Función plurisubarmónica

En matemáticas , las funciones plurisubarmónicas (a veces abreviadas como psh , plsh o funciones de peluche ) forman una clase importante de funciones utilizadas en el análisis complejo . En una variedad de Kähler , las funciones plurisubarmónicas forman un subconjunto de las funciones subarmónicas . Sin embargo, a diferencia de las funciones subarmónicas (que se definen en una variedad de Riemann ), las funciones plurisubarmónicas se pueden definir con total generalidad en espacios analíticos complejos .

Una función con dominio se llama plurisubarmónica si es semicontinua superior , y para cada línea compleja${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R}}\cup \{-\infty \},}$ ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subconjunto {\mathbb {C} }^{n},}$con ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

La función es una función subarmónica en el conjunto. ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C}}\mid a+bz\in G\}.}$

En términos generales, la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera. Se dice que una función semicontinua superior es plurisubarmónica si para cualquier función holomorfa la función es subarmónica , donde denota el disco unitario. ${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$${\displaystyle \Delta \subconjunto {\mathbb {C} }}$

Si es de clase (diferenciabilidad) , entonces es plurisubarmónico si y solo si la matriz hermítica , llamada matriz de Levi, con entradas ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización C^{2}}$${\estilo de visualización f}$${\ Displaystyle L_ {f} = (\ lambda _ {ij})}$

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

es semidefinido positivo .

De manera equivalente, una -función f es plurisubarmónica si y solo si es una forma (1,1) positiva . ${\estilo de visualización C^{2}}$${\displaystyle i\parcial {\bar {\parcial }}f}$

Relación con la variedad de Kähler: En un espacio euclidiano complejo de n dimensiones , es plurisubarmónico. De hecho, es igual a la forma estándar de Kähler en múltiplos constantes. De manera más general, si satisface ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$${\displaystyle i\parcial {\overline {\parcial }}f}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

Para alguna forma de Kähler , entonces es plurisubarmónico, lo que se denomina potencial de Kähler. Estos se pueden generar fácilmente aplicando el lema ddbar a las formas de Kähler en una variedad de Kähler. ${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización g}$

Relación con el delta de Dirac: en un espacio euclidiano complejo unidimensional , es plurisubarmónico. Si es una función de clase C ^{∞ con} soporte compacto , entonces la fórmula integral de Cauchy dice ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle u(z)=\log |z|}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

que puede modificarse para

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\parcial {\overline {\parcial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

No es más que una medida de Dirac en el origen 0.

Más ejemplos

• Si es una función analítica en un conjunto abierto, entonces es plurisubarmónica en ese conjunto abierto.${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \log |f|}$
• Las funciones convexas son plurisubarmónicas.
• Si es un dominio de holomorfía entonces es plurisubarmónico.${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$

Las funciones plurisubarmónicas fueron definidas en 1942 por Kiyoshi Oka ^[1] y Pierre Lelong . ^[2]

• El conjunto de funciones plurisubarmónicas tiene las siguientes propiedades como un cono convexo :

• si es una función plurisubarmónica y un número real positivo, entonces la función es plurisubarmónica,${\estilo de visualización f}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c\cdot f}$
• si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la suma es una función plurisubarmónica.$estilo de visualización f_{1}}$$Estilo de visualización f_{2}$$Estilo de visualización f_{1}+f_{2}}$

• La plurisubarmonicidad es una propiedad local, es decir, una función es plurisubarmónica si y sólo si es plurisubarmónica en un entorno de cada punto.
• Si es plurisubarmónico y una función convexa creciente entonces es plurisubarmónico. ( se interpreta como .)${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi \circ f}$${\displaystyle \varphi (-\infty)}$${\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\varphi (x)}$
• Si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la función es plurisubarmónica.$estilo de visualización f_{1}}$$Estilo de visualización f_{2}$${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$
• El límite puntual de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas es plurisubarmónico.
• Toda función plurisubarmónica continua puede obtenerse como el límite de una secuencia decreciente de funciones plurisubarmónicas suaves. Además, esta secuencia puede elegirse uniformemente convergente. ^[3]
• La desigualdad en la condición de semicontinuidad habitual se cumple como igualdad, es decir, si es plurisubarmónico entonces .${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$
• Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas , para cualquier métrica de Kähler .
• Por lo tanto, las funciones plurisubarmónicas satisfacen el principio de máximo , es decir, si es plurisubarmónico en el dominio y para algún punto entonces es constante.${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización D}$${\displaystyle \sup_{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\en D}$${\estilo de visualización f}$

En varias variables complejas , se utilizan funciones plurisubarmónicas para describir dominios pseudoconvexos , dominios de holomorfía y variedades de Stein .

La principal aplicación geométrica de la teoría de funciones plurisubarmónicas es el famoso teorema demostrado por Kiyoshi Oka en 1942. ^[1]

Una función continua se llama exhaustiva si la preimagen es compacta para todo . Una función plurisubarmónica f se llama fuertemente plurisubarmónica si la forma es positiva , para alguna forma de Kähler en M . ${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$${\displaystyle i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Teorema de Oka: Sea M una variedad compleja, que admite una función suave, exhaustiva y fuertemente plurisubarmónica. Entonces M es Stein . A la inversa, cualquier variedad de Stein admite una función de este tipo.

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja". Transacciones de la American Mathematical Society . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introducción a las funciones holomorfas en varias variables, Wadsworth & Brooks/Cole.
• Klimek, Teoría pluripotencial, Clarendon Press 1992.

• "Función plurisubarmónica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]