuerpo global y f es una función suficientemente admisible de los adeles de k , entonces para cada idele a , se tiene una fórmula de suma de Poisson :

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$.

En el caso especial en que k es el cuerpo de funciones de una curva algebraica sobre un cuerpo finito y f es cualquier carácter que sea trivial en k , esto recupera el teorema geométrico de Riemann-Roch. ^{[ 12 ]}

Otras versiones del teorema aritmético de Riemann-Roch utilizan la teoría de Arakelov para asemejarse con mayor exactitud al teorema tradicional de Riemann-Roch.

El teorema de Riemann-Roch para curvas fue demostrado para superficies de Riemann por Riemann y Roch en la década de 1850 y para curvas algebraicas por Friedrich Karl Schmidt en 1931 mientras trabajaba en campos perfectos de característica finita . Como afirma Peter Roquette , ^{[ 13 ]}

El primer gran logro de F. K. Schmidt fue el descubrimiento de que el teorema clásico de Riemann-Roch sobre superficies de Riemann compactas puede extenderse a campos de funciones con base finita. De hecho, su demostración del teorema de Riemann-Roch funciona para campos base perfectos arbitrarios, no necesariamente finitos.

Es fundamental en el sentido de que la teoría posterior para curvas intenta refinar la información que proporciona (por ejemplo, en la teoría de Brill-Noether ).

Hay versiones en dimensiones superiores (para la noción apropiada de divisor o fibrado lineal ). Su formulación general depende de dividir el teorema en dos partes. Una, que ahora se llamaría dualidad de Serre , interpreta la${\displaystyle \ell (K-D)}$término como una dimensión de un primer grupo de cohomología de haces ; con${\displaystyle \ell (D)}$la dimensión de un grupo de cohomología cero, o espacio de secciones, el lado izquierdo del teorema se convierte en una característica de Euler , y el lado derecho en un cálculo de la misma como un grado corregido según la topología de la superficie de Riemann.

En geometría algebraica de dimensión dos, los geómetras de la escuela italiana encontraron una fórmula de este tipo ; se demostró un teorema de Riemann-Roch para superficies (hay varias versiones, siendo la primera posiblemente debida a Max Noether ).

Friedrich Hirzebruch descubrió y demostró una generalización n -dimensional, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , como aplicación de las clases características en topología algebraica ; estuvo muy influenciado por la obra de Kunihiko Kodaira . Casi al mismo tiempo, Jean-Pierre Serre estaba formulando la dualidad de Serre en su forma general, tal como la conocemos hoy.

Alexander Grothendieck demostró en 1957 una generalización de gran alcance, conocida actualmente como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Su trabajo reinterpreta el teorema de Riemann-Roch no como un teorema sobre una variedad, sino sobre un morfismo entre dos variedades. Los detalles de las demostraciones fueron publicados por Armand Borel y Jean-Pierre Serre en 1958. ^{[ 14 ]} Posteriormente, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la demostración. ^{[ 15 ]}

Finalmente, también se encontró una versión general en topología algebraica . Estos desarrollos se llevaron a cabo prácticamente en su totalidad entre 1950 y 1960. Posteriormente, el teorema del índice de Atiyah-Singer abrió otra vía para la generalización. En consecuencia, la característica de Euler de un haz coherente es razonablemente computable. Para un solo sumando dentro de la suma alternada, deben utilizarse argumentos adicionales, como los teoremas de anulación .

• teoría de Arakelov
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
• Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki
• polinomio de Hilbert
• Módulos de curvas algebraicas

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• ¿Existe un teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas suaves sobre un cuerpo arbitrario? (en MathOverflow)