Deformación (matemáticas)

Es evidente que puede haber muchas deformaciones de un mismo germen de funciones analíticas. Por ello, se requieren ciertos mecanismos organizativos para gestionar toda esta información. Estos mecanismos se construyen utilizando la cohomología tangente. ^{[ 1 ]} Esta se forma mediante la resolución de Koszul-Tate , y posiblemente modificándola añadiendo generadores adicionales para álgebras no regulares.${\displaystyle A}$En el caso de las álgebras analíticas, estas resoluciones se denominan resolución de Tjurina, en honor a la matemática que estudió por primera vez dichos objetos, Galina Tyurina . Se trata de un álgebra diferencial graduada conmutativa.${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$de tal manera que${\displaystyle R_{0}\to A}$es una aplicación sobreyectiva de álgebras analíticas, y esta aplicación encaja en una secuencia exacta.

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Luego, tomando el módulo graduado diferencial de derivaciones${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$, su cohomología forma la cohomología tangente del germen de las álgebras analíticas${\displaystyle A}$Estos grupos de cohomología se denotan${\displaystyle T^{k}(A)}$. El${\displaystyle T^{1}(A)}$contiene información sobre todas las deformaciones de${\displaystyle A}$y se puede calcular fácilmente utilizando la secuencia exacta.

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

Si${\displaystyle A}$es isomorfo al álgebra

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

entonces sus deformaciones son iguales a

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

eran${\displaystyle df}$es la matriz jacobiana de${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$. Por ejemplo, una hipersuperficie dada por${\displaystyle f}$tiene las deformaciones

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

En el caso de la singularidad de curva plana${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$, este es el módulo

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

por lo tanto las únicas deformaciones se dan sumando constantes o factores lineales, por lo que una deformación general de${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$es${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$donde el${\displaystyle a_{i}}$son parámetros de deformación.

Los infinitesimales han sido utilizados durante mucho tiempo por los matemáticos para argumentos no rigurosos en cálculo. La idea es que si consideramos polinomios${\displaystyle F(x,\varepsilon)}$con un infinitesimal${\displaystyle \varepsilon }$, entonces solo importan realmente los términos de primer orden; es decir, podemos considerar

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

Una aplicación sencilla de esto es que podemos encontrar las derivadas de monomios usando infinitesimales:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

el${\displaystyle \varepsilon }$El término contiene la derivada del monomio, lo que demuestra su uso en cálculo. También podríamos interpretar esta ecuación como los dos primeros términos del desarrollo de Taylor del monomio. Los infinitesimales pueden hacerse rigurosos utilizando elementos nilpotentes en álgebras de artin locales. En el anillo${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$vemos que los argumentos con infinitesimales pueden funcionar. Esto motiva la notación${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$, que se denomina el anillo de números duales .

Además, si queremos considerar términos de orden superior de una aproximación de Taylor, entonces podríamos considerar las álgebras de artin.${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$. Para nuestro monomio, supongamos que queremos escribir la expansión de segundo orden, entonces

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

Recordemos que una expansión de Taylor (en cero) se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

Por lo tanto, las dos ecuaciones anteriores muestran que la segunda derivada de${\displaystyle x^{3}}$es${\displaystyle 6x}$.

En general, puesto que queremos considerar expansiones de Taylor de orden arbitrario en cualquier número de variables, consideraremos la categoría de todas las álgebras de artin locales sobre un cuerpo.

Para motivar la definición de un functor de pre-deformación, consideremos la hipersuperficie proyectiva sobre un campo.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

Si queremos considerar una deformación infinitesimal de este espacio, entonces podríamos escribir un cuadrado cartesiano.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

dónde${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$. Entonces, el espacio en la esquina derecha es un ejemplo de una deformación infinitesimal: la estructura teórica de esquema adicional de los elementos nilpotentes en${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$(que topológicamente es un punto) nos permite organizar estos datos infinitesimales. Dado que queremos considerar todas las expansiones posibles, dejaremos que nuestro functor de predeformación se defina en objetos como

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

dónde${\displaystyle A}$es un Artin local${\displaystyle k}$-álgebra.

Un functor de pre-deformación se llama suave si para cualquier sobreyección${\displaystyle A'\to A}$tal que el cuadrado de cualquier elemento del núcleo es cero, existe una sobreyección.

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Esto está motivado por la siguiente pregunta: dada una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

¿Existe una extensión de este diagrama cartesiano a los diagramas cartesianos?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

El nombre "suave" proviene del criterio de elevación de un morfismo suave de esquemas.

Recordemos que el espacio tangente de un esquema${\displaystyle X}$puede describirse como el${\displaystyle \operatorname {Hom} }$-colocar

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

donde la fuente es el anillo de números duales . Dado que estamos considerando el espacio tangente de un punto de algún espacio de módulos, podemos definir el espacio tangente de nuestro functor de (pre)deformación como

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ]).}$

Una de las primeras propiedades de los módulos de curvas algebraicas${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$puede deducirse utilizando la teoría elemental de deformación. Su dimensión puede calcularse como

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

para una curva suave arbitraria de género${\displaystyle g}$porque el espacio de deformación es el espacio tangente del espacio de módulos. Usando la dualidad de Serre, el espacio tangente es isomorfo a

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el teorema de Riemann-Roch da

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

Para curvas de género${\displaystyle g\geq 2}$el${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$porque

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

el grado es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

y${\displaystyle h^{0}(L)=0}$para haces de líneas de grado negativo. Por lo tanto, la dimensión del espacio de módulos es${\displaystyle 3g-3}$.

La teoría de la deformación fue aplicada de manera destacada en geometría birracional por Shigefumi Mori para estudiar la existencia de curvas racionales en variedades . ^{[ 2 ]} Para una variedad de Fano de dimensión positiva, Mori demostró que existe una curva racional que pasa por cada punto. El método de la demostración se conoció posteriormente como el método de Mori de doblar y romper . La idea general es partir de una curva C que pasa por un punto elegido y seguir deformándola hasta que se rompa en varios componentes . Reemplazar C por uno de los componentes tiene el efecto de disminuir el género o el grado de C. Así, después de varias repeticiones del procedimiento, finalmente obtendremos una curva de género 0, es decir, una curva racional. La existencia y las propiedades de las deformaciones de C requieren argumentos de la teoría de la deformación y una reducción a característica positiva .

Una de las principales aplicaciones de la teoría de la deformación se encuentra en la aritmética. Se puede utilizar para responder a la siguiente pregunta: si tenemos una variedad${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$¿Cuáles son las posibles extensiones?${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$¿Si nuestra variedad es una curva, entonces la desaparición${\displaystyle H^{2}}$implica que cada deformación induce una variedad sobre${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$; es decir, si tenemos una curva suave

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

y una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

entonces siempre podemos extenderlo a un diagrama de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Esto implica que podemos construir un esquema formal.${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$dando una curva sobre${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

El teorema de Serre-Tate afirma, en términos generales, que las deformaciones del esquema abeliano A están controladas por las deformaciones del grupo p -divisible.${\displaystyle A[p^{\infty }]}$que consta de sus puntos de torsión de potencia p .

Otra aplicación de la teoría de la deformación es con las deformaciones de Galois. Nos permite responder a la pregunta: Si tenemos una representación de Galois

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

¿Cómo podemos extenderlo a una representación?

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

• Palamodov, VP, III. Deformaciones de espacios complejos . Variables complejas IV (introducción muy práctica).
• Apuntes del curso sobre teoría de la deformación (Artin)
• Estudio de la teoría de la deformación de esquemas
• Sernesi, Eduardo, Deformaciones de esquemas algebraicos
• Hartshorne, Robin, Teoría de la deformación
• Apuntes del curso de Hartshorne sobre teoría de la deformación.
• MSRI – Teoría de la deformación y módulos en geometría algebraica

• Mazur, Barry (2004), "Perturbaciones, deformaciones y variaciones (y "casi aciertos" en geometría, física y teoría de números)" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 41 (3): 307–336 , doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , MR 2058289 
• Anel, M., Por qué las deformaciones son cohomológicas (PDF)